Eine Implikationsaussage kann in der Form „wenn...dann“ dargestellt werden. Das Symbol ⇒ wird verwendet, um die Implikation anzuzeigen. Angenommen, es gibt zwei Aussagen, P und Q. In diesem Fall kann die Aussage „Wenn P, dann Q“ auch als P ⇒ Q oder P → Q geschrieben werden und wird als „P impliziert Q“ gelesen. In dieser Implikation ist die Aussage P eine Hypothese, die auch als Prämisse und Antezedens bezeichnet wird, und die Aussage Q ist eine Schlussfolgerung, die auch als Konsequenz bezeichnet wird.

Auch bei der logischen Argumentation spielt die Implikation eine wichtige Rolle. Wenn bekannt ist, dass die Implikation der Aussagen wahr ist, muss immer dann, wenn die Prämisse erfüllt ist, auch die Schlussfolgerung wahr sein. Aus diesem Grund wird die Implikation auch als Bedingungsanweisung bezeichnet.

Einige Beispiele für Implikationen werden wie folgt beschrieben:

Linux-Betriebssystem

• „Wenn das Wetter in GOA sonnig ist, gehen wir an den Strand.“
• „Wenn der Club ein Rabattsystem hat, dann gehen wir zu diesem Club.“
• „Wenn es beim Strandbesuch sonnig ist, werden wir gebräunt.“

Die logische Implikation kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden, die wie folgt beschrieben werden:

1. Wenn p, dann q
2. Wenn p, q
3. q wenn p
4. Q nur, wenn P
5. q, es sei denn ~p
6. q wann immer p
7. p ist eine hinreichende Bedingung für q
8. q Folgen Sie S
9. p impliziert q
10. Eine notwendige Bedingung für p ist q
11. q wenn p
12. q ist notwendig für p
13. p ist eine notwendige Bedingung für q

Nun beschreiben wir die Beispiele aller oben beschriebenen Implikationen mit Hilfe der Prämisse P und der Schlussfolgerung Q. Dazu gehen wir davon aus, dass P = Es ist sonnig und Q = Ich werde an den Strand gehen.

P ⇒ Q

1. WENN es sonnig ist, DANN gehe ich an den Strand
2. WENN es sonnig ist, gehe ich an den Strand
3. Ich gehe an den Strand, WENN es sonnig ist
4. Ich gehe NUR an den Strand, wenn es sonnig ist
5. Ich gehe an den Strand, es sei denn, es ist nicht sonnig
6. Ich gehe an den Strand, wann immer es sonnig ist
7. Es ist sonnig. Das ist eine ausreichende Bedingung dafür, dass ich an den Strand gehe
8. Ich werde an den Strand gehen. ACHTUNG: Es ist sonnig
9. Es ist sonnig. Das bedeutet, dass ich an den Strand gehe
10. Eine notwendige Voraussetzung dafür, dass es sonnig ist, ist, dass ich an den Strand gehe
11. Ich werde an den Strand gehen, WENN es sonnig ist
12. Ich werde an den Strand gehen. IST NOTWENDIG, DA es sonnig ist
13. Es ist sonnig. Das ist eine notwendige Bedingung dafür, dass ich an den Strand gehe

Wenn es eine bedingte Aussage gibt: „Wenn p, dann q“, dann ist diese Aussage P ⇒ Q falsch, wenn die Prämissen p wahr und die Schlussfolgerung q falsch ist. In allen anderen Fällen, das heißt, wenn p falsch oder Q wahr ist, ist die Aussage P ⇒ Q wahr. Wir können diese Aussage mithilfe einer Wahrheitstabelle darstellen, in der das Falsche durch F und das Wahre durch T dargestellt wird. Die Wahrheitstabelle der Aussage „Wenn P, dann Q“ wird wie folgt beschrieben:

Es ist nicht notwendig, dass Prämissen und Schlussfolgerung miteinander in Zusammenhang stehen. Auf der Grundlage der Formulierung von P und Q ist die Interpretation der Wahrheitstabelle abhängig.

