PUNKT- UND KREUZPRODUKTE AUF VEKTOREN

Eine Größe, die nicht nur durch ihre Größe, sondern auch durch ihre Richtung gekennzeichnet ist, wird Vektor genannt. Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung, Impuls usw. sind Vektoren.

Vektoren können auf zwei Arten multipliziert werden:

Skalarprodukt oder Skalarprodukt
Vektorprodukt oder Kreuzprodukt

Inhaltsverzeichnis

Skalarprodukt/Punktprodukt von Vektoren

Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor

Eigenschaften des Skalarprodukts
Ungleichungen basierend auf Skalarprodukt
Kreuzprodukt/Vektorprodukt von Vektoren

Eigenschaften des Kreuzprodukts
Kreuzprodukt in Determinantenform

Punkt- und Kreuzprodukt
FAQs zu Punkt- und Kreuzprodukten auf Vektoren

Skalarprodukt/Punktprodukt von Vektoren

Das resultierende Skalarprodukt/Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer eine Skalargröße. Betrachten Sie zwei Vektoren A Und B . Das Skalarprodukt wird als Produkt der Beträge von a, b und des Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren berechnet.

Skalarprodukt = |a||b| cos α

Hier,

|a| = Größe des Vektors A,
|b| = Größe des Vektors B , Und
α = Winkel zwischen den Vektoren.

Vektoren a und b mit dem Winkel α zwischen ihnen

Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor

Vektor A kann wie unten gezeigt auf die Linie l projiziert werden:

CD = Projektion von Vektor a auf Vektor b

Aus der obigen Abbildung geht klar hervor, dass wir einen Vektor auf einen anderen Vektor projizieren können. AC ist der Betrag des Vektors A. In der obigen Abbildung ist AD senkrecht zur Linie l gezeichnet. CD repräsentiert die Projektion des Vektors A auf Vektor B .

Das Dreieck ACD ist also ein rechtwinkliges Dreieck, und wir können trigonometrische Formeln anwenden.

Wenn α das Maß für den Winkel ACD ist, dann

cos α = CD/AC

Oder, CD = AC, weil a

Aus der Abbildung geht hervor, dass CD die Projektion des Vektors a auf den Vektor b ist

Daraus können wir schließen, dass ein Vektor durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen auf den anderen projiziert werden kann.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer eine reelle Zahl (Skalar).
Das Skalarprodukt ist kommutativ, d. h. a.b =b.a= |a||b| cos α
Wenn α 90° beträgt, ist das Skalarprodukt Null, da cos(90) = 0. Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren in x- und y-Richtung ist also 0.
Wenn α 0° ist, ist das Skalarprodukt das Produkt der Beträge von A Und B |a||b|.
Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist 1.
Das Skalarprodukt eines Vektors a mit sich selbst ist |a|²
Wenn α 180 ist⁰, das Skalarprodukt für die Vektoren a und b ist -|a||b|
Skalarprodukt ist distributiv gegenüber Addition

A. ( B + C ) = a.b + Wechselstrom

Für jeden Skalar k und m gilt dann:

l A. (M B ) = km a.b

Wenn die Komponentenform der Vektoren wie folgt gegeben ist:

A = a₁x + a₂und + a₃Mit

B = b₁x + b₂y + b₃Mit

dann ist das Skalarprodukt gegeben als

a.b = a₁B₁+ a₂B₂+ a₃B₃

Das Skalarprodukt ist in den folgenden Fällen Null:
- Der Betrag des Vektors a ist Null
- Der Betrag des Vektors b ist Null
- Die Vektoren a und b stehen senkrecht zueinander

Ungleichungen basierend auf Skalarprodukt

Es gibt verschiedene Ungleichungen, die auf dem Skalarprodukt von Vektoren basieren, wie zum Beispiel:

Cauchy-Schwartz-Ungleichung
Dreiecksungleichung

Lassen Sie uns diese im Detail wie folgt besprechen:

Cauchy-Schwartz-Ungleichung

Nach diesem Prinzip gilt für zwei beliebige Vektoren A Und B , der Betrag des Skalarprodukts ist immer kleiner oder gleich dem Produkt der Beträge von Vektor a und Vektor b

|a.b| ≤ |a| |b|

Nachweisen:

Da a.b = |a| |b| cos α

Wir wissen, dass 0

Daraus schließen wir, dass |a.b| ≤ |a| |b|

Dreiecksungleichung

Für zwei beliebige Vektoren A Und B , wir haben immer

| A + B | ≤ | A | + | B |

Java liest CSV

Dreiecksungleichung

Nachweisen:

| A + B |²=| A + B || A + B |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | A |²+ 2 a.b +| B |²(Skalarprodukt ist kommutativ)

≤ | A |²+ 2| a||b | + | B |²

≤ ( |a | + | b| )²

Dies beweist, dass | A + B | ≤ | A | + | b|

Beispiele für Skalarprodukte von Vektoren

Beispiel 1. Betrachten Sie zwei Vektoren mit |a|=6 und |b|=3 und α = 60°. Finden Sie ihr Skalarprodukt.

