Differenzierung trigonometrischer Funktionen ist die Ableitung trigonometrischer Funktionen wie sin, cos, tan, cot, sec und cosec. Differenzierung ist ein wichtiger Teil der Infinitesimalrechnung. Sie ist definiert als die Änderungsrate einer Größe im Verhältnis zu einer anderen Größe. Die Differenzierung der trigonometrischen Funktionen wird im wirklichen Leben in verschiedenen Bereichen wie Computer, Elektronik und Mathematik verwendet.

In diesem Artikel lernen wir die Differenzierung trigonometrischer Funktionen sowie die Formeln, die dazugehörigen Beweise und ihre Anwendungen kennen. Außerdem werden wir einige Beispiele lösen und Antworten auf einige FAQs zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen erhalten. Beginnen wir unser Lernen mit dem Thema Differenzierung trigonometrischer Funktionen.

Was ist Differenzierung?

Die Differenzierung einer Funktion ist die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine beliebige Variable. Der Derivat von f(x) wird als f'(x) oder (d /dx)[f(x)] bezeichnet.

Das Verfahren zur Differenzierung der trigonometrische Funktionen nennt man Differenzierung trigonometrischer Funktionen. Mit anderen Worten: Das Ermitteln der Änderungsrate trigonometrischer Funktionen in Bezug auf die Winkel wird als Differenzierung trigonometrischer Funktionen bezeichnet.

Die sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind sin, cos, tan, cosec, sec und cot. Wir finden die Ableitungen aller trigonometrischen Funktionen mit ihren Formeln und Beweisen.

Differenzierungsregel für trigonometrische Funktionen

Die Unterscheidung von sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen ist wie folgt:

Sie können den Beweis der Ableitung dieser sechs trigonometrischen Funktionen unter den unten angegebenen Links überprüfen:

Beweis der Differenzierung trigonometrischer Funktionen Formel

Wie oben die Formeln für alle trigonometrischen Funktionen besprochen, werden wir nun die obigen Formeln der Differenzierung der trigonometrischen Funktionen unter Verwendung des ersten Ableitungsprinzips, der Quotientenregel und der Kettenregel mit Hilfe von Grenzwerten beweisen.

Differenzierung von sin(x)

Um die Ableitung von sin x zu beweisen, verwenden wir das erste Differenzierungsprinzip und einige grundlegende trigonometrische Identitäten und Grenzwertformeln. Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion sin x

Nach dem ersten Prinzip der Differenzierung

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Durch Verwendung von 2 und 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Daher ist die Differenzierung von sin x cos x.

Differenzierung von cos(x)

Um die Ableitung von cos x zu beweisen, verwenden wir das erste Differenzierungsprinzip und einige grundlegende trigonometrische Identitäten und Grenzwertformeln. Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion cos x

Nach dem ersten Prinzip der Differenzierung

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(ohne h/h) ohne x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Durch Verwendung von 2 und 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Daher ist die Differenzierung von cos x -sin x.

Differenzierung von tan(x)

Um die Ableitung von tan x zu beweisen, verwenden wir die Quotientenregel und einige grundlegende trigonometrische Identitäts- und Grenzwertformeln. Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + Sünde²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion tan x

Da nach (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Durch Verwendung der Quotientenregel

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Von 4 und 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + Sünde²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [Um 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² X [Von 2]

Daher ist die Differenzierung von tan x sek ² X.

Differenzierung von cosec(x)

Um die Ableitung von cosec x zu beweisen, verwenden wir die Kettenregel und einige grundlegende trigonometrische Identitäts- und Grenzwertformeln. Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

Verwendung der Kettenregel

Anhängen einer Zeichenfolge in Java

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Nach 1 und 2]

Daher ist die Differenzierung von cosec x – cosec x cot x.