Zum Beispiel:

• Wenn Jack aus Plastik besteht, dann ist der Ozean grün.
• Die Aussage: Jack ist aus Kunststoff
• Die Aussage: Der Ozean ist grün

Die beiden obigen Aussagen ergeben keinen Sinn, da Jack ein Mensch ist und niemals aus Plastik hergestellt werden kann, und eine weitere Aussage „Ozean ist grün“ wird niemals passieren, weil der Ozean immer blau ist und die Farbe des Ozeans nicht geändert werden kann. Wie wir sehen, stehen beide Aussagen in keinem Zusammenhang zueinander. Andererseits gilt die Wahrheitstabelle für die Aussage P ⇒ Q. Es geht also nicht darum, ob die Wahrheitstabelle stimmt oder nicht, sondern es ist eine Frage der Vorstellungskraft und Interpretation.

In P ⇒ Q brauchen wir also keinerlei Verbindung zwischen Prämisse und Konsequenz. Auf der Grundlage des wahren Werts von P und Q hängt nur die Bedeutung dieser Werte ab.

Diese Aussagen werden auch dann falsch sein, wenn wir beide Aussagen für unsere Welt betrachten

 False ⇒ False 

Wenn wir uns also die obige Wahrheitstabelle ansehen, sehen wir, dass P ⇒ Q wahr ist, wenn P falsch und Q falsch ist.

Wenn der Jack also aus Kunststoff besteht, ist der Ozean grün.

Prämisse p und Schlussfolgerung q hängen jedoch zusammen, und beide Aussagen sind sinnvoll.

Mehrdeutigkeit

Es kann zu Unklarheiten im impliziten Operator kommen. Wenn wir also den Implikationsoperator (⇒) verwenden, sollten wir zu diesem Zeitpunkt die Klammer verwenden.

Zum Beispiel: In diesem Beispiel haben wir eine mehrdeutige Aussage P ⇒ Q ⇒ R. Nun haben wir zwei mehrdeutige Aussagen ((P ⇒ Q) ⇒ R) oder (P ⇒ (Q ⇒ R)), und wir müssen zeigen, ob diese Aussagen ob sie ähnlich sind oder nicht.

Lösung: Wir werden dies mit Hilfe einer Wahrheitstabelle beweisen, die wie folgt beschrieben wird:

In der obigen Wahrheitstabelle können wir sehen, dass die Wahrheitstabellen von P ⇒ (Q ⇒ R) und (P ⇒ Q) ⇒ R nicht ähnlich sind. Daher erzeugen beide unterschiedliche Ausgaben oder Ergebnisse.

Mehr über Implikation

Einige weitere Beispiele für Implikationen werden wie folgt beschrieben:

• Wenn es sonnig ist, gehe ich zur Schule.
• Wenn ich einen guten Job bekomme, verdiene ich Geld.
• Wenn ich gute Noten bekomme, werden meine Eltern glücklich sein.

Bei allen oben genannten Beispielen sind wir verwirrt, weil wir nicht wissen, wann eine Implikation als wahr und wann als falsch angesehen wird. Um dieses Problem zu lösen und das Konzept der Implikation zu verstehen, verwenden wir ein hypothetisches Beispiel. In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass Marry mit seinem Freund Jack Badminton spielt und sein Freund Jack Marry ein wenig motivieren möchte, also lockt er sie mit einer Aussage:

 'If you win then I will buy a ring for you' 

Mit dieser Aussage meint Jack: Wenn die Ehe gewinnt, wird er offensichtlich einen Ring kaufen. Durch diese Aussage verpflichtet sich Jack erst, wenn Marry gewinnt. Er hat jedenfalls nichts begangen, als Maria losging. Am Ende des Spiels kann es also nur vier Möglichkeiten geben, die wie folgt beschrieben werden:

• Heiraten gewinnt – kaufe einen Ring.
• Heiraten gewinnt – kaufe keinen Ring.
• Heiraten verliert – kaufe einen Ring.
• Heiraten verliert – kaufe keinen Ring.

Allerdings hat Jack keine Aussage zu Regel (B) gemacht. Er erwähnte in seiner Aussage auch nicht die Regeln Nummer (C) und (D). Wenn Marry also verliert, liegt es ganz bei Jack, ob er einen Ring für sie kauft oder nicht. Tatsächlich könnten die Aussagen (A), (C) und (D) das Ergebnis der Aussage sein, die Jack zu Marry sagt, aber (B) wird nicht das Ergebnis sein. Nur wenn Ergebnis (B) eintritt, wird Jack bei einer Lüge erwischt. In allen anderen drei Fällen, also (A), (C) und (D), wird er die Wahrheit gesagt haben.

