Der Kegelstumpf ist eine besondere Form, die entsteht, wenn wir den Kegel mit einer Ebene parallel zu seiner Basis schneiden. Der Kegel ist eine dreidimensionale Form mit einer kreisförmigen Basis und einer Spitze. Der Kegelstumpf ist also ein festes Volumen, das durch Entfernen eines Teils des Kegels mit einer Ebene parallel zur kreisförmigen Grundfläche entsteht. Der Kegelstumpf ist nicht nur für Kegel definiert, sondern kann auch für die verschiedenen Pyramidentypen (quadratische Pyramide, dreieckige Pyramide usw.) definiert werden.

Einige der häufigsten Formen eines Kegelstumpfes, die wir in unserem täglichen Leben entdecken, sind Eimer, Lampenschirm und andere. Erfahren Sie in diesem Artikel mehr über den Kegelstumpf.

Was ist ein Kegelstumpf?

Frustum ist ein lateinisches Wort, das Stücke bedeutet, daher ist Frustum of Cone ein festes Stück des Kegels. Wenn ein rechter Kreiskegel wird durch eine Ebene parallel zur Basis des Kegels geschnitten. Die so erhaltene Form wird Kegelstumpf genannt. Die folgende Abbildung zeigt uns, wie eine Ebene den Kegel parallel zu seiner Basis schneidet, um den Kegelstumpf zu bilden.

Nun lässt sich der Kegelstumpf leicht definieren als:

Wenn ein gerader Kreiskegel durch eine Ebene parallel zu seiner Basis geschnitten wird, wird die Form des Abschnitts zwischen der Schnittebene und der Basisebene als Kegelstumpf bezeichnet.

Netz aus Kegelstück

Wenn eine dreidimensionale (3D) Form aufgeschnitten und in eine zweidimensionale Form umgewandelt wird, wird die so erhaltene Form als Netz bezeichnet. Man kann davon ausgehen, dass das Netz der Figur, wenn es richtig gefaltet wird, die gewünschte 3D-Form bildet. Das Bild unten zeigt das Netz des Kegelstumpfes.

Eigenschaften eines Kegelstücks

Die Eigenschaften eines Kegelstumpfes sind denen des Kegels sehr ähnlich. Einige der wichtigen Eigenschaften des Kegelstumpfes sind:

• Die Basis des Kegels: Der ursprüngliche Kegel ist im Kegelstumpf enthalten, seine Spitze ist jedoch nicht im Kegelstumpf enthalten.
• Formeln für den Kegelstumpf hängen von seiner Höhe und zwei Radien (entsprechend der oberen und unteren Basis) ab.
• Die Höhe des Kegelstumpfes ist der senkrechte Abstand zwischen den Mittelpunkten seiner beiden Grundflächen.

Formeln für ein Stück Kegel

Ein Kegelstumpf ist eine Form, die in unserem täglichen Leben häufig vorkommt, zum Beispiel bei Tischlampen, Eimern usw. Die wichtigen Formeln für den Kegelstumpf sind:

• Volumen des Kegelstücks
• Oberfläche des Kegelstumpfes

Im Folgenden erfahren Sie mehr über diese Formeln:

Volumen des Kegelstücks

Ein Kegelstumpf ist ein abgeschnittener Teil eines Kegels, bei dem ein kleiner Kegel vom größeren Kegel entfernt wird. Um das Volumen des Kegelstumpfes zu berechnen, muss man daher lediglich die Differenz zwischen dem Volumen des größeren und kleineren Kegels berechnen.

Angenommen,

• Die Gesamthöhe des Kegels soll H + h betragen
• Die gesamte Neigungshöhe beträgt l’ + L
• Der Radius eines vollständigen Kegels ist r
• Der Radius des geschnittenen Kegels beträgt r’

Da das Volumen des Kegels mit V = 1/3πr gegeben ist²H

Volumen des vollständigen Kegels V₁= 1/3πr²(H+h)

Volumen des kleineren Kegels V₂=1/3πr’²(H)

Nun kann das Volumen des Kegelstumpfes (V) mit der Formel berechnet werden:

V=V₁- IN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(H)

Java vergleichbar

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Unter Verwendung der Ähnlichkeitseigenschaft der Dreiecke von △OCD und △OAB kann man schreiben:

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = hr / r’

Setzen Sie diesen Wert von (H+h) in Gleichung (1) ein und vereinfachen Sie:

V = 1/3π[r²(rh / r’) – r’²(H)}

= 1/3π[{Std³– Std.³} / r’]…(2)

Indem wir die Eigenschaft des ähnlichen Dreiecks erneut in △OCD und △OAB verwenden, werden wir den Wert von h ermitteln

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

np.random.rand

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Setzt man diese Werte in Gleichung (2) ein,

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}h / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+rr’)

Daher,

Volumen des Kegelstumpfes = 1/3 πH(r ² + r’ ² + rr’)

Oberfläche des Kegelstumpfes

Die Oberfläche des Kegelstumpfes kann aus der Differenz zwischen den berechnet werden Oberfläche des gesamten Kegels und der kleinere Kegel (vom kompletten Kegel entfernt). Die Oberfläche des Kegelstumpfs kann mithilfe des folgenden Diagramms berechnet werden, wobei die Oberflächen der gekrümmten Oberflächen sowie die Oberflächen der Ober- und Unterseite des Kegelstumpfs summiert werden müssen.

Ähnlich wie das Volumen des Kegelstumpfs entspricht auch die gekrümmte Oberfläche der Differenz zwischen den Oberflächen des größeren Kegels und des kleineren Kegels.

