In diesem Artikel werden wir den symmetrischen Unterschied zwischen zwei Mengen diskutieren. Hier werden wir auch die Eigenschaften der symmetrischen Differenz zwischen zwei Mengen diskutieren.
Ich hoffe, dieser Artikel wird Ihnen hilfreich sein, den symmetrischen Unterschied zwischen zwei Mengen zu verstehen.
Was ist ein symmetrischer Unterschied?
Eine weitere Variante der Differenz ist die symmetrische Differenz. Angenommen, es gibt zwei Mengen A und B. Die symmetrische Differenz zwischen den beiden Mengen A und B ist die Menge, die die Elemente enthält, die in beiden Mengen vorhanden sind, mit Ausnahme der gemeinsamen Elemente.
Die symmetrische Differenz zwischen zwei Mengen wird auch als bezeichnet disjunktive Vereinigung . Der symmetrische Unterschied zwischen zwei Mengen ist eine Menge von Elementen, die in beiden Mengen, aber nicht in deren Schnittmenge vorhanden sind. Der symmetrische Unterschied zwischen zwei Mengen A und B wird dargestellt durch A D B oder A ? B .
Wir können es anhand von Beispielen verstehen.
Beispiel 1 Angenommen, es gibt zwei Mengen mit einigen Elementen.
Setze A = {1, 2, 3, 4, 5}
Setze B = {3, 5}
Die symmetrische Differenz zwischen den gegebenen Mengen A und B beträgt also {1, 2, 4}
Oder wir können das sagen A Δ B = {1, 2, 4} .
Beispiel2 Angenommen, es gibt zwei Mengen mit einigen Elementen.
Setze A = {a, b, c, k, m, n}
Setze B = {c, n}
Die symmetrische Differenz zwischen den gegebenen Mengen A und B ist also {a, b, k, m}
Oder wir können das sagen A Δ B = {a, b, k, m} .
Im folgenden Venn-Diagramm können Sie den symmetrischen Unterschied zwischen den beiden Sätzen sehen.
Der mit der Hautfarbe schattierte Teil im obigen Venn-Diagramm ist die symmetrische Differenz zwischen den gegebenen Mengen, d. h. A D B .
Sehen wir uns einige Eigenschaften der symmetrischen Differenz zwischen zwei Mengen an.
Eigenschaften
Es gibt einige Eigenschaften der symmetrischen Differenz, die wie folgt aufgeführt sind;
- Die symmetrische Differenz kann als Vereinigung beider Relativkomplemente dargestellt werden, d. h.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Die symmetrische Differenz zwischen zwei Mengen kann auch als Vereinigung zweier Mengen minus der Schnittmenge zwischen ihnen ausgedrückt werden –
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Die symmetrische Differenz ist sowohl kommutativ als auch assoziativ –
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Die leere Menge ist neutral (in der Mathematik wird ein neutrales Element als ein besonderer Elementtyp bezeichnet, der, wenn er mit einem beliebigen Element der Menge kombiniert wird, um eine binäre Operation auszuführen, das Element unverändert lässt. Es wird auch als das bezeichnet Identitätselement ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Wenn Menge A gleich Menge B ist, beträgt die symmetrische Differenz zwischen beiden Mengen -
A Δ B = ∅ {wenn A = B}
„Symmetrische Differenz zwischen zwei Mengen“ vs. „Differenz zwischen zwei Mengen“
Unterschied zwischen zwei Sätzen
Die Differenz zwischen zwei Mengen A und B ist eine Menge aller Elemente, die zu A, aber nicht zu B gehören, und wird mit bezeichnet A - B .
Beispiel: Sei A = {1, 2, 3, 4}
und B = {3, 4, 5, 6}
dann A - B = {3, 4} und B - A = {5, 6}
Symmetrischer Unterschied zwischen zwei Mengen
Der symmetrische Unterschied zwischen zwei Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in A oder B, aber nicht in beiden enthalten sind. Es wird vertreten durch A D B oder A ? B .
Beispiel: Sei A = {1, 2, 3, 4}
und B = {3, 4, 5, 6}
dann A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Schauen wir uns nun einige Beispiele an, um den symmetrischen Unterschied zwischen zwei Mengen besser zu verstehen.
Frage 1 - Angenommen, Sie haben die Mengen A = {10, 15, 17, 19, 20} und B = {15, 16, 18}. Finden Sie den Unterschied zwischen den beiden Mengen A und B und auch den symmetrischen Unterschied zwischen ihnen heraus.
Lösung - Gegeben,
Schakal gegen Wolf
A = {10, 15, 17, 19, 20}
und B = {15, 16, 18}
Der Unterschied zwischen beiden Sätzen beträgt -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Der symmetrische Unterschied zwischen beiden Mengen ist -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Frage 2 - Angenommen, Sie haben die Mengen A = {2, 4, 6, 8} und B = {2, 5, 7, 8}. Ermitteln Sie die symmetrische Differenz B Δ A. Zeichnen Sie außerdem das Venn-Diagramm, um die symmetrische Differenz zwischen beiden gegebenen Mengen darzustellen.
Lösung - Gegeben sei A = {2, 4, 6, 8} und B = {2, 5, 7, 8}
Wir wissen, dass B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Versuchen wir, die Frage Schritt für Schritt zu lösen. Der erste Schritt besteht also darin, die Vereinigung von Menge A und Menge B zu finden.
Daher ist (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Danach müssen wir den Schnittpunkt zwischen beiden Mengen berechnen.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Jetzt müssen wir den Unterschied zwischen der Vereinigung und dem Durchschnitt der Mengen A und B finden, wie in der Formel angegeben:
Also, (B ∪ A) – (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} – {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Daher ist B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Was gleich A Δ B ist, wie oben angegeben: „Symmetrische Differenz ist kommutativ“. Nun zeigen wir die symmetrische Differenz zwischen beiden Mengen anhand des Venn-Diagramms.
Im Venn-Diagramm zeichnen wir zunächst zwei Kreise, die die Mengen A und B darstellen. Wie oben berechnet, beträgt der Schnittpunkt zwischen beiden Mengen {2, 8}, daher haben wir diese Elemente im Schnittbereich aufgelistet. Dann listen wir die verbleibenden Elemente in ihren jeweiligen Mengenkreisen auf, d. h. {4, 6} in Menge A und {5, 7} in Menge B. Nach dem Anordnen der Elemente sieht das Venn-Diagramm wie folgt aus:
Wenn wir uns das obige Venn-Diagramm ansehen, gibt es eine universelle Menge U. Beide Mengen A und B sind Teilmengen der universellen Menge U. Die Elemente {2, 8} sind die sich überschneidenden Elemente und werden daher im Überschneidungsbereich dargestellt. Der Bereich mit helloranger Farbe ist die Vereinigung von Mengen mit Ausnahme des Schnittbereichs. Dieser Bereich ist die symmetrische Differenz zwischen den beiden Mengen A und B und wird dargestellt als –
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Frage 3 - Angenommen, Sie haben die Mengen A = {5, 6, 8, 9, 10} und B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Beweisen Sie, dass die symmetrische Differenz kommutativ ist, indem Sie die gegebenen Mengen verwenden.
Lösung - Gegeben sei A = {5, 6, 8, 9, 10} und B = {2, 7, 8, 9, 10}
Beweisen: A Δ B = B Δ A
Nehmen Sie links,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Also, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Jetzt nimm RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Also, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Daher ist A Δ B = B Δ A
Daher ist die symmetrische Differenz kommutativ.