Trigonometrieformeln sind Gleichungen, die die Seiten und Winkel von Dreiecken in Beziehung setzen. Sie sind für die Lösung einer Vielzahl von Problemen in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen und anderen Bereichen unerlässlich.

Hier sind einige der häufigsten Arten von Trigonometrieformeln:

• Grundlegende Definitionen: Diese Formeln definieren die trigonometrischen Verhältnisse (Sinus, Cosinus, Tangens usw.) in Bezug auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
• Satz des Pythagoras: Dieser Satz bezieht sich auf die Längen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.
• Winkelbeziehungen: Diese Formeln beziehen sich auf die trigonometrischen Verhältnisse verschiedener Winkel, beispielsweise Summen- und Differenzformeln, Doppelwinkelformeln und Halbwinkelformeln.
• Gegenseitige Identitäten: Diese Formeln drücken ein trigonometrisches Verhältnis durch ein anderes aus, beispielsweise sin(θ) = 1/coc(θ).
• Einheitskreis: Der Einheitskreis ist eine grafische Darstellung der trigonometrischen Verhältnisse und kann zur Ableitung vieler anderer Formeln verwendet werden.
• Sinusgesetz und Kosinusgesetz: Diese Gesetze beziehen sich auf die Seiten und Winkel jedes Dreiecks, nicht nur auf rechtwinklige Dreiecke.

Lesen Sie weiter, um mehr über verschiedene trigonometrische Formeln und Identitäten, gelöste Beispiele und Übungsprobleme zu erfahren.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Trigonometrie?
• Übersicht über die Trigonometrieformel
• Grundlegende trigonometrische Verhältnisse
• Trigonometrische Identitäten
• Liste der Trigonometrieformeln

Was ist Trigonometrie?

Unter Trigonometrie versteht man einen Zweig der Mathematik, der sich auf die Untersuchung von Beziehungen zwischen Längen und Winkeln von Dreiecken konzentriert. Die Trigonometrie besteht aus verschiedenen Arten von Problemen, die mithilfe trigonometrischer Formeln und Identitäten gelöst werden können.

Trigonometriefunktionen

Trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Längen seiner Seiten in Beziehung setzen. Sie finden vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen, Astronomie und mehr. Zu den primären trigonometrischen Funktionen gehören Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans.

Übersicht über die Trigonometrieformel

Trigonometrieformeln sind mathematische Ausdrücke, die die Winkel und Seiten von a in Beziehung setzen Rechtwinkliges Dreieck . Es gibt 3 Seiten ein rechtwinkliges Dreieck es besteht aus:

• Hypotenuse : Dies ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
• Senkrecht/Gegenseite : Es ist die Seite, die bezüglich des gegebenen Winkels einen rechten Winkel bildet.
• Base : Die Basis bezieht sich auf die angrenzende Seite, an der sowohl die Hypotenuse als auch die gegenüberliegende Seite verbunden sind.

Trigonometrieverhältnis

Alle trigonometrischen Verhältnisse, Produktidentitäten, Halbwinkelformeln, Doppelwinkelformeln, Summen- und Differenzidentitäten, Kofunktionsidentitäten, ein Vorzeichen von Verhältnissen in verschiedenen Quadranten usw. werden hier für die Schüler der Klassen 9, 10, 11, 12 kurz dargestellt .

es5 vs. es6

Hier ist die Liste der Formeln in der Trigonometrie, die wir besprechen werden:

• Grundlegende trigonometrische Verhältnisformeln
• Einheitskreisformeln
• Trigonometrische Identitäten

Grundlegende trigonometrische Verhältnisse

In der Trigonometrie gibt es 6 Verhältnisse. Diese werden als trigonometrische Funktionen bezeichnet. Unten ist die Liste von trigonometrische Verhältnisse , einschließlich Sinus, Kosinus, Sekante, Kosekans, Tangens und Kotangens.

Einheitskreisformel in der Trigonometrie

Für einen Einheitskreis, dessen Radius gleich 1 ist, ich ist der Winkel. Die Werte der Hypotenuse und der Basis entsprechen dem Radius des Einheitskreises.

