In der Mathematik ist die Summation die grundlegende Addition einer Folge beliebiger Zahlen, Addenden oder Summanden genannt; Das Ergebnis ist ihre Summe oder Summe. In der Mathematik können Zahlen, Funktionen, Vektoren, Matrizen, Polynome und im Allgemeinen Elemente eines beliebigen mathematischen Objekts mit einer Operation namens Addition/Summation verknüpft werden, die als + bezeichnet wird.

Die Summation einer expliziten Folge wird als Folge von Additionen bezeichnet. Beispielsweise kann die Summe von (1, 3, 4, 7) als Basis 1 + 3 + 4 + 7 bezeichnet werden, und das Ergebnis für die obige Notation ist 15, also 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Weil Die Additionsoperation ist sowohl assoziativ als auch kommutativ, es sind keine Klammern beim Auflisten der Reihe/Sequenz erforderlich und das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden dasselbe.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Summationsformel?
• Wo verwendet man die Summationsformel?
• Eigenschaften der Summation
• Standard-Summierungsformeln
• Beispiel für eine Summationsformel
• FAQs zur Summationsformel

Was ist eine Summationsformel?

Die Summations- oder Sigma-Notation (∑) ist eine Methode, mit der eine lange Summe prägnant geschrieben werden kann. Diese Notation kann an jede Formel oder Funktion angehängt werden.

Zum Beispiel, _i=1 ∑ ¹⁰(i) ist eine Sigma-Notation der Addition der endlichen Folge 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, wobei das erste Element 1 und das letzte Element 10 ist.

Summationsformeln

Wo verwendet man die Summationsformel?

Die Summationsschreibweise kann in verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet werden:

• Reihenfolge in Reihe
• Integration
• Wahrscheinlichkeit
• Permutation und Kombination
• Statistiken

Notiz: Eine Summation ist eine Kurzform der wiederholten Addition. Wir können die Summation auch durch eine Additionsschleife ersetzen.

Eigenschaften der Summation

Eigentum 1

_i=1 ∑ ^Nc = c + c + c + …. + c (n) mal = nc

Beispiel: Ermitteln Sie den Wert von_i=1 ∑ ⁴C.

Mithilfe von Eigenschaft 1 können wir den Wert von direkt berechnen_i=1 ∑ ⁴c als 4×c = 4c.

Eigentum 2

_c=1 ∑ ^Nkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) mal = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ^NC

Beispiel: Ermitteln Sie den Wert von_i=1 ∑ ⁴5i.

Mithilfe der Eigenschaften 2 und 1 können wir den Wert von direkt berechnen_{i= 1} ∑ ⁴5i als 5 ×_i=1 ∑ ⁴i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Eigentum 3

_c=1 ∑ ^N(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) mal = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ^NC

Beispiel: Ermitteln Sie den Wert von_i=1∑⁴(5+i).

Mithilfe der Eigenschaften 2 und 3 können wir den Wert von direkt berechnen_i=1 ∑ ⁴(5+i) als 5×4 +_i=1 ∑ ⁴i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Eigentum 4

_k=1 ∑ ^N(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ^Nf(k) +_k=1 ∑ ^Ng(k)

Beispiel: Finden Sie den Wert von_i=1∑⁴(ich + ich²).

Mithilfe von Eigenschaft 4 können wir den Wert von direkt berechnen_i=1 ∑ ⁴(ich + ich²) als_i=1 ∑ ⁴ich +_i=1 ∑ ⁴ich²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standard-Summierungsformeln

Verschiedene Summationsformeln sind:

Summe der ersten n natürlichen Zahlen: (1+2+3+…+n) =_i=1 ∑ ^N(i) = [n ×(n +1)]/2

Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen: (1²+2²+3²+…+n²) =_i=1 ∑ ^N(ich²) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Summe des Würfels der ersten n natürlichen Zahlen: (1³+2³+3³+…+n³) =_i=1 ∑ ^N(ich³) = [n²×(n +1)²)]/4

Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen: (2+4+…+2n) =_i=1 ∑ ^N(2i) = [n ×(n +1)]

Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen: (1+3+…+2n-1) =_i=1 ∑ ^N(2i-1) = n²

Summe der Quadrate der ersten n geraden natürlichen Zahlen: (2²+4²+…+(2n)²) =_i=1 ∑ ^N(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Summe der Quadrate der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_i=1 ∑ ^N(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Summe des Würfels der ersten n geraden natürlichen Zahlen: (2³+4³+…+(2n)3) =_i=1 ∑ ^N(2i)³= 2[n(n+1)]²

Summe des Würfels der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_i=1 ∑ ^N(2i-1)³= n²(2n²- 1)

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Beispiel für eine Summationsformel

Beispiel 1: Ermitteln Sie die Summe der ersten 10 natürlichen Zahlen mithilfe der Summationsformel.

Lösung:

Verwenden der Summationsformel für die Summe von n natürlichen Zahlen_i=1∑^N(i) = [n ×(n +1)]/2

Wir haben die Summe der ersten 10 natürlichen Zahlen =_i=1∑¹⁰(i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Beispiel 2: Ermitteln Sie mithilfe der Summationsformel die Summe von 10 ersten natürlichen Zahlen größer als 5.

Lösung:

Entsprechend der Frage:

Summe der 10 ersten natürlichen Zahlen größer als 5 =_ich=6∑^fünfzehn(ich)

=_i=1∑^fünfzehn(ich) -_i=1∑⁵(ich)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Beispiel 3: Ermitteln Sie die Summe der gegebenen endlichen Folge 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Lösung:

Die gegebene Sequenz ist 1²+ 2²+ 3²+…8², es kann geschrieben werden als_i=1∑⁸ich²unter Verwendung der Eigenschaft/Formel der Summation

_i=1∑⁸ich²= [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Beispiel 4: Vereinfachen _c=1 ∑ ^N kc.

Lösung:

Gegebene Summationsformel =_c=1∑^Nkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n Terme)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑^Nkc = k _c=1 ∑ ^N C

Beispiel 5: Vereinfachen und bewerten Sie x ₌₁ ∑ ^N (4+x).

Lösung:

Gegebene Summe ist_x=1∑^N(4+x)

Wie wir das wissen_c=1∑^N(k+c) = nk +_c=1∑^NC

Die gegebene Summe kann wie folgt vereinfacht werden:

4n+ _x=1 ∑ ^N (X)

Beispiel 6: Vereinfachen _x=1 ∑ ^N (2x+x ² ).

Lösung:

Gegebene Summe ist_x=1∑^N(2x+x²).

wie wir das wissen_k=1∑^N(f(k) + g(k)) =_k=1∑^Nf(k) +_k=1∑^Ng(k)

gegebene Summe kann vereinfacht werden als _x=1 ∑ ^N (2x) + _x=1 ∑ ^N (X ² ).

FAQs zur Summationsformel

Was ist die Summationsformel natürlicher Zahlen?

Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n wird mithilfe der Formel n (n + 1) / 2 ermittelt. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen beträgt beispielsweise 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Was ist die allgemeine Summationsformel?

Allgemeine Summationsformel zum Ermitteln der Summe einer Folge {a₁, A₂, A₃,…,A_N} Ist, ∑a _ich = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _N

Wie benutzt man ∑?

∑ ist das Symbol der Summation und wird verwendet, um die Summe von Reihen zu ermitteln.

Wie lautet die Formel für die n-Summation?

Die Formel für die Summe von n natürlichen Zahlen lautet: Die Formel für die Summe von n Zahlen lautet [n(n+1)2]