logo

TechCodeview

Inverse trigonometrische Identitäten

Inverse trigonometrische Identitäten: In der Mathematik werden inverse trigonometrische Funktionen auch als Arcusfunktionen oder antitrigonometrische Funktionen bezeichnet. Die inversen trigonometrischen Funktionen sind die Umkehrfunktionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen, d. h. Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens. Es wird verwendet, um die Winkel mit jedem trigonometrischen Verhältnis zu ermitteln. Inverse trigonometrische Funktionen werden im Allgemeinen in Bereichen wie Geometrie, Ingenieurwesen usw. verwendet. Die Darstellung inverser trigonometrischer Funktionen ist:

Wenn a = f(b), dann ist die Umkehrfunktion



b = f-1(A)

Mini-Symbolleiste in Excel

Beispiele für inverse trigonometrische Funktionen sind sin-1x, cos-1x, also-1x usw.

Inhaltsverzeichnis



Bereich und Bereich inverser trigonometrischer Identitäten

Die folgende Tabelle zeigt einige trigonometrische Funktionen mit ihrem Definitionsbereich und ihrem Bereich.

Funktion Domain Reichweite
y = ohne-1X[-elf][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-elf][0, p]
y = cosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = Sek-1X R - (-elf)[0, π] – {π/2}
y = also-1X R (-p/2, p/2)
y = Kinderbett-1X R (0, p)

Eigenschaften umgekehrter trigonometrischer Funktionen

Im Folgenden sind die Eigenschaften der inversen trigonometrischen Funktionen aufgeführt:

Eigenschaft 1:



  1. ohne-1(1/x) = cosec-1x, für x ≥ 1 oder x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = Sek-1x, für x ≥ 1 oder x ≤ -1
  3. Also-1(1/x) = Kinderbett-1x, für x> 0

Eigenschaft 2:

  1. ohne-1(-x) = -sin-1x, für x ∈ [-1 , 1]
  2. Also-1(-x) = -tan-1x, für x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, für |x| ≥ 1

Eigentum 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, für x ∈ [-1 , 1]
  2. Sek-1(-x) = π – Sek-1x, für |x| ≥ 1
  3. Kinderbett-1(-x) = π – Kinderbett-1x, für x ∈ R

Eigentum 4

  1. ohne-1x + cos-1x = π/2, für x ∈ [-1,1]
  2. Also-1x + Kinderbett-1x = π/2, für x ∈ R
  3. cosec-1x + Sek-1x = π/2 , für |x| ≥ 1

Eigentum 5

  1. Also-1x + tan-1y = also-1( x + y )/(1 – xy), für xy <1
  2. Also-1x – also-1y = also-1(x – y)/(1 + xy), für xy> -1
  3. Also-1x + also-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), für xy>1 ; x, y>0

Eigentum 6

  1. 2tan-1x = Sünde-1(2x)/(1 + x2), für |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), für x ≥ 0
  3. 2tan-1x = also-1(2x)/(1 – x2), für 1

Identitäten der umgekehrten trigonometrischen Funktion

Im Folgenden sind die Identitäten der inversen trigonometrischen Funktionen aufgeführt:

  1. ohne-1(sin x) = x vorausgesetzt -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x vorausgesetzt 0 ≤ x ≤ π
  3. Also-1(tan x) = x vorausgesetzt -π/2
  4. ohne(ohne-1x) = x vorausgesetzt -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x vorausgesetzt -1 ≤ x ≤ 1
  6. also so-1x) = x vorausgesetzt x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x vorausgesetzt -1 ≤ x ≤ ∞ oder -∞
  8. Sek(Sek-1x) = x vorausgesetzt 1 ≤ x ≤ ∞ oder -∞
  9. Kinderbett(Kinderbett-1x) = x vorausgesetzt -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = Sünde-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = Sünde-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = also-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. ohne-1x + Sünde-1y = ohne-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. ohne-1x – Sünde-1y = ohne-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – und2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – und2)}
  22. Also-1x + tan-1y = also-1(x + y/1 – xy)
  23. Also-1x – also-1y = also-1(x – y/1 + xy)
  24. Also-1x + tan-1und +bräunen-1z = also-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Die Leute sehen sich auch Folgendes an:

Beispielprobleme zu inversen trigonometrischen Identitäten

Frage 1: Versuchen Sie es ohne -1 x = Sek -1 1/√(1-x 2 )

Lösung:

Lass ohne-1x = y

⇒ sin y = x , (da sin y = Senkrecht/Hypotenuse ⇒ cos y = √(1- Senkrecht2)/Hypotenuse )

⇒ cos y = √(1 – x2), hier Hypotenuse = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ Sek. y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = Sek-11/√(1 – x2)

⇒ ohne-1x = Sek-11/√(1 – x2)

Somit bewiesen.

Frage 2: Versuchen Sie es -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/X

Lösung:

Lass es so-1x = y

⇒ tan y = x, Senkrecht = x und Basis = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (da Hypotenuse = √(senkrecht2+ Basis2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ also-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Somit bewiesen.

