Trigonometrische Identitäten sind verschiedene Identitäten, die zur Vereinfachung verschiedener komplexer Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen verwendet werden. Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks befasst. Diese Beziehungen werden in Form von sechs Verhältnissen definiert, die als bezeichnet werden trigonometrische Verhältnisse – sin, cos, tan, cot, sec und cosec.

Im erweiterten Sinne werden auch die Winkel untersucht, die die Elemente eines Dreiecks bilden. Logischerweise eine Diskussion der Eigenschaften eines Dreiecks; Das Lösen eines Dreiecks und physikalische Probleme im Bereich Höhen und Entfernungen unter Verwendung der Eigenschaften eines Dreiecks sind Teil des Studiums. Es bietet auch eine Methode zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind trigonometrische Identitäten?
• Liste trigonometrischer Identitäten
• Reziproke trigonometrische Identitäten
• Pythagoräische trigonometrische Identitäten
• Trigonometrische Verhältnisidentitäten
• Trigonometrische Identitäten entgegengesetzter Winkel
• Komplementäre Winkelidentitäten
• Ergänzende Winkelidentitäten
• Periodizität der trigonometrischen Funktion
• Summen- und Differenzidentitäten
• Doppelwinkelidentitäten
• Halbwinkelformeln
• Noch ein paar Half-Angle-Identitäten
• Produkt-Summen-Identitäten
• Produktidentitäten
• Dreiwinkelformeln
• Beweis der trigonometrischen Identitäten
• Beziehung zwischen Winkeln und Seiten des Dreiecks
• FAQs zu trigonometrischen Identitäten

Was sind trigonometrische Identitäten?

Eine Gleichung mit trigonometrischen Verhältnissen eines Winkels wird trigonometrische Identität genannt, wenn sie für alle Werte des Winkels gilt. Diese sind immer dann nützlich, wenn trigonometrische Funktionen an einem Ausdruck oder einer Gleichung beteiligt sind. Die sechs grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse sind Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekante und Kotangens . Alle diese trigonometrischen Verhältnisse werden mithilfe der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks definiert, beispielsweise einer angrenzenden Seite, einer gegenüberliegenden Seite und einer Hypotenusenseite.

Trigonometrische Identitäten

Liste trigonometrischer Identitäten

Beim Studium der Trigonometrie, die alle trigonometrischen Verhältnisse umfasst, gibt es viele Identitäten. Diese Identitäten werden verwendet, um verschiedene Probleme in der akademischen Landschaft sowie im wirklichen Leben zu lösen. Lassen Sie uns alle grundlegenden und fortgeschrittenen trigonometrischen Identitäten lernen.

Reziproke trigonometrische Identitäten

Bei allen trigonometrischen Verhältnissen besteht eine reziproke Beziehung zwischen einem Verhältnispaar, die wie folgt gegeben ist:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• Sek. θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/cot θ
• cot θ = 1/tan θ

Pythagoräische trigonometrische Identitäten

Pythagoräische trigonometrische Identitäten basieren auf dem Satz des rechten Dreiecks oder Satz des Pythagoras und lauten wie folgt:

• ohne²θ + cos²θ = 1
• 1 + so²θ = Sek²ich
• cosec²θ = 1 + Kinderbett²ich

Lesen Sie mehr über Pythagoräische trigonometrische Identitäten .

Trigonometrische Verhältnisidentitäten

Als tan und cot werden das Verhältnis von sin und cos definiert, das durch die folgenden Identitäten gegeben ist:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Trigonometrische Identitäten entgegengesetzter Winkel

In der Trigonometrie wird der im Uhrzeigersinn gemessene Winkel in negativer Parität gemessen und alle für negative Winkelparität definierten trigonometrischen Verhältnisse sind wie folgt definiert:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• cot (-θ) = -cot θ
• Sek. (-θ) = Sek. θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Komplementäre Winkelidentitäten

Ergänzende Winkel sind das Winkelpaar, dessen Maß sich zu 90° addiert. Nun sind die trigonometrischen Identitäten für Komplementärwinkel wie folgt:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = cot θ
• cot (90° – θ) = tan θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Ergänzende Winkelidentitäten

Ergänzungswinkel sind Winkelpaare, deren Maß sich zu 180° addiert. Nun sind die trigonometrischen Identitäten für Zusatzwinkel:

• sin (180°-θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• Sek. (180°- θ)= -Sek. θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• cot (180°- θ) = -cot θ

Periodizität der trigonometrischen Funktion

Trigonometrische Funktionen wie sin, cos, tan, cot, sec und cosec sind alle periodischer Natur und haben unterschiedliche Periodizität. Die folgenden Identitäten für das trigonometrische Verhältnis erklären ihre Periodizität.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• Sek. (n × 360° + θ) = Sek. θ
• Sek. (2nπ + θ) = Sek. θ
  
• Kinderbett (n × 180° + θ) = Kinderbett θ
• Kinderbett (nπ + θ) = Kinderbett θ

Wobei, n ∈ MIT, (Z = Menge aller ganzen Zahlen)

Notiz: sin, cos, cosec und sec haben eine Periode von 360° oder 2π im Bogenmaß, und für tan und cot beträgt die Periode 180° oder π im Bogenmaß.