Differenzierung von sec(x)

Um die Ableitung von sec x zu beweisen, verwenden wir die Quotientenregel und einige grundlegende trigonometrische Identitäten Und Grenzwertformel . Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion sec x

(d/dx) Sek. x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

Verwendung der Kettenregel

(d/dx) Sek. x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) Sek. x = [-1 / cos²x] (-ohne x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Von 1 und 2]

Daher ist die Differenzierung von sec x sec x tan x.

Differenzierung von cot(x)

Um die Ableitung von cot x zu beweisen, verwenden wir die Quotientenregel und einige grundlegende trigonometrische Identitäten und Grenzwertformeln. Die trigonometrischen Identitäten und Grenzwertformeln, die im Beweis verwendet werden, sind unten aufgeführt:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + Sünde²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Beginnen wir mit dem Beweis für die Differentiation der trigonometrischen Funktion cot x

Da nach (1)

cot x = cos x / sin x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

Durch Verwendung der Quotientenregel

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Von 4 und 5]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x – cos²x] / Sünde²X

⇒ (d/dx) cot x = -[ sin²x + cos²x] / Sünde²X

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin²x [Um 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² X [Von 2]

Daher beträgt die Differenzierung von cot x -cosec ² X.

Einige andere trigonometrische Funktionsableitungen

Die Differenzierung der trigonometrischen Funktionen lässt sich leicht mit der Kettenregel durchführen. Die komplexen trigonometrischen Funktionen und zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen können durch Anwenden gelöst werden Kettenregel der Differenzierung. In den folgenden Überschriften werden wir uns ausführlicher mit der Kettenregel und der Differenzierung zusammengesetzter trigonometrischer Funktionen befassen.

• Differenzierung mittels Kettenregel
• Differenzierung der zusammengesetzten Triggerfunktion

Lassen Sie uns diese Themen im Detail besprechen.

Kettenregel und trigonometrische Funktion

Die Kettenregel besagt, dass, wenn p(q(x)) eine Funktion ist, die Ableitung dieser Funktion durch das Produkt der Ableitung von p(q(x)) und der Ableitung von q(x) gegeben ist. Zur Differenzierung dient die Kettenregel zusammengesetzte Funktionen . Die Kettenregel wird meist verwendet, um die zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen einfach zu differenzieren.

Beispiel: Finden Sie die Ableitung von f(x) = tan 4x

Lösung:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Durch Anwendung der Kettenregel

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (Sek²4x)(4)

Differenzierung der zusammengesetzten Triggerfunktion

Um die Differenzierung der zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen zu bewerten, wenden wir die Kettendifferenzierungsregel an. Die zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen sind die Funktionen, bei denen der Winkel der trigonometrischen Funktion selbst eine Funktion ist. Die Differenzierung zusammengesetzter trigonometrischer Funktionen kann leicht durch Anwendung der Kettenregel und der Differenzierungsformeln für trigonometrische Funktionen ausgewertet werden.

Beispiel: Finden Sie die Ableitung von f(x) = cos(x ² +4)

Lösung:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Durch Anwendung der Kettenregel

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Was sind inverse trigonometrische Funktionen?

Der inverse trigonometrische Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Es gibt sechs inverse trigonometrische Funktionen: sin^-1, weil^-1, Also^-1, cosec^-1, Sek^-1, Kinderbett^-1. Die inversen trigonometrischen Funktionen werden auch als Bogenfunktionen bezeichnet.

Differenzierung umgekehrter trigonometrischer Funktionen

Die Ableitungen von sechs inversen trigonometrischen Funktionen lauten wie folgt:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung von f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Lösung:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Anwendungen zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen

Es gibt viele verschiedene Anwendungen der Differentiation der trigonometrischen Funktionen im wirklichen Leben. Im Folgenden werden die Anwendungen der Differentiation der trigonometrischen Funktionen aufgeführt.

Top 10 Hentai

• Die Steigung der Tangente und der Normalen an die trigonometrische Kurve kann durch Differenzierung der trigonometrischen Funktionen bestimmt werden.
• Es kann auch verwendet werden, um die Maxima und Minima der Funktion zu bestimmen.
• Es wird auch im Bereich Computer und Elektronik eingesetzt.

