A Hyperbel ist eine glatte Kurve in einer Ebene mit zwei spiegelbildlichen Ästen, die zwei unendlichen Bögen ähneln. Es handelt sich um einen Kegelschnitt, der dadurch entsteht, dass ein gerader Kreiskegel mit einer Ebene in einem solchen Winkel geschnitten wird, dass sich beide Kegelhälften schneiden.

Lassen Sie uns etwas über Hyperbel im Detail lernen, einschließlich ihrer Gleichungen, Formeln, Eigenschaften, Diagramme und Ableitungen.

Hyperbel

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Hyperbel?
• Hyperbeldefinition
• Hyperbelgleichung
• Teile der Hyperbel
• Exzentrizität der Hyperbel
• Standardgleichung der Hyperbel
• Rechte Seite der Hyperbel
• Ableitung der Hyperbelgleichung
• Hyperbelformel
• Diagramm der Hyperbel
• Konjugierte Hyperbel
• Eigenschaften der Hyperbel
• Hilfskreise der Hyperbel
• Rechteckige Hyperbel
• Parametrische Darstellung der Hyperbel
• Hyperbel Klasse 11
• Gelöste Beispiele zur Hyperbel
• Übungsaufgaben zur Hyperbel

Was ist Hyperbel?

Eine Hyperbel ist der Ort von Punkten, deren Abstandsdifferenz zu zwei Brennpunkten einen festen Wert hat. Diese Differenz wird durch Subtrahieren der Entfernung des näheren Fokus von der Entfernung des entfernteren Fokus ermittelt.

Wenn P (x, y) ein Punkt auf der Hyperbel ist und F, F‘ zwei Brennpunkte sind, dann ist der Ort der Hyperbel

PF – PF' = 2a

Notiz: Das Bild finden Sie im in der Ableitung hinzugefügten Diagramm.

Hyperbeldefinition

In der analytischen Geometrie ist eine Hyperbel eine Art Kegelschnitt, der entsteht, wenn eine Ebene beide Hälften eines doppelten rechten Kreiskegels in einem Winkel schneidet. Dieser Schnittpunkt führt zu zwei separaten, unbeschränkten Kurven, die Spiegelbilder voneinander sind und eine Hyperbel bilden.

Hyperbelgleichung

Die Gleichung einer Hyperbel in ihrer Standardform hängt von ihrer Ausrichtung ab und davon, ob sie im Ursprung oder an einem anderen Punkt zentriert ist. Hier sind die beiden Hauptformen für Hyperbeln mit Mittelpunkt im Ursprung, wobei sich eine horizontal und die andere vertikal öffnet:

X ² /A ² - Und ² /B ² = 1

Diese Gleichung stellt eine Hyperbel dar, die sich nach links und rechts öffnet. Die Punkte (±a,0) sind die Eckpunkte der Hyperbel, die auf der x-Achse liegen.

Teile der Hyperbel

Eine Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn eine Ebene einen doppelten geraden Kreiskegel in einem solchen Winkel schneidet, dass beide Kegelhälften verbunden werden. Es kann mit Konzepten wie Brennpunkten, Leitlinie, Latus rectum und Exzentrizität beschrieben werden.

Exzentrizität der Hyperbel

Die Exzentrizität einer Hyperbel ist das Verhältnis des Abstands eines Punktes vom Brennpunkt zu seinem senkrechten Abstand von der Leitlinie. Es wird mit dem Buchstaben „ Es ist '.

• Die Exzentrizität einer Hyperbel ist immer größer als 1, d. h. e> 1.
• Wir können die Exzentrizität der Hyperbel leicht mit der Formel ermitteln:

e = √[1 + (b ² /A ² )]

Wo,

• A ist die Länge der großen Halbachse
• B ist die Länge der kleinen Halbachse

Mehr lesen: Exzentrizität

Standardgleichung der Hyperbel

Die Standardgleichungen einer Hyperbel sind:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ODER

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Eine Hyperbel hat zwei Standardgleichungen. Diese Gleichungen einer Hyperbel basieren auf ihrer Querachse und ihrer konjugierten Achse.