In der Abbildung oben sind die Dreiecke OAB und OCD ähnlich. Daher kann man unter Verwendung der Ähnlichkeitskriterien schreiben:

l’ / l = r’ / r…(1)

Da l’ = l – L ist, ergibt sich aus Gleichung (1),

(l – L) / l = r’ / r

Nach der Kreuzmultiplikation

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Die gekrümmte Oberfläche eines vollständigen Kegels = πrl

Die gekrümmte Oberfläche des kleineren Kegels = πr’l’

Differenz zwischen den gekrümmten Oberflächen des vollständigen Kegels und des kleineren Kegels = π (rl – r’l’)

Somit ist die gekrümmte Oberfläche (CSA) des Kegelstumpfes = πl (r – r’l’/l)

Verwenden Sie Gleichung (1), um den Wert von l’/l in der obigen Gleichung zu ersetzen, und vereinfachen Sie:

CSA des Kegelstumpfes = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- R'²)/R

Ersetzen Sie nun den Wert von l aus Gleichung (2) und vereinfachen Sie:

CSA des Kegelstumpfes = πlr/(r – r’)× (r²- R'²)/r = πl (r + r')

So kann man schreiben:

Gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes = πl (r + r’)

Berechnen wir nun die Oberfläche der oberen und unteren Basis des Kegelstumpfs, sodass:

Die Oberfläche der oberen Basis des Kegelstumpfes mit einem Radius r’ = πr’²

Die Oberfläche der unteren Basis des Kegelstumpfes mit einem Radius r = πr²

Also,

Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes = gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes + Oberfläche der oberen Basis + Oberfläche der unteren Basis

Java für Schleifentypen

Daher,

Die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Somit beträgt die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfs = πl (r + r’) + π (r²+ r’²)

Diese Formel kann auch geschrieben werden als:

Die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes beträgt = πl (r²- R'²)/r + π (r²+ r’²)

Man kann also schreiben:

Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

oder

Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes = πl (r ² - R' ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Beachten Sie, dass l die Neigungshöhe des kleineren Kegels ist, der angegeben werden kann als

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Mehr lesen

• Volumen des Kegels
• Volumen des Zylinders
• Volumen der Kugel

Gelöste Beispiele für Kegelfragmente

Beispiel 1: Ermitteln Sie das Volumen eines Kegelstumpfs mit einer Höhe von 15 cm und einem Radius für beide Grundflächen von 5 cm und 8 cm.

Lösung:

Mit der oben untersuchten Formel kann man schreiben:

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Gegeben,

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Beispiel 2: Ermitteln Sie die Oberfläche und die Gesamtoberfläche eines Kegelstumpfs mit einer Höhe von 10 cm und einem Radius von 4 cm und 8 cm an der Basis.

Lösung:

Wir kennen die Formel für die Oberfläche und die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes. Wir müssen die erforderlichen Werte eingeben.

Gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes = πl(r+r’)

Wo,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Gegeben,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Berechnen des Wertes von L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Gesamtoberfläche = gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes + Fläche beider Basen

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Beispiel 3: Nehmen wir an, wir haben einen offenen Metalleimer mit einer Höhe von 50 cm und einem Radius der Böden von 10 cm und 20 cm. Finden Sie den Bereich des Metallblech, aus dem der Eimer hergestellt wurde.

123Film

Lösung:

Der Eimer hat die Form eines Kegelstumpfs, der von unten verschlossen ist. Wir müssen die Gesamtoberfläche dieses Kegelstumpfes berechnen.

Gegeben
H = 50 cm
r‘ = 10 cm
r = 20 cm

Gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Gesamtoberfläche = gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes + Fläche beider Basen

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

Python ist numerisch

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Ausdruck des Volumens für einen Kegelstumpf, wenn seine Höhe 6y beträgt und seine Radien y bzw. 2y betragen.

Lösung:

Unter Verwendung der oben untersuchten Formel

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Gegeben,

H = 6 Jahre
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (und)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³Einheit³

FAQs zu Piece of Cone

Frage 1: Was ist der Kegelstumpf?

Antwort:

Wenn wir einen Kegel so schneiden, dass die Schnittebene parallel zur Basis des Kegels verläuft. Die so erhaltene resultierende Figur wird Kegelstumpf genannt.

Frage 2: Was sind die Kegelstumpfformeln?

Antwort:

Die Formeln des Kegelstumpfes werden unten besprochen. Nehmen wir dann einen Kegelstumpf mit dem Basisradius „R“ und dem oberen Radius „r“, der Höhe „H“ und der Schräghöhe:

• Volumen eines Kegelstücks (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Frage 3: Was ist die CSA eines Kegelstumpfes?

Antwort:

Die gekrümmte Oberfläche des Kegelstumpfes wird mit der Formel berechnet:

CSA = πl (r + r')

Wo,
R' ist der Radius des oberen Kegelstumpfkreises
R ist die Radiusbasis
l ist die Schräghöhe

Frage 4: Wie groß ist die Oberfläche des Kegelstumpfes?

Antwort:

Die Oberfläche des Kegelstumpfes wird mit der Formel berechnet:

• CSA des Kegelstücks = πl [ (r²- R'²) / R' ]
• TSA des Kegelstumpfes = π (r²+ r’²) + πl [ (r²- R'²) / R']

Frage 5: Wie groß ist das Volumen des Kegelstumpfes?

Antwort:

Das Volumen des Kegelstumpfes wird mit der Formel berechnet:

• V = 1/3πh[ (r³- R'³) / R']
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)