Überprüfen Sie auch

• Inverse trigonometrische Ableitung
• Stammfunktion
• Differenzierungsformeln

Beispielaufgaben zur Differenzierung von Triggerfunktionen

Aufgabe 1: Finden Sie die Ableitung von f(x) = tan 2x.

Lösung:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Durch Anwendung der Kettenregel

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (Sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sec²2x

Aufgabe 2: Finden Sie die Ableitung von y = cos x / (4x ² )

Lösung:

y = cos x / (4x²)

Anwendung der Quotientenregel

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Aufgabe 3: Bewerten Sie die Ableitung f(x) = cosec x + x tan x

Lösung:

f(x) = cosec x + x tan x

Durch Anwendung der Formel- und Produktregel

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²X

Aufgabe 4: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 6x ⁴ weil x

Lösung:

f(x) = 6x⁴weil x

Durch Anwendung der Produktregel

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-ohne x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴ohne x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Aufgabe 5: Bewerten Sie die Ableitung: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Lösung:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Durch Anwendung der Produktregel

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Übungsaufgaben zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen

Problem 1: Finden Sie die Ableitung von y = sin(x) + cos(x).

Problem 2: Berechnen Sie die Ableitung von y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problem 3: Finden Sie die Ableitung von y = 2sin(3x).

Problem 4: Bestimmen Sie die Ableitung von y = tan(5x).

Problem 5: Finden Sie die Ableitung von y = sin(x) cos(x).

Problem 6: Berechnen Sie die Ableitung von y = cos²(X).

Problem 7: Bestimmen Sie die Ableitung von y = tan²(X).

Problem 8: Bestimmen Sie die Ableitung von y = tan(x) sec(x).

Häufig gestellte Fragen zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen

Was ist Differenzierung?

Differenzierung ist eine mathematische Operation, die die Rate berechnet, mit der sich eine Funktion in Bezug auf ihre unabhängige Variable ändert.

Was ist eine trigonometrische Funktion?

Trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Verhältnissen seiner Seiten in Beziehung setzen.

Was sind gängige trigonometrische Funktionen?

Zu den gängigen trigonometrischen Funktionen gehören Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kosekans (cosec), Sekant (sec) und Kotangens (cot).

Definieren Sie die Differenzierung trigonometrischer Funktionen.

Die Methode zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen wird Differenzierung trigonometrischer Funktionen genannt.

Wie differenziert man die Sinusfunktion, also sin (x)?

Die Ableitung von sin (x) ist cos (x). In der mathematischen Notation ist d/dx(sin(x)) = cos(x).

Was erhalten wir nach der Differentiation der Kosinusfunktion, d. h. cos (x)?

Die Ableitung von cos (x) ist -sin (x). In der mathematischen Notation ist d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Wie differenziert man die Tangensfunktion, also tan (x)?

Die Ableitung von tan(x) ist sec²(x), wobei sec(x) die Sekantenfunktion ist. In der mathematischen Notation ist d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Was sind die Formeln zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen?

Die Formel zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen lautet:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) Sek. x = Sek. x tan x
• (d/dx) cot x = -cosec²X

Geben Sie ein Beispiel für die Differenzierung einer trigonometrischen Funktion.

Betrachten wir eine Funktion f(x) = 2sin(3x).

Mit der Kettenregel

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Welche Methoden werden verwendet, um die Differenzierung trigonometrischer Funktionen abzuleiten?

Die verschiedenen Möglichkeiten, wie die Formel zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen abgeleitet werden kann, sind:

• Durch die Verwendung des ersten Prinzips der Ableitungen
• Durch die Verwendung der Quotientenregel
• Durch die Verwendung der Kettenregel

Was ist Antidifferenzierung der trigonometrischen Funktionen?

Die Antidifferenzierung der trigonometrischen Funktionen bedeutet, die Integration der trigonometrischen Funktionen zu finden.