Die Trigonometrie ist ein wichtiger Zweig der Mathematik, der sich mit der Beziehung zwischen Winkeln und Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks beschäftigt. Die sechs trigonometrischen Verhältnisse oder Funktionen sind Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans und Sekante, und ein trigonometrisches Verhältnis ist ein Verhältnis zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen sind drei wichtige trigonometrische Funktionen, da die anderen drei, d. h. Kosekans-, Sekanten- und Kotangensfunktionen, die reziproken Funktionen von Sinus-, Kosinus- bzw. Tangensfunktionen sind.

• sin θ = Opposite side/Hypotenuse
• cos θ = Ankathete/Hypotenuse
• tan θ = Gegenseite/Angrenzende Seite
• cosec θ = Hypotenuse/Gegenkathete
• sec θ = Hypotenuse/angrenzende Seite
• cot θ = Angrenzende Seite/Gegenseite

Die Tangentenfunktion ist eine der 6 trigonometrischen Funktionen, die in verwendet werden Trigonometrieformeln .

Inhaltsverzeichnis

• Tangentenformel
• Einige grundlegende Tangentenformeln
• Tangentenfunktion im Sinne einer Sinusfunktion
• Tangensfunktion im Sinne der Kosinusfunktion
• Tangensfunktion im Sinne der Kotangensfunktion
• Tangensfunktion im Sinne der Kosekansfunktion
• Tangentenfunktion im Sinne einer Sekantenfunktion

Tangentenformel

Der Tangens eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der benachbarten Seite zum gegebenen Winkel. Wir schreiben eine Tangensfunktion als tan. Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck XYZ und einer seiner spitzen Winkel ist θ. Eine gegenüberliegende Seite ist die Seite, die dem Winkel θ gegenüberliegt, und die benachbarte Seite ist die Seite, die dem Winkel θ benachbart ist.

Die Tangensformel für den gegebenen Winkel θ lautet nun:

tan θ = Gegenseite/Angrenzende Seite

Einige grundlegende Tangentenformeln

Tangentenfunktion in Quadranten

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv und im zweiten und vierten Quadranten negativ.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stQuadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndQuadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdQuadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^ThQuadrant)

Tangentenfunktion als negative Funktion

Die Tangensfunktion ist eine negative Funktion, da der Tangens eines negativen Winkels das Negative eines tangentialen positiven Winkels ist.

tan (-θ) = – tan θ

Tangensfunktion im Sinne der Sinus- und Kosinusfunktion

Die Tangentenfunktion in Form von Sinus- und Kosinusfunktionen kann wie folgt geschrieben werden:

tan θ = sin θ/cos θ

Wir wissen, dass tan θ = Gegenseite/Angrenzende Seite ist

Teilen Sie nun Zähler und Nenner durch die Hypotenuse

tan θ = (Gegenseite/Hypotenuse)/(Angrenzende Seite/Hypotenuse)

Wir wissen, dass sin θ = gegenüberliegende Seite/Hypotenuse

cos θ = Ankathete/Hypotenuse

Daher ist tan θ = sin θ/cos θ

Tangentenfunktion im Sinne einer Sinusfunktion

Die Tangentenfunktion im Sinne der Sinusfunktion kann wie folgt geschrieben werden:

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² ich)

Wir wissen das,

tan θ = sin θ/cos θ

np.sum

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

ohne²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – Sünde²ich

cos θ = √(1 – sin²ich)

Daher ist tan θ = sin θ/(√1 – sin²ich)

Tangensfunktion im Sinne der Kosinusfunktion

Die Tangensfunktion im Sinne der Kosinusfunktion kann wie folgt geschrieben werden:

tan θ = (√1 -cos ² i)/weil ich

Wir wissen das,

tan θ = sin θ/cos θ

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

ohne²θ + cos²θ = 1

ohne²θ = 1 – cos²ich

sin θ = √(1 – cos²ich)

Daher ist tan θ = (√1 – cos²i)/weil ich

Tangensfunktion im Sinne der Kotangensfunktion

Die Tangentenfunktion im Sinne der Kotangensfunktion kann wie folgt geschrieben werden:

tan θ = 1/cot θ

oder

tan θ = cot (90° – θ) (oder) cot (π/2 – θ)

Tangensfunktion im Sinne der Kosekansfunktion

Die Tangensfunktion im Sinne der Kosekantenfunktion kann geschrieben werden als:

tan θ = 1/√(cosec ² ich – 1)

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

cosec²θ – Kinderbett²θ = 1

Kinderbett²θ = cosec²ich – 1

cot θ = √(cosec²ich – 1)

Wir wissen das,

tan θ = 1/cot θ

Daher ist tan θ = 1/√(cosec²ich – 1)