Hypotenuse = Angrenzende Seite (Basis) = 1

Die Verhältnisse der Trigonometrie sind gegeben durch:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• Kinderbett θ = x/y
• Sek. θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagramm trigonometrischer Funktionen

Trigonometrische Identitäten

Die Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen wird durch trigonometrische Identitäten ausgedrückt, die manchmal auch als trigonometrische Identitäten oder trigonometrische Formeln bezeichnet werden. Sie bleiben für alle reellen Zahlenwerte der ihnen zugeordneten Variablen wahr.

• Gegenseitige Identitäten
• Pythagoreische Identitäten
• Periodizitätsidentitäten (im Bogenmaß)
• Formel für gerade und ungerade Winkel
• Kofunktionsidentitäten (in Grad)
• Summen- und Differenzidentitäten
• Doppelwinkelidentitäten
• Inverse Trigonometrieformeln
• Dreifache Winkelidentitäten
• Halbwinkelidentitäten
• Zu Produktidentitäten summieren
• Produktidentitäten

Lassen Sie uns diese Identitäten im Detail besprechen.

Gegenseitige Identitäten

Alle reziproken Identitäten werden anhand eines rechtwinkligen Dreiecks als Referenz ermittelt. Gegenseitige Identitäten sind wie folgt:

• cosec θ = 1/sin θ
• Sek. θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cot θ

Pythagoreische Identitäten

Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn „c“ die Hypotenuse und „a“ und „b“ die beiden Schenkel sind, c2 = a2 + b2. Mit diesem Satz und trigonometrischen Verhältnissen können wir pythagoräische Identitäten erhalten. Wir verwenden diese Identitäten, um ein trigonometrisches Verhältnis in ein anderes umzuwandeln .

• ohne²θ + cos²θ = 1
• 1 + also²θ = Sek²ich
• 1 + Kinderbett²θ = cosec²ich

Diagramm der Trigonometrieformeln

Periodizitätsidentitäten (im Bogenmaß)

Diese Identitäten können verwendet werden, um die Winkel um π/2, π, 2π usw. zu verschieben. Sie werden auch als Kofunktionsidentitäten bezeichnet.

Alle trigonometrische Identitäten wiederholen sich nach einer bestimmten Zeit. Daher sind sie zyklischer Natur. Dieser Zeitraum für die Wiederholung von Werten ist für verschiedene trigonometrische Identitäten unterschiedlich.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Hier ist eine Tabelle, die die trigonometrischen Eigenschaften in verschiedenen Quadranten vergleicht:

Formel für gerade und ungerade Winkel

Die Formeln für gerade und ungerade Winkel, auch bekannt als Gerade-Ungerade-Identitäten, werden verwendet, um trigonometrische Funktionen negativer Winkel als positive Winkel auszudrücken. Diese trigonometrischen Formeln basieren auf den Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• Sek(-θ) = Sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Kofunktionsidentitäten (in Grad)

Kofunktionsidentitäten geben uns die Wechselbeziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen. Die Kofunktionen sind hier in Grad aufgeführt:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = cot x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Summen- und Differenzidentitäten

Die Summen- und Differenzidentitäten sind die Formeln, die den Sinus, Cosinus und Tangens der Summe oder Differenz zweier Winkel mit den Sinus, Cosinus und Tangens der einzelnen Winkel in Beziehung setzen.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Doppelwinkelidentitäten

Doppelte Winkelidentitäten sind Formeln, die trigonometrische Funktionen von Winkeln ausdrücken, die das Doppelte des Maßes eines bestimmten Winkels in Bezug auf die trigonometrischen Funktionen des ursprünglichen Winkels sind.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – ohne²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• Sek. (2x) = Sek²x/(2 – Sek²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Inverse Trigonometrieformeln

Formeln der inversen Trigonometrie beziehen sich auf die inversen trigonometrischen Funktionen, die die Umkehrungen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind. Diese Formeln werden verwendet, um den Winkel zu ermitteln, der einem bestimmten trigonometrischen Verhältnis entspricht.

