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Sobald Sie die quadratische Formel und die Grundlagen quadratischer Gleichungen beherrschen, ist es Zeit für die nächste Ebene Ihrer Beziehung zu Parabeln: Sie lernen etwas über sie Scheitelpunktform .

Lesen Sie weiter, um mehr über die Scheitelpunktform der Parabel zu erfahren und wie Sie eine quadratische Gleichung von der Standardform in die Scheitelpunktform umwandeln.

Bildnachweis des Features: SBA73 /Flickr

Warum ist die Scheitelpunktform nützlich? Ein Überblick

Der Scheitelpunktform einer Gleichung ist eine alternative Möglichkeit, die Gleichung einer Parabel aufzuschreiben.

Normalerweise sehen Sie eine quadratische Gleichung in der Form $ax^2+bx+c$, die in der grafischen Darstellung eine Parabel darstellt. Aus dieser Form ist es ganz einfach, die Wurzeln der Gleichung zu finden (wo die Parabel die $x$-Achse trifft), indem man die Gleichung auf Null setzt (oder die quadratische Formel verwendet).

Wenn Sie jedoch den Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln müssen, ist die quadratische Standardform weitaus weniger hilfreich. Stattdessen möchten Sie Ihre quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform umwandeln.

Was ist Scheitelpunktform?

Während die quadratische Standardform $ax^2+bx+c=y$ ist, Die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung ist $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

In beiden Formen ist $y$ die $y$-Koordinate, $x$ die $x$-Koordinate und $a$ die Konstante, die angibt, ob die Parabel nach oben ($+a$) oder nach unten zeigt ($-a$). (Ich stelle mir das so vor, als ob die Parabel eine Schüssel mit Apfelmus wäre; wenn es ein $+a$ gibt, kann ich Apfelmus in die Schüssel geben; wenn es ein $-a$ gibt, kann ich das Apfelmus aus der Schüssel schütteln.)

Der Unterschied zwischen der Standardform einer Parabel und der Scheitelpunktform besteht darin, dass die Scheitelpunktform der Gleichung auch den Scheitelpunkt der Parabel liefert: $(h,k)$.

Schauen Sie sich zum Beispiel diese feine Parabel an, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Basierend auf dem Diagramm sieht der Scheitelpunkt der Parabel etwa wie (-1,5,-2) aus, aber allein anhand des Diagramms ist es schwierig, genau zu sagen, wo sich der Scheitelpunkt befindet. Glücklicherweise wissen wir aufgrund der Gleichung $y=3(x+4/3)^2-2$, dass der Scheitelpunkt dieser Parabel $(-4/3,-2)$ ist.

Warum ist der Scheitelpunkt $(-4/3,-2)$ und nicht $(4/3,-2)$ (außer im Diagramm, das sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinaten von deutlich macht). die Scheitelpunkte sind negativ)?

Erinnern: In der Scheitelpunktformgleichung wird $h$ subtrahiert und $k$ addiert . Wenn Sie ein negatives $h$ oder ein negatives $k$ haben, müssen Sie sicherstellen, dass Sie das negative $h$ subtrahieren und das negative $k$ addieren.

In diesem Fall bedeutet das:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

und daher ist der Scheitelpunkt $(-4/3,-2)$.

Beim Schreiben einer Parabel in Scheitelpunktform sollten Sie immer Ihre positiven und negativen Vorzeichen überprüfen , insbesondere wenn der Scheitelpunkt keine positiven $x$- und $y$-Werte hat (oder für euch Quadrantenköpfe da draußen, wenn er nicht drin ist). Quadrant I ). Dies ähnelt der Prüfung, die Sie durchführen würden, wenn Sie die quadratische Formel ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) lösen würden und sicherstellen müssten, dass Sie Ihr positives und behalten Negative direkt für Ihre $a$s, $b$s und $c$s.

Nachfolgend finden Sie eine Tabelle mit weiteren Beispielen für einige andere Parabelscheitelpunktformgleichungen sowie deren Scheitelpunkte. Beachten Sie insbesondere den Unterschied im $(x-h)^2$-Teil der Parabelscheitelpunktformgleichung, wenn die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts negativ ist.

So konvertieren Sie von der quadratischen Standardform in die Scheitelpunktform

Wenn Sie gebeten werden, quadratische Gleichungen zwischen verschiedenen Formen umzuwandeln, gehen Sie meistens von der Standardform ($ax^2+bx+c$) in die Scheitelpunktform ($a(x-h)^2+k$) über ).

Der Prozess der Konvertierung Ihrer Gleichung von der quadratischen Standardform in die Scheitelpunktform umfasst die Durchführung einer Reihe von Schritten, die als Vervollständigen des Quadrats bezeichnet werden. (Weitere Informationen zum Vervollständigen des Quadrats finden Sie in diesem Artikel.)

