Integral von sin x ist -cos(x) plus eine Konstante (C). Es stellt die Fläche unter der Sinuskurve dar. Aufgrund ihrer periodischen Natur wiederholt sich die Funktion alle 2π Bogenmaß. Dieser Artikel erklärt das Integral der Sinusfunktion und zeigt seine Formel, seinen Beweis und seine Anwendung bei der Suche nach bestimmten bestimmten Integralen. Darüber hinaus werden gelöste Probleme und häufig gestellte Fragen erwähnt.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist das Integral von Sin x?
• Integral der Sin x-Formel
• Grafische Bedeutung des Integrals von Sin x
• Integral von Sin x Beweis durch Substitutionsmethode
• Bestimmtes Integral von Sin x
• Integral von Sin x Von 0 bis π
• Integral von Sin x Von 0 bis π/2

Was ist das Integral von Sin x?

Das Integral von sin(x) über x ist -cos(x) plus einer Konstante (C). Das heißt, wenn man -cos(x) nach x differenziert, erhält man sin(x). Die Integrationskonstante (C) stellt jeden zusätzlichen konstanten Wert dar, der in der ursprünglichen Funktion vorhanden sein kann.

Das Integral von sin x gibt physikalisch die von der Sinuskurve abgedeckte Fläche an.

Lernen,

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Integral der Sin x-Formel

Das Integral der Sinusfunktion, ∫ sin(x) dx, ist gleich -cos(x) + C, wobei C die Integrationskonstante ist.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Hier ist cos(x) die Kosinusfunktion und C stellt die Konstante dar, die zur Stammfunktion addiert wird, da die Ableitung einer Konstante Null ist.

Grafische Bedeutung des Integrals von Sin x

Das Integral von sin(x) von (a) bis (b) hat grafische Bedeutung für die Berechnung der Fläche unter der Kurve innerhalb dieses Intervalls. Lassen Sie uns die grafische Bedeutung sowohl mit der Methode des bestimmten Integrals als auch mit der geometrischen Methode untersuchen.

Definitive Integralmethode

Das Integral von sin(x) von ( a ) bis ( b ) ist gegeben durch:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Dies stellt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve sin(x) und der x-Achse von (a) bis (b) dar.

Geometrische Methode

Betrachten Sie den Graphen von sin(x) von (a) bis (b). Die Fläche unter der Kurve kann in zwei Bereiche unterteilt werden:

• Positiver Bereich: Regionen, in denen sin(x) positiv ist (über der x-Achse). Dies trägt zum positiven Bereich unter der Kurve bei.
• Negativer Bereich: Regionen, in denen sin(x) negativ ist (unterhalb der x-Achse). Dies trägt zum negativen Bereich unter der Kurve bei.

Die Gesamtfläche ist die algebraische Summe dieser positiven und negativen Flächen.

Beispiel:

Um die Fläche unter der Kurve von sin(x) von ( a = 0 ) bis ( b = π/2 ) zu finden.

Verwendung der bestimmten Integralmethode:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Dies ist die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve.

Mit der geometrischen Methode:

Der Graph von sin(x) von 0 bis (π/2) ist ein Viertelkreis, und die Fläche beträgt tatsächlich 1.

Integration von Sin x Beweis durch Substitutionsmethode

Um das Integral von sin(x) mit der Substitutionsmethode zu finden, betrachten wir das Integral:

Eine häufige Substitution trigonometrischer Integrale besteht darin, u gleich dem Ausdruck innerhalb der trigonometrischen Funktion zu setzen. In diesem Fall sei u = cos(x). Berechnen Sie dann du in Form von dx:

du/dx = -sin(x)

Lösen Sie nun nach dx auf:

dx = -1/sin(x) du

Setzen Sie nun u und dx in Form von u in das ursprüngliche Integral ein:

Integral von sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Den Ausdruck vereinfachen:

Integral von sin(x) dx = -∫ du

Integrieren Sie nun in Bezug auf Sie:

Integral von sin(x) dx = -u + C

Ersetzen Sie nun u zurück, das als cos(x) definiert wurde:

Integral von sin(x) dx = -cos(x) + C

Mit der Substitutionsmethode kommen wir also zum gleichen Ergebnis wie beim Beweis durch Ableitungen. Das Integral von sin(x) ist -cos(x) + C, wobei C die Integrationskonstante ist.

