Ableitung von Arcsin x ist d/dx(arcsin x) = 1/√1-x² . Es wird mit d/dx(arcsin x) oder d/dx(sin^-1X). Die Ableitung von Arcsin bezieht sich auf den Prozess der Ermittlung der Änderungsrate der Arcsin-x-Funktion in Bezug auf die unabhängige Variable. Die Ableitung von Arcsin x wird auch als Differenzierung von Arcsin bezeichnet.

In diesem Artikel lernen wir die Ableitung von Arcsin und ihre Formel kennen, einschließlich des Beweises der Formel unter Verwendung des ersten Ableitungsprinzips, der Quotientenregel und der Kettenregelmethode.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Ableitung in der Mathematik?
• Was ist die Ableitung von Arcsin x?
• Beweis der Ableitung von Arcsin x
• Gelöste Beispiele zur Ableitung von Arcsin x

Was ist eine Ableitung in der Mathematik?

Derivat einer Funktion ist die Änderungsrate der Funktion in Bezug auf eine unabhängige Variable. Die Ableitung einer Funktion f(x) wird als f'(x) oder (d /dx)[f(x)] bezeichnet. Die Differentiation einer trigonometrischen Funktion wird Ableitung der trigonometrischen Funktion oder trigonometrische Ableitungen genannt. Die Ableitung einer Funktion f(x) ist definiert als:

f'(x ₀ ) = lim _h→0 [f(x ₀ + h) – f(x ₀ )] / H

Was ist die Ableitung von Arcsin x?

Unter den inverse trigonometrische Ableitungen , die Ableitung des Arcsin x ist eine der Ableitungen. Die Ableitung der Arcsinus-Funktion stellt die Geschwindigkeit dar, mit der sich die Arcsinus-Kurve an einem bestimmten Punkt ändert. Es wird mit d/dx(arcsin x) oder d/dx(sin^-1X). Arcsinx wird auch als Umkehrsin x bezeichnet.

Die Ableitung des Arcsin x ist 1/√1-x²

Ableitung der Arcsin x-Formel

Die Formel für die Ableitung von Arcsin x lautet:

(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

ODER

(Arcsin x)‘ = 1/√1-x²

Überprüfen Sie auch, Invers Trigonometrische Funktion

Beweis der Ableitung von Arcsin x

Die Ableitung von tan x kann auf folgende Weise bewiesen werden:

• Durch die Verwendung der Kettenregel
• Durch die Verwendung des ersten Ableitungsprinzips

Ableitung von Arcsin nach Kettenregel

Um die Ableitung von Arcsin x nach der Kettenregel zu beweisen, verwenden wir die grundlegende trigonometrische und inverse trigonometrische Formel:

• ohne²und + cos²y = 1
• sin(arcsin x) = x

Hier ist der Beweis der Ableitung von Arcsin x:

Sei y = arcsinx

Sünde auf beiden Seiten hinnehmen

siny = sin(arcsinx)

Durch die Definition einer Umkehrfunktion gilt:

Java-String-Vergleich

sin(arcsinx) = x

Die Gleichung wird also zu siny = x …..(1)

Differenzieren beider Seiten nach x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

Escape-Zeichen Java

cosy · d/dx(y) = 1 [ As d/dx(sin x) = cos x]

dy/dx = 1/cosy

Verwendung einer der trigonometrischen Identitäten

ohne²y+cos²y = 1

∴cos y = √1 – Sünde²y = √1–x²[Aus (1) ergibt sich siny = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

Ersetzen Sie y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Überprüfen Sie auch, Kettenregel

Ableitung von Arcsin nach dem ersten Prinzip

Um die Ableitung von arcsin x zu beweisen, verwenden Sie Erstes Prinzip der Ableitung , wir werden grundlegende Grenzwerte verwenden und trigonometrische Formeln die unten aufgeführt sind:

• ohne²y+cos²y = 1

• lim_x→0x/sinx = 1

• sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Wir können die Ableitung von Arcsin nach dem ersten Prinzip mithilfe der folgenden Schritte beweisen:

Sei f(x) = arcsinx

Nach dem ersten Prinzip haben wir

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

setze f(x) = arcsinx, wir erhalten

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Nehmen Sie an, dass arcsin (x + h) = A und arcsin x = B

Also haben wir,

sin A = x+h …..(2)

Zeichenfolge zu lang

Sünde B = x…….(3)

Subtrahieren Sie (3) von (2), wir haben

sin A – sinB = (x+h) – x

sinA – sinB = h

Wenn h → 0, (sin A – sin B) → 0

Sünde A → Sünde B oder A → B

Ersetzen Sie diese Werte in Gleichung (1)

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Mit sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2] erhalten wir

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

was geschrieben werden kann als:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Jetzt wissen wir, Lim_x→0x/sinx = 1, daher ändert sich die obige Gleichung zu

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Verwendung einer der trigonometrischen Identitäten

ohne²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – sin²B = √1–x²[Sin B = x aus (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Überprüfen Sie auch

• Ableitung der trigonometrischen Funktion
• Differenzierungsformel
• Ableitung von Arctan x
• Ableitung von Umkehrfunktionen

Gelöste Beispiele zur Ableitung von Arcsin x

Beispiel 1: Finden Sie die Ableitung von y = arcsin (3x).

Lösung:

Sei f(x) = arcsin (3x).

Wir wissen, dass d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Nach der Kettenregel gilt:

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

Java-Ende

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√(1 -9x²)

Daher ist die Ableitung von y = arcsin (3x) 3/√(1 -9x²).

Beispiel 2: Finden Sie die Ableitung von y = arcsin (1/2x).

Lösung:

Sei f(x) = arcsin (1/2x).

Wir wissen, dass d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Nach der Kettenregel gilt:

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

= 1/√(4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²- 1

Daher ist die Ableitung von y = arcsin (1/x) -1/x√4x²- 1.

Beispiel 3: Finden Sie die Ableitung von y = x arcsin x.

Lösung:

Wir haben y = x arcsin x.

Matrizen in der C-Programmierung

d/dx(arcsin(1/x)) = x · d/dx (arcsin x) + arcsin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arcsin x
Daher ist die Ableitung von y = arcsin (1/x) x/√1-x² + arcsin x

Übungsfragen zur Ableitung von Sin x

Q1. Finden Sie die Ableitung von arcsin(5x).

Q2. Finden Sie die Ableitung von x³arcsin(x).

Q3. Auswerten: d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1 ]

Q4. Bewerten Sie die Ableitung von arcsin(x) – tan(x)

Ableitung der Arcsin-FAQs

Was ist die Ableitung von Arcsin?

Die Ableitung des Arcsin x ist 1/√1-x²

Was ist eine Ableitung in der Mathematik?

In der Mathematik ist die Ableitung das Maß dafür, wie sich eine Funktion ändert, wenn sich ihre Eingabe (unabhängige Variable) ändert. Die Ableitung einer Funktion f(x) wird als f'(x) oder (d /dx)[f(x)] bezeichnet.

Was ist die Ableitung von arcsin(1/x)?

Die Ableitung des Arcsin(1/x) ist (-1) / (x√x² – 1).

Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion ist definiert als die Änderungsrate der Funktion in Bezug auf eine unabhängige Variable.

Was ist die Ableitung von Sünde x?

Die Ableitung von sin x ist cos x.