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Konvertierung einer Gleichung von der Standardform in die Scheitelpunktform durchgehen. Wir beginnen mit der Gleichung $y=7x^2+42x-3/14$.

Das erste, was Sie tun möchten, ist, die Konstante oder den Term ohne ein $x$ oder $x^2$ daneben zu verschieben. In diesem Fall ist unsere Konstante $-3/14$. (Wir wissen, dass es so ist Negativ $3/14$, weil die quadratische Standardgleichung $ax^2+bx+c$ ist, nicht $ax^2+bx-c$.)

Zuerst nehmen wir diesen $-3/14$ und verschieben ihn auf die linke Seite der Gleichung:

$y+3/14=7x^2+42x$

Der nächste Schritt besteht darin, die 7 (den $a$-Wert in der Gleichung) von der rechten Seite herauszurechnen, etwa so:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Großartig! Diese Gleichung ähnelt eher einer Scheitelpunktform, $y=a(x-h)^2+k$.

An diesem Punkt denken Sie vielleicht: „Alles, was ich jetzt tun muss, ist, die 3/14 $ wieder auf die rechte Seite der Gleichung zu verschieben, oder?“ Leider nicht so schnell.

Wenn Sie sich einen Teil der Gleichung innerhalb der Klammern ansehen, werden Sie ein Problem bemerken: Sie hat nicht die Form $(x-h)^2$. Es gibt zu viele $x$s! Wir sind also noch nicht ganz fertig.

Was wir jetzt tun müssen, ist der schwierigste Teil: das Quadrat fertigzustellen.

Schauen wir uns den $x^2+6x$-Teil der Gleichung genauer an. Um $(x^2+6x)$ in etwas zu faktorisieren, das $(x-h)^2$ ähnelt, müssen wir innerhalb der Klammern eine Konstante hinzufügen – und wir müssen uns daran erinnern um diese Konstante auch auf der anderen Seite der Gleichung hinzuzufügen (da die Gleichung ausgeglichen bleiben muss).

Um dies einzurichten (und um sicherzustellen, dass wir nicht vergessen, die Konstante auf der anderen Seite der Gleichung hinzuzufügen), erstellen wir ein Leerzeichen, in das die Konstante auf beiden Seiten der Gleichung eingefügt wird:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Beachten Sie, dass wir auf der linken Seite der Gleichung darauf geachtet haben, unseren $a$-Wert, 7, vor dem Leerzeichen einzufügen, in das unsere Konstante eingefügt wird; Das liegt daran, dass wir die Konstante nicht einfach auf der rechten Seite der Gleichung hinzufügen, sondern die Konstante mit dem multiplizieren, was außerhalb der Klammern steht. (Wenn Ihr $a$-Wert 1 ist, brauchen Sie sich darüber keine Sorgen zu machen.)

Der nächste Schritt besteht darin, das Quadrat zu vervollständigen. In diesem Fall ist das Quadrat, das Sie vervollständigen, die Gleichung innerhalb der Klammern – indem Sie eine Konstante hinzufügen, verwandeln Sie sie in eine Gleichung, die als Quadrat geschrieben werden kann.

Um diese neue Konstante zu berechnen, nehmen Sie den Wert neben $x$ (in diesem Fall 6), dividieren Sie ihn durch 2 und quadrieren Sie ihn.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Die Konstante ist 9.

Der Grund, warum wir die 6 halbieren und quadrieren, ist, dass wir wissen, dass in einer Gleichung in der Form $(x+p)(x+p)$ (was wir erreichen wollen) $px+px= 6x$, also $p=6/2$; Um die Konstante $p^2$ zu erhalten, müssen wir also $6/2$ (unser $p$) nehmen und es quadrieren.

Ersetzen Sie nun das Leerzeichen auf beiden Seiten unserer Gleichung durch die Konstante 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Als nächstes faktorisieren Sie die Gleichung innerhalb der Klammern. Da wir das Quadrat vervollständigt haben, können Sie es als $(x+{some umber})^2$ faktorisieren.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Letzter Schritt: Verschieben Sie den Nicht-$y$-Wert von der linken Seite der Gleichung zurück auf die rechte Seite:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Glückwunsch! Sie haben Ihre Gleichung erfolgreich von der quadratischen Standardform in die Scheitelpunktform umgewandelt.

Bei den meisten Problemen werden Sie nicht nur aufgefordert, Ihre Gleichungen von der Standardform in die Scheitelpunktform umzuwandeln; Sie möchten, dass Sie tatsächlich die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel angeben.

