Determinante ist ein grundlegendes Konzept in der linearen Algebra, mit dem ein einzelner Skalarwert für die gegebene Matrix ermittelt wird. In diesem Artikel wird Schritt für Schritt erklärt, was eine 3 × 3-Matrix ist und wie die Determinante einer 3 × 3-Matrix berechnet wird, sowie ihre Anwendungen. Egal, ob Sie ein Student sind, der lineare Algebra lernt, oder ein Enthusiast, der ein tieferes Verständnis der Matrixoperationen sucht, das Verständnis der Determinante einer 3 × 3-Matrix ist eine wertvolle Fähigkeit, die es zu erwerben gilt.

Was ist die Determinante der Matrix?

Determinante einer Matrix ist eine einzelne Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Im Bereich der linearen Algebra werden Determinanten mithilfe der Werte innerhalb der quadratischen Matrix ermittelt. Diese Zahl wirkt wie ein Skalierungsfaktor und beeinflusst, wie sich die Matrix transformiert. Determinanten sind wertvoll für die Lösung linearer Gleichungssysteme, die Ermittlung der Umkehrung einer Matrix und verschiedene Rechenoperationen.

Was ist eine 3 × 3-Matrix?

Eine 3 × 3-Matrix ist eine Matrix wobei die Anzahl der Zeilen und Spalten jeweils gleich 3 ist. Da die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, ist 3 × 3 eine quadratische Matrix der Ordnung 3×3. Eine Matrix ist wie eine Tabelle aus Zahlen, die in Zeilen und Spalten gegliedert ist. Es wird zum Speichern und Bearbeiten von Daten in der Mathematik und anderen Bereichen verwendet. Eine 3 × 3-Matrix hingegen ist ein spezieller Matrixtyp, der aus drei Zeilen und drei Spalten besteht. Es kann wie folgt dargestellt werden:

3 × 3-Matrix

Eigenschaften der 3 × 3-Matrix

Wie andere Matrizen haben auch 3 × 3-Matrizen einige wichtige Eigenschaften.

• Quadratische Matrix : Eine 3×3-Matrix hat drei Zeilen und drei Spalten, was sie zu einer quadratischen Matrix macht.

• Bestimmend: Eine 3 × 3-Matrix hat eine Determinante, einen numerischen Wert, der für das Lösen von Gleichungen und das Finden von Umkehrungen entscheidend ist.

• Matrix-Multiplikation: Sie können eine 3 × 3-Matrix mit einer anderen Matrix multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten übereinstimmt.

• Invers: Eine 3 × 3-Matrix kann eine Umkehrung haben, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Die inverse Matrix ergibt bei Multiplikation mit der Originalmatrix die Identitätsmatrix.

Determinante der 3 × 3-Matrixformel

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung der Determinante einer Matrix. Der gebräuchlichste Ansatz besteht darin, eine gegebene 3×3-Matrix in kleinere 2×2-Determinanten zu zerlegen. Dies vereinfacht das Finden der Determinante und wird häufig in der linearen Algebra verwendet.

Nehmen wir eine 3 × 3-Quadratmatrix, die wie folgt geschrieben wird:

Um die Determinante der Matrix A zu berechnen, d. h. |A|.

Erweitern Sie die Matrix entlang der Elemente der ersten Zeile.

Daher,

Wie findet man die Determinante einer 3 × 3-Matrix?

Lassen Sie uns die Berechnung einer 3 × 3-Matrix anhand eines Beispiels verstehen. Für die unten angegebene 3 × 3-Matrix.

bash while-Schleife

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Schritt 1: Wählen Sie eine Referenzzeile oder -spalte

Wählen Sie eine Zeile und eine Spalte aus, um zu beginnen. Nehmen wir in diesem Beispiel an, dass wir das erste Element (2) als Referenz verwenden, um die Determinante der 3 × 3-Matrix zu berechnen.

Erweitern Sie also entlang der Reihe R₁

Schritt 2: Zeile und Spalte durchstreichen

Entfernen Sie die ausgewählte Zeile und Spalte, um sie in einer 2 × 2-Matrix zu vereinfachen.