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• Die Standardgleichung der Hyperbel lautet [(x²/A²) - (Und²/B²)] = 1, wobei die X-Achse die Querachse und die Y-Achse die konjugierte Achse ist.
• Darüber hinaus ist eine weitere Standardgleichung der Hyperbel [(y²/A²)- (X²/B²)] = 1, wobei die Y-Achse die Querachse und die X-Achse die konjugierte Achse ist.
• Standardgleichung der Hyperbel mit Mittelpunkt (h, k) und der X-Achse als Querachse und der Y-Achse als konjugierter Achse lautet:

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Darüber hinaus ist eine weitere Standardgleichung der Hyperbel mit Mittelpunkt (h, k) und der Y-Achse als Querachse und der X-Achse als konjugierte Achse

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Rechte Seite der Hyperbel

Der Latus rectum einer Hyperbel ist eine Linie, die durch einen der Brennpunkte einer Hyperbel verläuft und senkrecht zur Querachse der Hyperbel verläuft. Die Endpunkte eines Latus rectum liegen auf der Hyperbel und seine Länge beträgt 2b²/A.

Ableitung der Hyperbelgleichung

Betrachten wir einen Punkt P auf der Hyperbel, dessen Koordinaten (x, y) sind. Aus der Definition der Hyperbel wissen wir, dass die Differenz zwischen dem Abstand des Punktes P von den beiden Brennpunkten F und F’ 2a beträgt, d. h. PF’-PF = 2a.

Die Koordinaten der Brennpunkte seien F (c, o) und F‘(-c, 0).

Mithilfe der Koordinatenabstandsformel können wir nun den Abstand des Punktes P (x, y) zu den Brennpunkten F (c, 0) und F‘ (-c, 0) ermitteln.

√[(x + c)²+ (und – 0)²] – √[(x – c)²+ (und – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ und²] = 2a + √[(x – c)²+ und²]

Wenn wir nun beide Seiten quadrieren, erhalten wir

(x + c)²+ und²= 4a²+ (x – c)²+ und²+ 4a√[(x – c)²+ und²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ und²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ und²]

Durch Quadrieren auf beiden Seiten und Vereinfachen erhalten wir nun

[(X²/A²) - (Und²/(C²- A²))] = 1

Wir haben, c²= a²+ b²Wenn wir dies also in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir

X²/A²- Und²/B²= 1

Daraus wird die Standardgleichung der Hyperbel abgeleitet.

Auf ähnliche Weise können wir die Standardgleichungen der anderen Hyperbeln herleiten, d. h. [y²/A²- X²/B²] = 1

Hyperbelformel

Die folgenden Hyperbelformeln werden häufig zum Ermitteln der verschiedenen Parameter der Hyperbel verwendet, darunter die Hyperbelgleichung, die Haupt- und Nebenachse, die Exzentrizität, die Asymptoten, der Scheitelpunkt, die Brennpunkte und der Semi-Latus-Rektum.

Wo,

• ( X₀​, und₀​) ist der Mittelpunkt
• A ist die große Halbachse
• B ist die Halb-Moll-Achse.

Diagramm der Hyperbel

Eine Hyperbel ist eine Kurve mit zwei unbeschränkten Kurven, die Spiegelbilder voneinander sind. Der Graph der Hyperbel zeigt diese Kurve in der 2D-Ebene. Wir können die verschiedenen Teile einer Hyperbel in den unten angegebenen Hyperbeldiagrammen für Standardgleichungen beobachten:

Gleichung der Hyperbel	Diagramm der Hyperbel	Parameter der Hyperbel
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinaten des Zentrums: (0, 0) Koordinaten des Scheitelpunkts: (a, 0) und (-a, 0) Koordinaten der Brennpunkte: (c, 0) und (-c, 0) Die Länge der Querachse = 2a Die Länge der konjugierten Achse = 2b Die Länge des Latus rectum = 2b2/A Gleichungen von Asymptoten: y = (b/a) x und y = -(b/a) x Exzentrizität (e) = √[1 + (b2/A2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinaten des Zentrums: (0, 0) Koordinaten des Scheitelpunkts: (0, a) und (0, -a) Koordinaten der Brennpunkte: (0, c) und (0, -c) Die Länge der Querachse = 2b Die Länge der konjugierten Achse = 2a Die Länge des Latus rectum = 2b2/A Gleichungen von Asymptoten: y = (a/b) x und y = -(a/b) x Exzentrizität (e) = √[1 + (b2/A2)]

Konjugierte Hyperbel

Konjugierte Hyperbeln sind zwei Hyperbeln, bei denen die Querachse und die konjugierte Achse einer Hyperbel jeweils die konjugierte Achse und die Querachse der anderen Hyperbel sind.

