Determinante der 4×4-Matrix: Die Determinante einer Matrix ist ein grundlegendes Konzept in der linearen Algebra, das für die Ableitung eines einzelnen Skalarwerts aus der Matrix unerlässlich ist. 4×4 ist eine quadratische Matrix mit 4 Zeilen und 4 Spalten, deren Determinante durch eine Formel ermittelt werden kann, die wir diskutieren werden.
Dieser Artikel wird es untersuchen die Definition einer 4×4-Matrix und Anleitung durch den schrittweisen Prozess zur Berechnung der Determinante der 4×4-Matrix. Darüber hinaus werden die praktischen Anwendungen dieser mathematischen Operation untersucht.
Inhaltsverzeichnis
- Was ist die Determinante einer Matrix?
- Determinante der 4×4-Matrix
- Determinante der 4 × 4-Matrixformel
- Determinante von 4×4-Matrix-Beispielen
- Determinante von 4×4-Matrix-Übungsfragen
Was ist die Determinante einer Matrix?
Der Determinante einer Matrix ist ein Skalarwert, der aus den Elementen von a berechnet werden kann quadratische Matrix . Es liefert wichtige Informationen über die Matrix, z. B. ob sie invertierbar ist, und den Skalierungsfaktor der durch die Matrix dargestellten linearen Transformationen.
Verschiedene Methoden, wie z Cofaktor Abhängig von der Größe und Struktur der Matrix können Erweiterung oder Zeilenreduktion verwendet werden, um die Determinante einer Matrix zu ermitteln. Nach der Berechnung wird die Determinante durch das Det-Symbol oder vertikale Balken, die die Matrix umgeben, gekennzeichnet.
Determinante der 4×4-Matrix
Eine 4×4-Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, die in vier Zeilen und vier Spalten angeordnet sind. Jedes Element in der Matrix wird durch seine Zeilen- und Spaltenposition identifiziert. Die allgemeine Form einer 4×4-Matrix sieht folgendermaßen aus:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Wo einijstellt das Element dar, das sich im i befindetThReihe und jThSpalte der Matrix.
4×4-Matrizen kommen häufig in verschiedenen Bereichen wie Computergrafik, Physik, Ingenieurwesen und Mathematik vor. Sie werden verwendet, um Transformationen darzustellen, lineare Gleichungssysteme zu lösen und Operationen in der linearen Algebra durchzuführen.
Eigenschaften der 4×4-Matrix
Hier sind einige Eigenschaften einer 4×4-Matrix vereinfacht erklärt:
- Quadratische Matrix: Eine 4×4-Matrix hat die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, was sie zu einer quadratischen Matrix macht.
- Bestimmend: Die Determinante einer 4×4-Matrix kann mit Methoden wie Kofaktorerweiterung oder Zeilenreduktion berechnet werden. Es liefert Informationen über die Invertierbarkeit und den Skalierungsfaktor der Matrix für lineare Transformationen.
- Invers: Eine 4×4-Matrix ist umkehrbar wenn seine Determinante ungleich Null ist. Die Umkehrung einer 4×4-Matrix ermöglicht das Lösen linearer Gleichungssysteme und das Rückgängigmachen von durch die Matrix dargestellten Transformationen.
- Transponieren: Die Transponierte einer 4×4-Matrix erhält man durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten. Es kann bei bestimmten Berechnungen und Transformationen nützlich sein.
- Eigenwerte und Eigenvektoren: 4×4-Matrizen können analysiert werden, um ihre zu finden Eigenwerte und Eigenvektoren , die Eigenschaften der Matrix unter linearen Transformationen darstellen.
- Symmetrie: Abhängig von der spezifischen Matrix kann sie Symmetrieeigenschaften aufweisen, z. B. symmetrisch, schiefsymmetrisch oder keines von beidem.
- Matrixoperationen: Verschiedene Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Skalarmultiplikation können auf 4×4-Matrizen nach bestimmten Regeln und Eigenschaften durchgeführt werden.
Lesen Sie im Detail: Eigenschaften von Determinanten
Determinante der 4 × 4-Matrixformel
Determinante einer beliebigen 4 × 4-Matrix, d. h.
it(A) = a elf · es (A elf ) - A 12 · es (A 12 ) + a 13 · es (A 13 ) - A 14 · es (A 14 )
Wo einijbezeichnet die Submatrix durch Streichung von iThReihe und jThSpalte.
Wie findet man die Determinante einer 4 × 4-Matrix?
Um die Determinante einer 4×4-Matrix zu ermitteln, können Sie verschiedene Methoden verwenden, z. B. die Erweiterung um Nebenwerte, die Zeilenreduktion oder die Anwendung spezifischer Eigenschaften.