Tangentenfunktion im Sinne einer Sekantenfunktion

Die Tangentenfunktion im Sinne der Sekantenfunktion kann geschrieben werden als:

tan θ = √sec ² ich – 1

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

Sek²θ – also²θ = 1

tan θ = sek²ich – 1

Daher ist tan θ = √(sec²ich – 1)

Tangentenfunktion im Hinblick auf den Doppelwinkel

Die Tangensfunktion für einen Doppelwinkel lautet:

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² ich)

Tangentenfunktion im Sinne des Dreifachwinkels

Die Tangensfunktion für einen Dreifachwinkel lautet:

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² ich)

Tangentenfunktion als Halbwinkel

Die Tangensfunktion für einen halben Winkel lautet:

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / (sin θ)

Tangentenfunktion im Sinne der Addition und Subtraktion zweier Winkel

Summen- und Differenzformeln für eine Tangensfunktion lauten:

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Trigonometrische Verhältnistabelle

Gelöstes Beispiel für Tangentenformeln

Beispiel 1: Ermitteln Sie den Wert von tan θ, wenn sin θ = 2/5 und θ der erste Quadrantenwinkel ist.

Lösung:

Gegeben,

• Sünde θ = 2/5

Aus den pythagoräischen Identitäten, die wir haben,

ohne²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – Sünde²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Da θ der erste Quadrantenwinkel ist, ist cos θ positiv.

cos θ = √21/5

Wir wissen das,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Der Wert von tan θ beträgt also (2√21) /(21), wenn sin θ = 2/5 und θ im ersten Quadranten liegt.

Beispiel 2: Ermitteln Sie den Wert von tan x, wenn sec x = 13/12 und x der vierte Quadrantenwinkel ist.

Lösung:

Gegeben sei Sek. x = 13/12

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

Sek²x – also²x = 1

Also²x = Sek²x – 1= (13/12)²- 1

Also²x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Da x der vierte Quadrantenwinkel ist, ist tan x negativ.

tan x = – 5/12

Somit, tan x = – 5/12

Beispiel 3: Wenn tan X = 2/3 und tan Y = 1/2, welchen Wert hat dann tan (X + Y)?

Lösung:

Gegeben,

tan X = 2/3 und tan Y = 1/2

Wir wissen das,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Somit, tan(X + Y) = 7/4

Beispiel 4: Berechnen Sie die Tangensfunktion, wenn die benachbarten und gegenüberliegenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils 4 cm und 7 cm betragen.

Lösung:

Gegeben,

Angrenzende Seite = 4 cm

Gegenseite = 7 cm

Wir wissen das,

tan θ = Gegenseite/Angrenzende Seite

tan θ = 7/4 = 1,75

Somit, tan θ = 1,75

Beispiel 5: Ein Mann blickt auf einen Uhrturm im 60°-Winkel zur Turmspitze, deren Höhe 100 m beträgt. Wie groß ist der Abstand zwischen dem Mann und dem Fuß des Turms?

Lösung:

Gegeben,

Fehler: Hauptklasse konnte nicht gefunden oder geladen werden

Höhe des Turms = 100 m und θ = 60°

Sei der Abstand zwischen Mann und Turmfuß = d

Wir haben,

tan θ = Gegenseite/Angrenzende Seite

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Da also 60° = √3]

d = 100/√3

Daher beträgt der Abstand zwischen dem Mann und dem Fuß des Turms 100/√3

Beispiel 6: Ermitteln Sie den Wert von tan θ, wenn sin θ = 7/25 und sec θ = 25/24.

Lösung:

Gegeben,

Sünde θ = 7/25

Sek. θ = 25/24

Wir wissen das,

Sek. θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Wir haben,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Somit, tan θ = 7/24

Beispiel 7: Ermitteln Sie den Wert von tan θ, wenn cosec θ = 5/3 und θ der erste Quadrantenwinkel ist.

Lösung:

Gegeben ist cosec θ = 5/3

Aus den pythagoreischen Identitäten haben wir:

string.format Java

cosec²θ – Kinderbett²θ = 1

Kinderbett²θ = cosec²ich – 1

Kinderbett θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

Kinderbett θ = ±√16/9 = ± 4/3

Da θ der erste Quadrantenwinkel ist, sind sowohl die Kotangens- als auch die Tangensfunktion positiv.

Kinderbett θ = 4/3

Wir wissen das,

cot θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Somit, tan θ = 3/4

Beispiel 8: Finden Sie tan 3θ, wenn sin θ = 3/7 und θ der erste Quadrantenwinkel ist.

Lösung :

Gegeben sei sin θ = 12/13

Aus den pythagoräischen Identitäten, die wir haben,

ohne²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – Sünde²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Da θ der erste Quadrantenwinkel ist, ist cos θ positiv.

cos θ = 5/13

Wir wissen das,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Daher ist tan θ = 12/5

Nun, wir wissen, dass

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)