Konjugierte Hyperbel von (x²/ A²) - (Und²/B²) = 1 ist,

(X ² / A ² ) - (Und ² / B ² ) = 1

Wo,

• A ist die große Halbachse
• B ist die kleine Halbachse
• Es ist ist die Exzentrizität der Parabel
• A ² = b ² (Es ist ² − 1)

Eigenschaften der Hyperbel

• Wenn die Exzentrizitäten der Hyperbel und ihres Konjugats e sind₁, und e₂Dann,

(1 und ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Die Brennpunkte einer Hyperbel und ihres Konjugats sind konzyklisch und bilden die Eckpunkte eines Quadrats.
• Hyperbeln sind gleich, wenn sie den gleichen Latus rectum haben.

Hilfskreise der Hyperbel

Der Hilfskreis ist ein Kreis, der mit Mittelpunkt C und Durchmesser als Querachse der Hyperbel gezeichnet wird. Der Hilfskreis der Hyperbelgleichung ist:

X ² + und ² = a ²

Rechteckige Hyperbel

Eine Hyperbel mit einer Querachse aus 2a-Einheiten und einer konjugierten Achse aus 2b-Einheiten gleicher Länge wird Rechteckhyperbel genannt. d.h. in einer rechteckigen Hyperbel,

2a = 2b

⇒ a = b

Die Gleichung einer rechteckigen Hyperbel lautet wie folgt:

X ² - Und ² = a ²

Notiz: Die Exzentrizität der rechteckigen Hyperbel beträgt √2.

Parametrische Darstellung der Hyperbel

Die parametrische Darstellung der Hilfskreise der Hyperbel ist:

x = a sec θ, y = b tan θ

Die Leute lesen auch

• Konischer Abschnitt
• Parabel
• Kreis
• Ellipse

Hyperbel Klasse 11

In der Mathematik der 11. Klasse ist das Studium von Hyperbeln ein Teil der Kegelschnitte in der analytischen Geometrie. Um Hyperbeln auf dieser Ebene zu verstehen, müssen ihre Definition, Standardgleichungen, Eigenschaften und verschiedene damit verbundene Elemente untersucht werden.

jdbc

Der Lehrplan der 11. Klasse umfasst typischerweise das Ableiten dieser Gleichungen und Eigenschaften, das Skizzieren von Hyperbeln auf der Grundlage gegebener Gleichungen und das Lösen von Problemen im Zusammenhang mit den Elementen und Positionen der Hyperbel. Die Beherrschung dieser Konzepte bietet eine solide Grundlage in der Analytik Geometrie , Vorbereitung der Studierenden auf weitere Studien in Mathematik und verwandten Bereichen.

Zusammenfassung – Hyperbel

Eine Hyperbel ist eine Art Kegelschnitt, der entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel in einem solchen Winkel schneidet, dass zwei separate Kurven entstehen. Eine Hyperbel zeichnet sich durch ihre Spiegelsymmetrie aus und besteht aus zwei getrennten Zweigen, die sich voneinander weg krümmen. Es kann mathematisch in einer Koordinatenebene mithilfe einer Standardgleichung definiert werden, die je nach seiner Ausrichtung (horizontal oder vertikal) und davon, ob sein Mittelpunkt im Ursprung oder einem anderen Punkt liegt, variiert.

Die Standardformulare sind X ² /A ² - Und ² /B ² = 1 für eine horizontal öffnende Hyperbel und Und ² /A ² - X ² /B ² = 1 für eine vertikale Öffnung, mit Variationen zur Anpassung eines nach (h,k) verschobenen Zentrums. Zu den Hauptmerkmalen von Hyperbeln gehören Eckpunkte, die dem Mittelpunkt am nächsten liegenden Punkte auf jedem Zweig; Brennpunkte, Punkte, von denen aus die Entfernungen zu jedem Punkt auf der Hyperbel einen konstanten Unterschied aufweisen; und Asymptoten, Linien, denen sich die Zweige nähern, die sie aber nie berühren.