Bestimmtes Integral von Sin x

Das bestimmte Integral von sin(x) von a nach b, bezeichnet als

∫ ^B _A sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

C++-Teilungszeichenfolge

Es berechnet die Nettofläche unter der Sinuskurve zwischen x = a und x = b unter Berücksichtigung der Richtung der Fläche oberhalb und unterhalb der x-Achse.

Lernen, Bestimmtes Integral

Integral von Sin x Von 0 bis Pi

Um das Integral von sin(x) von 0 bis π zu finden, können wir die Stammfunktion verwenden. Die Stammfunktion von sin(x) ist -cos(x). Wenn wir diese Stammfunktion von 0 bis π auswerten, erhalten wir:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Da cos(π) -1 und cos(0) 1 ist, vereinfacht sich der Ausdruck zu:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Das Integral von sin(x) von 0 bis π ist also gleich 2. Dies stellt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der sin(x)-Kurve und der x-Achse von x = 0 bis x = π dar.

Integral von Sin x Von 0 bis Pi /2

Das bestimmte Integral stellt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse über das angegebene Intervall dar.

Das Integral ist gegeben als:

∫₀^p/2sin(x) dx

Verwenden der Stammfunktion -cos(x) zur Auswertung des Integrals:

cos(x) |[0 bis π/2]

Ersetzen Sie nun π/2 durch -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Denken Sie daran, dass cos(π/2) = 0 und cos(0) = 1. Ersetzen Sie diese Werte:

-(0) – (-1)

Vereinfachen:

0 + 1 = 1

Bestimmtes Integral von sin(x) von 0 bis π/2 ist gleich 1. Dies bedeutet, dass die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Sinuskurve und der x-Achse von x = 0 bis x = π/2 1 ist.

Überprüfen Sie auch

• Integration von Cos x
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Integral von Sin x – Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Finden Sie das Integral von sin2(x)

Lösung:

Für ohne²(x) können Sie die Formel mit cos(2x) verwenden.

∫ohne²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Teilen Sie es in zwei Teile auf:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Das Integral von dx ist einfach x. Das Integral von cos(2x) erfordert die Verwendung der sin(2x)-Formel. Es sieht aus wie das:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Kombinieren Sie die beiden Ergebnisse und fügen Sie eine Konstante C hinzu, um etwaige potentielle Konstanten im ursprünglichen Integral zu berücksichtigen.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

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Beispiel 2: Finden Sie das Integral des Sinus ³ X.

Lösung:

Das über x kubierte Integral des Sinus kann wie folgt geschrieben werden:

∫ohne³xdx

Verwenden Sie zur Vereinfachung eine trigonometrische Identität:

ohne³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Verteilen und trennen Sie die Begriffe:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integrieren Sie jeden Begriff einzeln:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Hier stellt (C) die Integrationskonstante dar.

Beispiel 3: Finden Sie das Integral von sin x ^-1

Lösung:

Das Integral von sin(x)^-1kann mit der Arkussinusfunktion ausgedrückt werden. Das Integral ist gegeben durch:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Hier ist (C) die Integrationskonstante.

Beispiel 4: Finden Sie das Integral von sin x ²

Lösung:

Das Integral von sin²(x) bezüglich x kann mithilfe einer trigonometrischen Identität gelöst werden.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Integrieren Sie nun jeden Begriff einzeln:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

wobei (C) die Integrationskonstante ist.