Jetzt verwenden wir die einfachere Aussage, damit wir Jacks Aussage symbolisch wie folgt definieren können:

 P: you win Q: I will buy a ring for you 

In dieser Implikation verwenden wir das logische Symbol ⇒, das als „impliziert“ gelesen werden kann. Wir werden die zusammengesetzte Aussage von Jack bilden, indem wir diesen Pfeil von P nach Q wie folgt setzen:

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you. 

Zusammenfassend haben wir beobachtet, dass die Implikation nur dann falsch ist, wenn P wahr und q falsch ist. Laut dieser Aussage gewinnt Marry das Spiel, aber leider kauft Jack keinen Ring. In allen anderen Fällen/Ergebnissen wird die Aussage wahr sein. Dementsprechend wird die Wahrheitstabelle für die Implikation wie folgt beschrieben:

Die Liste der entsprechenden Logikgleichungen für die Implikation wird wie folgt beschrieben:

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T 

Beispiele für Implikationen:

Es gibt verschiedene Beispiele für Implikationen, von denen einige wie folgt beschrieben werden:

Beispiel 1: Angenommen, es gibt vier Aussagen: P, Q, R und S

P: Jack ist in der Schule

F: Jack unterrichtet

R: Jack schläft

S: Jack ist krank

Nun werden wir einige symbolische Aussagen beschreiben, die mit diesen einfachen Aussagen verbunden sind.

1. P → R
2. S → ~P
3. ~Q → (S ∧ R)
4. (P ∨ R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

Hier müssen wir die Darstellung der Interpretation dieser symbolischen Aussagen in Worten zeigen.

Lösung:

Beispiel 2: In diesem Beispiel haben wir eine Implikation P → Q. Hier haben wir auch drei weitere zusammengesetzte Aussagen, die natürlich mit dieser Implikation verbunden sind, die kontrapositiv, invers und umgekehrt zur Implikation ist. Der Zusammenhang zwischen all diesen vier Aussagen wird mit Hilfe einer Tabelle beschrieben, die wie folgt beschrieben wird:

Nun betrachten wir ein Implikationsbeispiel mit der Aussage: „Wer gut lernt, bekommt gute Noten.“ Diese Aussage hat die Form P → Q, wobei

P: Du lernst gut

F: Man bekommt gute Noten

Jetzt verwenden wir die P- und Q-Anweisungen und zeigen die vier zugehörigen Anweisungen wie folgt an:

Implikation: Wenn man gut lernt, bekommt man gute Noten.

Umgekehrt: Wenn du gute Noten bekommst, lernst du gut.

Invers: Wer nicht gut lernt, bekommt keine guten Noten.

Kontrapositiv: Wer keine guten Noten bekommt, lernt nicht gut.

Die Wahrheitswerte aller oben genannten Assoziationsaussagen werden mit Hilfe einer Wahrheitstabelle beschrieben, die wie folgt beschrieben wird

In der obigen Tabelle können wir sehen, dass die Implikation (P → Q) und ihr Kontrapositiv (~Q → ~P) in ihren Spalten denselben Wert haben. Das bedeutet, dass beide gleichwertig sind. Wir können also Folgendes sagen:

 P → Q = ~Q → ~P 

Ebenso können wir sehen, dass sowohl die Umkehrung als auch die Umkehrung ähnliche Werte in ihren Spalten haben. Aber das wird keinen Unterschied machen, denn die Umkehrung ist das Kontrapositiv der Umkehrung. Ebenso kann die ursprüngliche Implikation aus dem Kontrapositiv des Kontrapositivs entstehen. (Das heißt, wenn wir P und Q negieren und dann die Richtung des Pfeils ändern und danach den Vorgang erneut wiederholen, bedeutet das, dass wir ~P und ~Q negieren und erneut die Richtung des Pfeils ändern. In diesem Fall erhalten wir zurück, wo wir angefangen haben).