Lösung:

a.b = |a| |b| cos α

Also, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Beispiel 2. Beweisen Sie, dass die Vektoren a = 3i+j-4k und b = 8i-8j+4k senkrecht zueinander stehen.

Lösung :

Wir wissen, dass die Vektoren senkrecht stehen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Da das Skalarprodukt Null ist, können wir daraus schließen, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Kreuzprodukt/Vektorprodukt von Vektoren

Den Lesern ist bereits ein dreidimensionales rechtshändiges rechtwinkliges Koordinatensystem bekannt. In diesem System bedeutet eine Drehung der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn in die positive y-Achse, dass eine rechtsdrehende (Standard-)Schraube in Richtung der positiven z-Achse vordringen würde, wie in der Abbildung gezeigt.

3D-rechteckiges Koordinatensystem

Der Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Vektoren A Und B mit einem Winkel α zwischen ihnen wird mathematisch berechnet als

a × b = |a| |b| ohne α

Es ist zu beachten, dass das Kreuzprodukt ein Vektor mit einer bestimmten Richtung ist. Die Resultierende steht immer senkrecht auf a und b.

Auch wenn zwei Vektoren gegeben sind,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)Undmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), ihr Kreuzprodukt, bezeichnet mit a × b, wird wie folgt berechnet:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Falls a und b parallele Vektoren sind, muss die Resultierende Null sein, da sin(0) = 0

Eigenschaften des Kreuzprodukts

Kreuzprodukt generiert eine Vektorgröße. Die Resultierende steht immer senkrecht auf a und b.
Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren/kollinearer Vektoren ist Null, da sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

Das Kreuzprodukt zweier zueinander senkrechter Vektoren mit Einheitsgröße ist jeweils Eins. (Da sin(0)=1)
Kreuzprodukt ist nicht kommutativ.

a × b ist nicht gleich b × a

Kreuzprodukt ist distributiv gegenüber Addition

ein × ( B + C ) = A × b + A × C

Wenn k ein Skalar ist, dann gilt:

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Wenn wir uns im Uhrzeigersinn bewegen und das Kreuzprodukt zweier Paare von Einheitsvektoren bilden, erhalten wir das dritte, und wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen, erhalten wir die negative Resultierende.

Kreuzen Sie das Produkt im und gegen den Uhrzeigersinn

Folgende Ergebnisse können festgestellt werden:

i × j = k	j × k = i	k × i = j
j × i = -k	i × k= -j	k × j = -i

Kreuzprodukt in Determinantenform

Wenn der Vektor A wird dargestellt als a = a1x + a2y + a3z und Vektor B wird dargestellt als b = b1x + b2y + b3z

Dann das Kreuzprodukt a × b kann mithilfe der Determinantenform berechnet werden

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Dann, a × b = x(a₂B₃- B₂A₃) + y(a₃B₁- A₁B₃) + z(a₁B₂- A₂B₁)

Wenn a und b die benachbarten Seiten des Parallelogramms OXYZ sind und α der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist.

Dann ist die Fläche des Parallelogramms gegeben durch | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektoren a und b als benachbarte Seiten eines Parallelogramms

Beispiele von C Rossprodukt von Vektoren

Beispiel 1. Finden Sie das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b, wenn ihre Beträge 5 bzw. 10 sind. Vorausgesetzt, der Winkel dazwischen beträgt 30°.

Lösung:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 senkrecht zu A Und B

Beispiel 2. Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, dessen benachbarte Seiten sind

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Lösung :

Die Fläche wird berechnet, indem das Kreuzprodukt benachbarter Seiten ermittelt wird

a × b = x(a₂B₃- B₂A₃) + y(a₃B₁- A₁B₃) + z(a₁B₂- A₂B₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Daher ist die Größe der Flächesqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}