Beispiel 5: Finden Sie das Integral von sin x ^-3

Lösung:

Integral von sin(x)^-3bezüglich (x) beinhaltet eine trigonometrische Substitution. So können Sie es lösen:

js gesetzt

Sei u = sin(x), dann du = cos(x)dx

Setzen Sie diese nun in das Integral ein:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³von

Integrieren Sie nun bezüglich (u):

∫u⁻³du = du⁻²/−2​ + C

Ersetzen Sie durch (x) mit u = sin(x) zurück:

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Also das Integral von sin(x)^-3in Bezug auf (x) beträgt -1/2sin²x , wobei (C) die Integrationskonstante ist.

Beispiel 6: Finden Sie das Integral von sin invers x

Lösung:

Das Integral der Sünde finden^-1(x) in Bezug auf (x) können Sie die partielle Integration verwenden. Die Formel für die partielle Integration lautet:

∫udv=uv−∫vdu

u = Sünde^-1(x) und dv = dx

Finden Sie nun (du) und (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Wenden Sie die Formel für die partielle Integration an:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Integrieren Sie nun den Restterm auf der rechten Seite. Sie können die Substitution verwenden, indem Sie (t = 1 – x²), dann (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Ersetzen Sie nun zurück in Form von (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Alles in allem:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

wobei (C) die Integrationskonstante ist.

Beispiel 7: Finden Sie das Integral von x sin 2x dx

Lösung:

Um das Integral von xsin(2x) bezüglich (x) zu finden, können Sie die partielle Integration verwenden. Die Formel für die partielle Integration lautet:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x und dv = sin(2x)dx

Finden Sie nun (du) und (v):

du = dx und v = -1/2cos(2x)

Wenden Sie die Formel für die partielle Integration an:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Integrieren Sie nun den Restterm auf der rechten Seite. Das Integral von -1/2cos(2x) kann gefunden werden, indem man (u = 2x) setzt und eine einfache Substitution verwendet:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Setzen Sie dieses Ergebnis wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Das Integral von xsin(2x) über (x) ist also -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, wobei (C) die Integrationskonstante ist.

Beispiel 8: Finden Sie das Integral von sin x cos 2x

Lösung:

Um das Integral von sin(x) cos(2x) bezüglich (x) zu finden, können Sie die partielle Integration verwenden. Die Formel für die partielle Integration lautet:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) und dv = cos(2x)dx

Finden Sie nun (du) und (v):

du = cos(x) dx und v = 1/2 sin(2x)

Wenden Sie die Formel für die partielle Integration an:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Integrieren Sie nun den Restterm auf der rechten Seite. Sie können die partielle Integration erneut verwenden:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Setzen Sie den Prozess fort, bis das Integral beherrschbar wird. Nach der Vereinfachung erhalten Sie das Endergebnis:

Sternenmuster drucken

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

wobei (C) die Integrationskonstante ist.

Integral von Sin x – Übungsfragen

Q1. Finden Sie das Integral des Sinus von 0 bis pi.

Q2. Berechnen Sie das Sinusintegral von -π/2 bis π/2.

Q3. Finden Sie den Wert des Integrals von Sinus plus Cosinus bezüglich x.

Q4. Bewerten Sie das Integral von Sinus(2x) von 0 bis π/3.

F5. Finden Sie die Stammfunktion von Sinus(3x) nach x.

F6. Berechnen Sie das Integral von Sinus(2x) von π bis 2π.

F7. Integrieren Sie die Funktion Sinusquadrat bezüglich x.

F8. Berechnen Sie das Integral des Sinusquadrats von -π/4 bis π/4.

Integral von Sin x – Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von Sin x?

Integral von sin x ist -cos x

Was ist Sünde x?

Sin(x) ist eine trigonometrische Funktion, die das Verhältnis der Länge der einem Winkel gegenüberliegenden Seite zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck darstellt.

Was ist der Bereich von Sin x?

Der Bereich von Sin x ist [-1, 1].

Was ist Integral und Ableitung von Sin x?

Das Integral von sin x ist -cos x und die Ableitung von s i x ist cos x

Was ist das Integral von Sin x und Cos x?

Das Integral von sin x ist -cos x + C und das Integral von cos x ist sin x

Was ist das Integral der Sünde 2x?

Die Integration von sin 2x ist (-cos2x)/2 + c