Eine gängige Methode ist die Erweiterung durch Nebenelemente, bei der Sie entlang einer Zeile oder Spalte expandieren, indem Sie jedes Element mit seinem Cofaktor multiplizieren und die Ergebnisse summieren. Dieser Prozess wird rekursiv fortgesetzt, bis Sie eine 2×2-Submatrix erreichen, für die Sie die Determinante direkt berechnen können. Um zu verstehen, wie man die Determinante einer 4×4-Matrix ermittelt, betrachten Sie ein Beispiel.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Schritt 1: Erweitern Sie entlang der ersten Zeile:
it(A) = 2 · it(A elf ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
Wo einijbezeichnet die Submatrix, die durch Löschen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird.
Schritt 2: Berechnen Sie die Determinante jeder 3×3-Submatrix.
Für einelf
⇒ |Aelf| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Aelf| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Aelf| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |Aelf| = 10 + 26 + 4= 40
Für ein12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
eine Million in Zahlen
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
Für ein13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22= 30
Für ein14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Schritt 3: Setzen Sie die Determinanten der 3×3-Untermatrizen in die Erweiterungsformel ein:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Schritt 4: Berechnen Sie die endgültige Determinante:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Die Determinante der gegebenen 4×4-Matrix ist also 48.
Überprüfen Sie auch
- Determinante der 2×2-Matrix
- Determinante der 3×3-Matrix
Determinante von 4×4-Matrix-Beispielen
Beispiel 1: A =
Lösung:
Erweitern Sie zuerst entlang der ersten Zeile:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Berechnen Sie nun die Determinante jeder 3×3-Submatrix.
Für ein elf ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
q3 Monate= -25
Für ein 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
Für ein 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
Für ein 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Setzen Sie nun die Determinanten der 3×3-Untermatrizen in die Erweiterungsformel ein:
1 Milliarde bis Milliondet(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Die Determinante der Matrix (A) ist also 24.
Beispiel 2: Berechnen Sie die Determinante der Matrix
Lösung:
Um die Determinante der Matrix ( A ) zu finden, verwenden wir die Methode der Erweiterung durch Minors entlang der ersten Zeile:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Berechnen wir nun die Determinanten der 3×3-Untermatrizen:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Setzen Sie nun diese Determinanten wieder in die Erweiterungsformel ein:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Die Determinante der Matrix (A) ist also det(A) = -120.
Beispiel 3: Finden Sie die Determinante der Matrix B =
Lösung:
Was ist Myspace?
Um die Determinante der Matrix ( B ) zu finden, verwenden wir die Methode der Erweiterung durch Minors entlang der ersten Zeile:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Berechnen wir nun die Determinanten der 3×3-Untermatrizen:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Setzen Sie nun diese Determinanten wieder in die Erweiterungsformel ein:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ alles
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Die Determinante der Matrix (B) ist also det(B) = -19
Determinante von 4×4-Matrix-Übungsfragen
F1: Berechnen Sie die Determinante der folgenden 4×4-Matrix:
F2: Finden Sie die Determinante der Matrix:
F3: Berechnen Sie die Determinante der folgenden 4×4-Matrix:
F4: Bestimmen Sie die Determinante der Matrix:
F5: Finden Sie die Determinante der Matrix:
FAQs zur Determinante der 4×4-Matrix
Wie findet man die Determinante einer 4×4-Matrix?
Um die Determinante einer 4×4-Matrix zu ermitteln, können Sie verschiedene Methoden wie Kofaktorerweiterung oder Zeilenreduktionstechniken verwenden.
Was ist die Determinante einer 4×4-Identitätsmatrix?
Die Determinante einer 4×4-Identitätsmatrix ist 1, da es sich um einen Sonderfall handelt, bei dem alle Diagonalelemente 1 und der Rest 0 sind.
Wie finde ich die Determinante einer 4×4-Matrix mithilfe der Cofaktor-Erweiterung?
Um die Determinante einer 4×4-Matrix mithilfe der Cofaktor-Erweiterung zu bestimmen, müssen sie in kleinere 3×3-Matrizen zerlegt, die Cofaktor-Formel angewendet und die Produkte summiert werden.
Wie lautet die Determinantenformel?
Die Formel für die Determinante besteht darin, die Produkte der Elemente und ihrer Cofaktoren in jeder Zeile oder Spalte unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen zu summieren.
Kann eine Determinante negativ sein?
Ja, Determinanten können abhängig von der spezifischen Matrix und ihren Eigenschaften negativ, positiv oder null sein.
Kann eine 4×4-Matrix eine Umkehrung haben?
Eine 4×4-Matrix kann eine Umkehrung haben, wenn ihre Determinante ungleich Null ist; andernfalls ist es singulär und es fehlt eine Umkehrung.
Wie zeigt man, dass eine 4×4-Matrix invertierbar ist?
Um zu zeigen, dass eine 4×4-Matrix invertierbar ist, bestätigen Sie, dass ihre Determinante ungleich Null ist, was auf die Existenz einer Umkehrung hinweist, und verwenden Sie zusätzliche Kriterien wie Zeilenreduktion, um die Invertibilität zu überprüfen.