Um nicht durch Vorzeichenwechsel in die Irre geführt zu werden, schreiben wir die allgemeine Scheitelpunktformgleichung direkt über der gerade berechneten Scheitelpunktformgleichung auf:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Und dann können wir leicht $h$ und $k$ finden:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei Koordinaten $(-3,-{885/14})$.

Puh, das war eine Menge Zahlenwechsel! Glücklicherweise ist die Konvertierung von Gleichungen in die andere Richtung (von der Scheitelpunktform in die Standardform) viel einfacher.

So konvertieren Sie von der Scheitelpunktform in die Standardform

Das Konvertieren von Gleichungen von ihrer Scheitelpunktform in die reguläre quadratische Form ist ein viel einfacherer Vorgang: Sie müssen lediglich die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.

Nehmen wir unsere Beispielgleichung von früher: $y=3(x+4/3)^2-2$. Um dies in eine Standardform umzuwandeln, erweitern wir einfach die rechte Seite der Gleichung:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Sie haben $y=3(x+4/3)^2-2$ erfolgreich in die Form $ax^2+bx+c$ konvertiert.

Übung zur Parabelscheitelpunktform: Beispielfragen

Um diese Untersuchung der Scheitelpunktform abzuschließen, haben wir vier Beispielprobleme und Erklärungen. Schauen Sie, ob Sie die Probleme selbst lösen können, bevor Sie die Erklärungen durchlesen!

#1: Was ist die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung $x^2+ 2.6x+1.2$?

#2: Wandeln Sie die Gleichung $7y=91x^2-112$ in die Scheitelpunktform um. Was ist der Scheitelpunkt?

#3: Wie lauten bei gegebener Gleichung $y=2(x-3/2)^2-9$ die $x$-Koordinaten des Schnittpunkts dieser Gleichung mit der $x$-Achse?

#4: Finden Sie den Scheitelpunkt der Parabel $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabelscheitelpunktform-Praxis: Lösungen

#1: Was ist die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Beginnen Sie mit der Ausgliederung der Nicht-$x$-Variablen auf die andere Seite der Gleichung:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Da unser $a$ (wie in $ax^2+bx+c$) in der ursprünglichen Gleichung gleich 1 ist, müssen wir es hier nicht aus der rechten Seite herausrechnen (obwohl Sie, wenn Sie möchten, schreiben können $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Teilen Sie als Nächstes den $x$-Koeffizienten (2,6) durch 2, quadrieren Sie ihn und addieren Sie dann die resultierende Zahl auf beiden Seiten der Gleichung:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktorisieren Sie die rechte Seite der Gleichung innerhalb der Klammern:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Kombinieren Sie abschließend die Konstanten auf der linken Seite der Gleichung und verschieben Sie sie dann auf die rechte Seite.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Unsere Antwort ist $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Wandeln Sie die Gleichung $7i y=91i x^2-112$ in die Scheitelpunktform um. Was ist der Scheitelpunkt?

Wenn Sie eine Gleichung in Scheitelpunktform umwandeln, möchten Sie, dass $y$ einen Koeffizienten von 1 hat. Daher teilen wir zunächst beide Seiten dieser Gleichung durch 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Als nächstes bringen Sie die Konstante auf die linke Seite der Gleichung:

$y+16=13x^2$

Berechne den Koeffizienten der Zahl $x^2$ (das $a$) von der rechten Seite der Gleichung

$y+16=13(x^2)$

Normalerweise müssten Sie nun das Quadrat auf der rechten Seite der Gleichung innerhalb der Klammern vervollständigen. Allerdings ist $x^2$ bereits ein Quadrat, sodass Sie nichts weiter tun müssen, als die Konstante von der linken Seite der Gleichung zurück auf die rechte Seite zu verschieben:

$y=13(x^2)-16$.

Nun den Scheitelpunkt finden:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, also $h=0$

$+k=-16$, also $k=-16$

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei $(0, -16)$.

#3: Was ist (sind) bei gegebener Gleichung $i y=2(i x-3/2)^2-9$ die $i x$-Koordinate(n), an der sich diese Gleichung mit der schneidet $i x$-Achse?

Da Sie bei der Frage aufgefordert werden, den/die $x$-Achsenabschnitt(e) der Gleichung zu finden, besteht der erste Schritt darin, $y=0$ zu setzen.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Von hier aus gibt es mehrere Möglichkeiten. Der raffinierteste Weg besteht darin, die Tatsache, dass in der Scheitelpunktformgleichung bereits ein Quadrat eingeschrieben ist, zu unserem Vorteil zu nutzen.

Zuerst verschieben wir die Konstante auf die linke Seite der Gleichung:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Als nächstes teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nun der hinterhältige Teil. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten der Gleichung:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±