Frage 3: Bewerten Sie sich selbst als -1 X)

Lösung:

Lass es sein-1x = y

⇒ cos y = x , Basis = x und Hypotenuse = 1, daher sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = so-1√(1 – x2)/X

⇒ cos-1x = also-1√(1 – x2)/X

Daher ist tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Frage 4: Ja -1 √(sin x) + cot -1 √(sin x) = y. Finden Sie cos und.

Lösung:

Wir kennen diese Bräune-1x + Kinderbett-1x = /2, daher erhalten wir beim Vergleich dieser Identität mit der in der Frage angegebenen Gleichung y = π/2

Somit ist cos y = cos π/2 = 0.

Frage 5: Ja -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Lösen Sie nach x auf.

Lösung:

Also-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan-1X

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x …(1)

Das wissen wir, 2tan-1x = also-12x/(1 – x2).

Daher kann LHS von Gleichung (1) geschrieben werden als

Also-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= also-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= also-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= also-1(1 – x2)/(2x)

Da also LHS = RHS ist

Also-1(1 – x2)/(2x) = tan-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Da x größer als 0 sein muss, ist x = 1/√3 die akzeptable Antwort.

Frage 6: Versuchen Sie es -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Lösung:

Lass es so-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ also2y = x

Daher,

RHS = (1/2)cos-1(1- so2y)/(1 + tan2Und)

= (1/2)cos-1(weil2und ohne2y)/(cos2und + ohne2Und)

= (1/2)cos-1(weil2und ohne2Und)

= (1/2)cos-1(weil 2 Jahre)

= (1/2)(2y)

= und

= also-1√x

= Links

Somit bewiesen.

Frage 7: Ja -1 (2x)/(1 – x 2 ) + Kinderbett -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Lösungen:

Also-1(2x)/(1 – x2) + Kinderbett-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ also-1(2x)/(1 – x2) + also-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ also-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 oder x = -1 – √2

Aber gemäß der Frage x ∈ (-1, 1) ist also für die gegebene Gleichung die Lösungsmenge x ∈ ∅.

Frage 8: Ja -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + Also -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Lösen Sie nach x auf.

Lösung:

Also-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + so-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ also-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2.3) + … + so-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (also-12 – also-11) + (so-13 – also-12) + … + (also-1(n + 1) – also-1n) = also-1X

⇒ also-1(n + 1) – also-11 = also-1X

⇒ also-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ also-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Frage 9: Wenn 2tan -1 (ohne x) = so -1 (2 Sek. x) dann nach x auflösen.

Lösung:

2tan-1(ohne x) = so-1(2 Sek. x)

⇒ also-1(2sin x)/(1 – sin2x) = also-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2X

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 oder sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 oder tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 oder x = π/4

Aber bei x = π/2 existiert die gegebene Gleichung nicht, daher ist x = π/4 die einzige Lösung.

Frage 10: Beweisen Sie das Kinderbett -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Lösung:

Sei also x = 2y

LHS = Kinderbett-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= Kinderbett-1[{√(cos2und + ohne2y + 2sin y cos y) + √(cos2und + ohne2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2und + ohne2y + 2sin y cos y) – √(cos2und + ohne2y – 2sin und cos y)} ]

= Kinderbett-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos und – sin und)2}]

= Kinderbett-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= Kinderbett-1(2cos y)/(2sin y)

= Kinderbett-1(Kinderbett und)

= und

= x/2.

Übungsaufgaben zu inversen trigonometrischen Identitäten

Aufgabe 1: Lösen Sie nach x in der Gleichung sin auf -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass tan -1 (1) + so -1 (2) + also -1 (3) = S

Aufgabe 3: Bewerten Sie cos⁡(ohne -1 (0,5))

Problem 4: Wenn braun -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, dann finde x

FAQs zu inversen trigonometrischen Identitäten

Was sind inverse trigonometrische Funktionen?

Inverse trigonometrische Funktionen sind die Umkehrfunktionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekante und Kotangens). Sie werden verwendet, um die Winkel zu ermitteln, die bestimmten trigonometrischen Verhältnissen entsprechen.

Warum sind inverse trigonometrische Funktionen wichtig?

Inverse trigonometrische Funktionen sind in verschiedenen Bereichen wie Geometrie, Ingenieurwesen und Physik von wesentlicher Bedeutung, da sie dabei helfen, Winkel aus trigonometrischen Verhältnissen zu bestimmen, was für die Lösung vieler praktischer Probleme von entscheidender Bedeutung ist.

Was sind die Bereiche und Bereiche der inversen trigonometrischen Funktionen?

Jede inverse trigonometrische Funktion hat spezifische Domänen und Bereiche:

S In -1 (x): Domäne [-1, 1] und Bereich [- π/2, π/2]

cos -1 (x): Domäne [-1, 1] und Bereich [0, π]

also⁡ -1 (x): Domäne R und Bereich (- π/2, π/2)

Können inverse trigonometrische Funktionen in der Analysis verwendet werden?

Ja, inverse trigonometrische Funktionen werden häufig in der Analysis zur Integration und Differenzierung verwendet. Sie sind besonders nützlich für die Integration von Funktionen, die trigonometrische Ausdrücke beinhalten.