Summen- und Differenzidentitäten

Trigonometrische Identitäten für Summe und Differenz des Winkels umfassen Formeln wie sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) usw.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Notiz: Es werden Identitäten für sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) und cos (A-B) aufgerufen Identitäten des Ptolemäus .

Doppelwinkelidentitäten

Mithilfe der trigonometrischen Identitäten der Winkelsumme können wir eine neue Identität finden, die Doppelwinkelidentität genannt wird. Um diese Identitäten zu finden, können wir A = B in die Summe der Winkelidentitäten einsetzen. Zum Beispiel,

a Wir wissen, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Ersetzen Sie hier auf beiden Seiten A = B = θ und wir erhalten:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Ähnlich,

• cos 2θ = cos ² θ – Sünde ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – Sünde ² ich
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² ich)

Lesen Sie mehr über Doppelwinkelidentitäten .

Halbwinkelformeln

Mithilfe von Doppelwinkelformeln können Halbwinkelformeln berechnet werden. Um Halbwinkelformeln zu berechnen, ersetzen Sie θ durch θ/2. Dann gilt:

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Lesen Sie mehr über Halbwinkelidentitäten .

Noch ein paar Half-Angle-Identitäten

Außer den oben genannten Identitäten gibt es noch einige weitere Halbwinkelidentitäten, die wie folgt lauten:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkt-Summen-Identitäten

Die folgenden Identitäten geben die Beziehung zwischen der Summe zweier trigonometrischer Verhältnisse und dem Produkt zweier trigonometrischer Verhältnisse an.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktidentitäten

Produktidentitäten werden gebildet, wenn wir zwei der Summen- und Differenz-Winkelidentitäten addieren und lauten wie folgt:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Dreiwinkelformeln

Außer den Formeln für den doppelten und halben Winkel gibt es Identitäten für trigonometrische Verhältnisse, die für den dreifachen Winkel definiert sind. Diese Identitäten lauten wie folgt:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Lesen Sie mehr über Dreifache Winkelidentitäten .

Beweis der trigonometrischen Identitäten

Beweisen Sie das für jeden spitzen Winkel θ

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. ohne ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + so ² θ = Sek ² ich
6. 1 + Kinderbett ² θ = cosec ² ich

Nachweisen:

Betrachten Sie ein rechtwinkliges △ABC mit ∠B = 90°

Sei AB = x Einheiten, BC = y Einheiten und AC = r Einheiten.

Dann,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Dann haben wir nach dem Satz des Pythagoras

X²+ und²= r².

Jetzt,

(4) ohne²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( und²/R²+ x²/R²)

= (x²+ und²)/R²= r²/R²= 1 [x²+ und²= r²]

ohne ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + also²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (und²+ x²)/X²= r²/X²[X²+ und²= r²]

(r/x)²= Sek²ich

∴ 1 + tan ² θ = Sek ² ich.

(6) 1 + Kinderbett²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/Und²= (x²+ und²)/Und²= r²/Und²[X²+ und²= r²]

(R²/Und²) = cosec²ich

∴ 1 + Kinderbett ² θ = cosec ² ich

Beziehung zwischen Winkeln und Seiten des Dreiecks

Drei Regeln, die die Seiten von Dreiecken mit den Innenwinkeln von Dreiecken in Beziehung setzen, sind:

• Seine Regel
• Kosinusregel
• Tangentenregel

Wenn ein Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c, die entgegengesetzte Seiten zu ∠A, ∠B bzw. ∠C sind, dann

Seine Regel

Seine Regeln Gibt die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln des Dreiecks an, die das Verhältnis von Seite und Sinus des der Seite gegenüberliegenden Winkels darstellt und für alle Winkel und Seiten des Dreiecks immer gleich bleibt und wie folgt angegeben wird:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinusregel

Kosinusregel umfasst alle Seiten und ein Innenwinkel des Dreiecks ist wie folgt gegeben:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ODER