Die Eigenschaften von Hyperbeln machen sie in verschiedenen Bereichen, einschließlich Astronomie, Physik und Ingenieurwesen, für die Modellierung und Analyse hyperbolischer Flugbahnen und Verhaltensweisen von Bedeutung.

Gelöste Beispiele zur Hyperbel

Frage 1: Bestimmen Sie die Exzentrizität der Hyperbel x ² /64 – und ² /36 = 1.

Lösung:

Die Hyperbelgleichung ist x²/64 – und²/36 = 0

Durch Vergleich der gegebenen Gleichung mit der Standardgleichung der Hyperbel x²/A²- Und²/B²= 1, wir erhalten

A²= 64, geb²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Wir haben,

Exzentrizität einer Hyperbel (e) = √(1 + b²/A²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Daher beträgt die Exzentrizität der gegebenen Hyperbel 1,25.

Frage 2: Wenn die Gleichung der Hyperbel [(x-4) ist ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, ermitteln Sie die Längen der Hauptachse, der Nebenachse und des Latus rectum.

Lösung:

Die Hyperbelgleichung lautet [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Durch Vergleich der gegebenen Gleichung mit der Standardgleichung der Hyperbel (x – h)²/A²– (und – k)²/B²= 1

Hier ist x = 4 die Hauptachse und y = 3 die Nebenachse.

A²= 25 a = 5

B²= 9 b = 3

Länge der Hauptachse = 2a = 2 × (5) = 10 Einheiten

Länge der Nebenachse = 2b = 2 × (3) = 6 Einheiten

Länge des Latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 Einheiten

Frage 3: Finden Sie den Scheitelpunkt, die Asymptote, die Hauptachse, die Nebenachse und die Leitlinie, wenn die Hyperbelgleichung [(x-6) ist. ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Lösung:

Die Hyperbelgleichung lautet [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Durch Vergleich der gegebenen Gleichung mit der Standardgleichung der Hyperbel (x – h)²/A²– (und – k)²/B²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Scheitelpunkt einer Hyperbel: (h + a, k) und (h – a, k) = (13, 2) und (-1, 2)

Die Hauptachse der Hyperbel ist x = h x = 6

Die Nebenachse der Hyperbel ist y = k y = 2

Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel sind

y = k − (b / a)x + (b / a)h und y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 und y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 und y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x und y = -1,43 + 0,57x

Die Gleichung der Leitlinie einer Hyperbel lautet x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Frage 4: Finden Sie die Exzentrizität der Hyperbel, deren Latus rectum die Hälfte ihrer konjugierten Achse beträgt.

Lösung:

Die Länge des Latus rectum beträgt die Hälfte seiner konjugierten Achse

Die Gleichung der Hyperbel sei [(x²/ A²) - (Und²/ B²)] = 1

Konjugierte Achse = 2b

Länge des Latus rectum = (2b²/ A)

Aus gegebenen Daten (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Wir haben,

Exzentrizität der Hyperbel (e) = √[1 + (b²/A²)]

Setzen Sie nun a = 2b in die Formel der Exzentrizität ein

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Daher beträgt die erforderliche Exzentrizität √5/2.

Übungsaufgaben zur Hyperbel

P1. Finden Sie die Standardformgleichung der Hyperbel mit Eckpunkten bei (-3, 2) und (1, 2) und einer Brennweite von 5.

P2. Bestimmen Sie Mittelpunkt, Eckpunkte und Brennpunkte der Hyperbel mit der Gleichung 9x ² – 4 Jahre ² = 36.

P3. Gegeben sei die Hyperbel mit der Gleichung (x – 2) ² /16 – (und + 1) ² /9 = 1, finden Sie die Koordinaten seines Mittelpunkts, seiner Eckpunkte und Brennpunkte.

P4. Schreiben Sie die Gleichung der Hyperbel mit einer horizontalen Hauptachse, einem Mittelpunkt bei (0, 0), einem Scheitelpunkt bei (5, 0) und einem Fokus bei (3, 0).