2×2-Matrix

Schritt 3: Finden Sie die Determinante der 2 × 2-Matrix

Finden Sie die Determinante der 2 × 2-Matrix mithilfe der Formel

Determinante = (a × d) – (b × c)

Kreuzmultiplizieren

Hier ist a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

Setzen wir diese Werte in die obige Determinantenformel ein, erhalten wir

Determinante = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinante = 0- (-1)

Determinante = 0+1

∴ Determinante der 2 × 2-Matrix = 1

Schritt 4: Mit dem gewählten Element multiplizieren

Multiplizieren Sie die Determinante der 2 × 2-Matrix mit dem ausgewählten Element aus der Referenzzeile (in diesem Fall 2,1 und 3):

erstes Element = 2 × 1 = 2

Schritt 5: Wiederholen Sie diesen Vorgang für das zweite Element in der ausgewählten Referenzzeile

Für das zweite Element

Finden Sie die Determinante für das zweite Element 1, indem Sie die Werte der 2×2-Matrix in die Formel eingeben

Determinante = (a × d) – (b × c)

Hier ist a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinante = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinante = 8 – 2

Determinante = 6

Multiplizieren Sie nun die Determinante der 2 × 2-Matrix mit dem ausgewählten Element aus der Referenzzeile (in diesem Fall 1):

zweites Element = 1 × 6 = 6

Schritt 6: Wiederholen Sie diesen Vorgang für das dritte Element in der ausgewählten Referenzzeile

Für das dritte Element

Finden Sie die Determinante für das dritte Element 3, indem Sie die Werte der 2×2-Matrix in die Formel eingeben

Determinante = (a × d) – (b × c)

Hier ist a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinante = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinante = -4 – 0

Determinante = -4

Multiplizieren Sie nun die Determinante der 2×2-Matrix mit dem ausgewählten Element aus der Referenzzeile (in diesem Fall 3):

zweites Element = 3 × (-4) = -12

Schritt 7: Formel verwenden

Addieren Sie alle Ergebnisse aus den Schritten 4, 5 und 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 ist die Determinante der 3 × 3-Matrix.

Anwendung der Determinante einer 3 × 3-Matrix

Die Determinante einer Matrix kann verwendet werden, um die Umkehrung zu finden und das lineare Gleichungssystem zu lösen. Daher lernen wir, die Umkehrung der 3 × 3-Matrix zu finden und auch lineare Gleichungssysteme mithilfe der Cramer-Regel zu lösen, die die Verwendung der Determinante der 3 × 3-Matrix beinhalten.

Umkehrung der 3 × 3-Matrix

Die Formel zum Ermitteln der Umkehrung einer quadratischen Matrix A lautet:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Wo,

• A-1 ist das Umkehrung der Matrix A .
• Det(A) stellt die Determinante der Matrix A dar.
• adj(A) steht für das Adjugat der Matrix A

Vereinfacht ausgedrückt können Sie die folgenden Schritte ausführen, um die Umkehrung einer Matrix zu ermitteln:

Schritt 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A.

Schritt 2. Finden Sie das Adjugat der Matrix A.

Schritt 3. Multiplizieren Sie jedes Element im Adjugat mit 1/det(A).

Diese Formel wird für quadratische Matrizen (Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten) verwendet und geht davon aus, dass die Determinante ungleich Null ist, was eine notwendige Bedingung dafür ist, dass eine Matrix eine Umkehrung hat.

Cramers Regel

Cramers Regel stellt eine Formel zur Lösung eines Systems linearer Gleichungen unter Verwendung von Determinanten bereit. Für ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen wird die Form angegeben

AX=B

Wo,

• A = Koeffizient der quadratischen Matrix
• X = Spaltenmatrix mit Variablen
• B = Spaltenmatrix mit Konstanten

Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem

A₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

A₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

Stellvertretender Polizeikommissar

. . .

A_Nx + b_Ny + c_Nz + . . . = d_N

Die Variablen x, y, z, … werden nach folgenden Formeln ermittelt:

• x = D_X/D
• y = D_Und/D
• z = D_Mit/D

Wo:

• D ist die Determinante der Koeffizientenmatrix.
• D_Xist die Determinante der Matrix, die man erhält, indem man die Koeffizienten von x durch die Konstanten auf der rechten Seite ersetzt.
• D_Undist die Determinante der Matrix, die durch Ersetzen der Koeffizienten von y erhalten wird
• D_Mitist die Determinante der Matrix, die durch Ersetzen der Koeffizienten von z erhalten wird

Die Cramer-Regel ist anwendbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix D ungleich Null ist. Wenn D = 0, kann die Regel nicht angewendet werden, die je nach Einzelfall entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen angibt.