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ODER

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangentenregel

• Die Tangentenregel gibt auch die Beziehung zwischen den Seiten und dem Innenwinkel eines Dreiecks an, indem sie das trigonometrische Verhältnis tan verwendet, das wie folgt lautet:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Lesen Sie auch

• Trigonometrie-Höhe und -Distanz
• Trigonometrische Tabelle

Gelöstes Beispiel für trigonometrische Identitäten

Beispiel 1: Beweisen Sie, dass (1 – sin ² θ) Sek ² θ = 1

Lösung:

Wir haben:

LHS = (1 – Sünde²θ) Sek²ich

= cos²θ . Sek²ich

= cos²θ . (1/cos²ich)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Damit bewiesen]

Beispiel 2: Beweisen Sie, dass (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Lösung:

Wir haben:

LHS = (1 + tan²θ)cos²ich

⇒ LHS = Sek²θ . cos²ich

⇒ LHS = (1/cos²θ) . cos²ich

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Damit bewiesen]

Beispiel 3: Beweisen Sie, dass (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Lösung:

Wir haben:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²ich

⇒ LHS = (1 + Kinderbett²θ – 1) also²ich

⇒ LHS = Kinderbett²θ. Also²ich

⇒ LHS = (1/tan²θ). Also²ich

erster Laptop

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Damit bewiesen]

Beispiel 4: Beweisen Sie, dass (Abschn ⁴ θ – Sek ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ ich)

Lösung:

Wir haben:

LHS = (Sek⁴θ – Sek²ich)

⇒ LHS = Sek²θ(Sek²ich – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²ich – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) also²ich

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Damit bewiesen]

Beispiel 5: Beweisen Sie, dass √(sec ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Lösung:

Wir haben:

LHS = √(Sek²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + Kinderbett²ich))

⇒ LHS = √(tan²θ + Kinderbett²ich + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + Kinderbett²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [daher bewiesen]

Übungsfragen zu trigonometrischen Identitäten

F1: Den Ausdruck vereinfachenfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

F2: Beweisen Sie die Identität tan (x) . cot(x) = 1.

F3: Zeige, dassfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

F4: Vereinfachensin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

F5: Beweisen Sie die Identitätcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

F6: Vereinfachenfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

F7: Beweisen Sie die Identitätsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

FAQs zu trigonometrischen Identitäten

Was ist trigonometrische Identität?

Die trigonometrische Identität ist eine Gleichung, die verschiedene trigonometrische Funktionen wie sin, cos, tan, cot, sec und cosec in Beziehung setzt.

Wie kann man trigonometrische Identitäten beweisen?

Es gibt verschiedene Methoden zum Nachweis trigonometrischer Identitäten. Eine dieser Methoden besteht darin, die sechs wichtigsten bekannten trigonometrischen Identitäten zu verwenden, um einen Ausdruck in eine andere Form umzuschreiben. Wie bei jedem anderen Beweis arbeiten wir mit einer Seite, um zu einem Ausdruck zu gelangen, der mit der anderen Seite der Gleichung identisch ist.

Wie viele trigonometrische Identitäten gibt es?

Es gibt viele trigonometrische Identitäten, da jede Identität mit einigen Variationen immer noch Identität sein kann. Daher können wir nicht genau sagen, wie viele Identitäten es gibt.

Wie kann man sich alle trigonometrischen Identitäten merken?

Die einfachste Methode, sich alle Identitäten zu merken, besteht darin, Probleme im Zusammenhang mit der Identität zu üben. Jedes Mal, wenn Sie ein Problem mithilfe einer Identität lösen, überarbeiten Sie diese Identität und schließlich wird sie Ihnen zur zweiten Natur.

Schreiben Sie die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen.

Die drei Hauptfunktionen der Trigonometrie sind Sinus, Kosinus und Tangens.
sin θ = Senkrecht/Hypotenuse
cos θ = Basis/Hypotenuse
tan θ = Senkrecht/Basis

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten Hypotenuse (H), Senkrechte (P) und Basis (B) die Beziehung zwischen ihnen wie folgt gegeben ist:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Schreiben Sie die Verwendung trigonometrischer Identitäten.

Trigonometrische Identitäten werden zur Lösung verschiedener Probleme mit komplexen trigonometrischen Funktionen verwendet. Sie werden zur Berechnung von Wellengleichungen, zur Gleichung des harmonischen Oszillators, zur Lösung geometrischer Fragen und anderer Probleme verwendet.

Schreiben Sie acht grundlegende trigonometrische Identitäten.

Acht grundlegende Identitäten in der Trigonometrie sind:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cot θ
• ohne²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ also²θ = Sek²ich
• cot θ = cosθ/sinθ
• 1+ Kinderbett²θ = cosec²ich