Hyperbel – FAQs

Was ist Hyperbel in der Mathematik?

Der Ort eines Punktes in einer Ebene, bei dem das Verhältnis seines Abstands von einem festen Punkt zu dem von einer festen Linie eine Konstante größer als 1 ist, wird als Hyperbel bezeichnet.

Was ist die Standardgleichung der Hyperbel?

Die Standardgleichung der Hyperbel lautet

(X ² /A ² ) - (Und ² /B ² ) = 1

Was ist die Exzentrizität der Hyperbel?

Die Exzentrizität einer Hyperbel ist das Verhältnis des Abstands eines Punktes vom Fokus zu seinem senkrechten Abstand von der Leitlinie. Bei Hyperbeln ist die Exzentrizität immer größer als 1.

Was ist die Exzentrizitätsformel der Hyperbel?

Die Formel für die Exzentrizität der Hyperbel lautet e = √(1 + (b ² /A ² ))

Was sind Schwerpunkte der Hyperbel?

Eine Hyperbel hat zwei Brennpunkte. Für die Hyperbel (x²/A²) - (Und²/B²) = 1, die Brennpunkte sind gegeben durch (ae, 0) und (-ae, 0)

Was ist die Querachse der Hyperbel?

Für Hyperbel (x²/A²) - (Und²/B²) = 1, Querachse verläuft entlang der x-Achse. Seine Länge ist durch 2a gegeben. Die durch den Mittelpunkt und die Brennpunkte der Hyperbel verlaufende Linie wird als Querachse einer Hyperbel bezeichnet.

Was sind Asymptoten der Hyperbel?

Linien parallel zur Hyperbel, die im Unendlichen auf die Hyperbel treffen, werden Asymptoten der Hyperbel genannt.

Wie viele Asymptoten hat die Hyperbel?

Eine Hyperbel hat 2 Asymptoten. Asymptoten sind eine Tangente an die Hyperbel, die im Unendlichen auf die Hyperbel trifft.

Wofür wird Hyperbel verwendet?

Hyperbeln finden Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Astronomie, Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft. Sie werden unter anderem in Satellitenflugbahnen, Funkübertragungsmustern, Artilleriezielen, Finanzmodellierung und Himmelsmechanik eingesetzt.

Was ist der Unterschied zwischen Parabel und Hyperbel in Standardform?

In der Standardform enthält die Gleichung einer Parabel Terme, die mit 1 und 2 potenziert werden, während die Gleichung einer Hyperbel Terme enthält, die mit 2 und -2 potenziert werden. Außerdem zeichnet sich die Parabel durch einen einzigen Fokuspunkt aus, während die Hyperbel zwei hat.

Was ist die Grundgleichung des Hyperbeldiagramms?

Die Grundgleichung eines Hyperbelgraphen lautet:

(x – h)²/ A²– (und – k)²/ B²= 1

Oder

(und – k)²/ B²– (x -h)²/ A²= 1

Welche Arten von Hyperbeln gibt es?

Hyperbeln können anhand ihrer Ausrichtung in drei Typen eingeteilt werden: horizontale, vertikale und schräge Hyperbeln.

Wie erkennt man eine Hyperbelgleichung?

Eine Hyperbelgleichung beinhaltet typischerweise Terme mit beiden X Und Und Variablen, mit einer Differenz zwischen den Quadraten von X Und Und Koeffizienten, und die Koeffizienten dieser Terme sind positiv bzw. negativ.

Was ist die Formel von B in der Hyperbel?

In der Standardform einer Hyperbelgleichung gilt: B stellt die Länge der konjugierten Achse dar und ihre Formel lautet B = 2 B , Wo B ist der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten entlang der konjugierten Achse.

Wie zeichnet man eine Hyperbel?

Um eine Hyperbel zu zeichnen, zeichnen Sie normalerweise zunächst den Mittelpunkt ein und markieren dann die Scheitelpunkte, Brennpunkte, Asymptoten und andere Schlüsselpunkte basierend auf der angegebenen Gleichung oder den angegebenen Eigenschaften. Skizzieren Sie abschließend die Kurven der Hyperbel, indem Sie diese Punkte als Orientierungshilfen verwenden.