• ohne ^-1 (–x) = – Sünde ^-1 X
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• Also ^-1 (–x) = – tan ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• Sek ^-1 (–x) = π – Sek ^-1 X
• Kinderbett ^-1 (–x) = π – cot ^-1 X

Dreifache Winkelidentitäten

Dreifache Winkelidentitäten sind Formeln, die verwendet werden, um trigonometrische Funktionen von dreifachen Winkeln (3θ) durch die Funktionen einzelner Winkel (θ) auszudrücken. Diese trigonometrischen Formeln eignen sich zum Vereinfachen und Lösen trigonometrischer Gleichungen, bei denen Dreifachwinkel beteiligt sind.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ X

np.histogramm

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Halbwinkelidentitäten

Halbwinkelidentitäten sind jene trigonometrischen Formeln, die verwendet werden, um den Sinus, Cosinus oder Tangens der Hälfte eines bestimmten Winkels zu ermitteln. Diese Formeln werden verwendet, um trigonometrische Funktionen von Halbwinkeln in Bezug auf den ursprünglichen Winkel auszudrücken.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Auch,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

tat volle Form

Zu Produktidentitäten summieren

Summen-Produkt-Identitäten sind trigonometrische Formeln, die uns helfen, Summen oder Differenzen trigonometrischer Funktionen als Produkte trigonometrischer Funktionen auszudrücken.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − cosy = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produktidentitäten

Produktidentitäten, auch Produkt-zu-Summe-Identitäten genannt, sind Formeln, die den Ausdruck von Produkten trigonometrischer Funktionen als Summen oder Differenzen trigonometrischer Funktionen ermöglichen.

Diese trigonometrischen Formeln werden aus den Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus abgeleitet.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Liste der Trigonometrieformeln

Die folgende Tabelle enthält grundlegende trigonometrische Verhältnisse für Winkel wie 0°, 30°, 45°, 60° und 90°, die üblicherweise zur Lösung von Problemen verwendet werden.

Gelöste Fragen zur Trigonometrieformel

Hier sind einige gelöste Beispiele zu Trigonometrieformeln, die Ihnen helfen sollen, die Konzepte besser zu verstehen.

Frage 1: Wenn cosec θ + cot θ = x, ermitteln Sie den Wert von cosec θ – cot θ mithilfe der Trigonometrieformel.

Lösung:

cosec θ + cot θ = x

Wir wissen, dass cosec²θ+ Kinderbett²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ + cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Frage 2: Zeigen Sie mithilfe trigonometrischer Formeln, dass tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Lösung:

Wir haben,

L.H.S= tan 10 ° also 15 ° also 75 ° also 80 °

= braun(90-80) ° also 15 ° braun (90-15) ° also 80 °

= Kinderbett 80 ° also 15 ° Kinderbett 15 ° also 80 °

=(Kinderbett 80 ° * also 80 ° )( Kinderbett 15 ° * also 15 ° )

= 1 = R.H.S

Frage 3: Wenn sin θ cos θ = 8, ermitteln Sie den Wert von (sin θ + cos θ) ² unter Verwendung der Trigonometrieformeln.

Lösung:

(sin θ + cos θ)²

Java-Sortierarray

= ohne²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Frage 4: Beweisen Sie mithilfe trigonometrischer Formeln, dass (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Lösung:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (sec²θ – also²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Da, sec²θ – also²θ = 1]

Entfernen Sie das erste Zeichen in Excel

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sinθ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Bewiesen.

FAQs zu trigonometrischen Formeln und Identitäten

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich auf die Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten von Dreiecken, insbesondere rechtwinkligen Dreiecken, konzentriert.

Was sind drei grundlegende trigonometrische Verhältnisse?

• Sin A = Senkrecht/Hypotenuse
• Cos A= Basis/Hypotenuse
• Tan A= Senkrecht/Basis

Auf welches Dreieck sind trigonometrische Formeln anwendbar?

Trigonometrische Formeln gelten für rechtwinklige Dreiecke.

Was sind die wichtigsten trigonometrischen Verhältnisse?

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans.

Für welchen Winkel ist der Wert des tan-Verhältnisses gleich dem cot-Verhältnis?

Für den Wert 45° ist tan 45°= cot 45° = 1.

Was ist die Formel für sin3x?

Die Formel für sin3x lautet 3sin x – 4 sin³X.