Überprüfen Sie auch

• Arten von Matrizen
• System linearer Gleichungen mit drei Variablen
• Matrixoperationen

Determinante von 3 × 3-Matrix-gelösten Beispielen

Beispiel 1: Finden Sie die Determinante der Matrix A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinante von A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinante von A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinante von A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinante von A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinante von A =-44+11

∴ Determinante von A, d. h. |A| = (-33)

Beispiel 2: Finden Sie die Determinante der Matrix B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinante von B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinante von B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinante von B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinante von B =6-12

⇒ Determinante von B = (-6)

∴ Determinante von B, d. h. |B| = 6

Beispiel 3: Finden Sie die Determinante der Matrix C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinante der Matrix C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinante von C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinante von C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinante von C = 24 + 10 -8

⇒ Determinante von C = 26

∴ Determinante von C, d. h. |C| = 26

Beispiel 4: Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem mit der Cramer-Regel

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Lösung:

Schritt 1: Finden Sie zunächst die Determinante D der Koeffizientenmatrix.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Zur Lösung dieser Determinante D

desc-Tabelle in MySQL

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Schritt 2: Finden Sie nun die Determinanten von D_X, D_Undund D_Mit

Für D_X, ersetzen wir die Koeffizienten von x durch die Konstanten auf der rechten Seite:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Für D_Und, ersetzen wir die Koeffizienten von y durch die Konstanten:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Für D_Mit, ersetzen wir die Koeffizienten von z durch die Konstanten:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Zur Lösung der Determinante D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

So, D_X= 21

Zur Lösung der Determinante D_Und

D_Und= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_Und= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_Und= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_Und= -68 + 14 + 24

⇒ D_Und= -30

Zur Lösung der Determinante D_Mit

D_Mit= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Mit= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Mit= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Mit= 20 – 6 – 98

⇒ D_Mit= -84

Schritt 3: Geben Sie nun die Werte von D, D ein_X, D_Undund D_Mitin der Carmer-Regelformel, um die Werte von x, y und z zu finden.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_Und/D = (-30)/(-19)

z = D_Mit/D = (-84)/(-19)

Übungsfragen zur Determinante der 3 × 3-Matrix

Q1. Berechnen Sie die Determinante der Identitätsmatrix:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Finden Sie die Determinante der Matrix:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Berechnen Sie die Determinante der Matrix:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

F5. Finden Sie die Determinante der Matrix:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

F6. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix:

abstrakte Klasse in Java

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinante der 3 × 3-Matrix – FAQs

1. Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Elementen, die in Zeilen und Spalten organisiert sind. Es wird in verschiedenen Bereichen zur Darstellung und Lösung mathematischer, naturwissenschaftlicher und technischer Probleme eingesetzt.

2. Welche Bedeutung hat die Determinante einer 3 × 3-Matrix?

Die Determinante einer 3 × 3-Matrix ist von Bedeutung, da sie Informationen über die Eigenschaften der Matrix liefert. Es hilft unter anderem dabei, festzustellen, ob ein System linearer Gleichungen eine eindeutige Lösung hat.

3. Was ist die Definition der Determinante der Matrix?

Die Determinante einer Matrix ist ein Skalarwert, der aus den Elementen der Matrix berechnet wird und Informationen über ihre Eigenschaften liefert. Es wird zum Lösen linearer Gleichungssysteme, zum Finden von Umkehrungen und mehr verwendet.

4. Was ist, wenn die Determinante einer 3 × 3-Matrix Null ist?

Wenn die Determinante einer 3 × 3-Matrix Null ist, bedeutet dies, dass die Matrix singulär ist und keine Umkehrung aufweist. Geometrisch bedeutet dies, dass die durch die Matrix dargestellte Transformation die Fläche oder das Volumen auf Null reduziert. Determinante ist immer Null. Dies gilt für Matrizen jeder Größe.

5. Kann die Determinante einer 3 × 3-Matrix negativ sein?

Ja, die Determinante kann negativ sein. Das Vorzeichen der Determinante hängt von der Anordnung der Matrixelemente ab und davon, ob diese je nach Berechnungsmethode einen positiven oder negativen Wert ergeben.

6. Welche praktischen Anwendungen gibt es, die Determinante einer 3 × 3-Matrix zu finden?

Determinanten werden in verschiedenen Bereichen verwendet, darunter Physik, Ingenieurwesen, Computergrafik und Wirtschaftswissenschaften. Sie helfen bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, der Analyse geometrischer Transformationen und der Bestimmung der Stabilität dynamischer Systeme.