Lokale Maxima und Minima beziehen sich auf die Punkte der Funktionen, die den höchsten und niedrigsten Bereich dieser Funktion definieren. Die Ableitung der Funktion kann zur Berechnung der lokalen Maxima und lokalen Minima verwendet werden. Die lokalen Maxima und Minima können mithilfe des Tests der ersten Ableitung und des Tests der zweiten Ableitung ermittelt werden.

In diesem Artikel besprechen wir die Einführung, Definition und wichtige Terminologie lokaler Maxima und Minima sowie deren Bedeutung. Wir werden auch die verschiedenen Methoden zur Berechnung der lokalen Maxima und Minima in der Mathematik und verstehen Infinitesimalrechnung . Wir werden auch verschiedene Beispiele lösen und Übungsfragen stellen, um das Konzept dieses Artikels besser zu verstehen.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind lokale Maxima und lokale Minima?
• Definition lokaler Maxima und lokaler Minima
• Begriffe im Zusammenhang mit lokalen Maxima und lokalen Minima
• Wie finde ich lokale Maxima und Minima?
• Beispiele zu lokalen Maxima und lokalen Minima

Was sind lokale Maxima und lokale Minima?

Lokale Maxima und Minima werden als Maximal- und Minimalwerte in einem bestimmten Intervall bezeichnet. Ein lokales Maximum tritt auf, wenn die Werte von a Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes sind immer niedriger als die Werte der Funktion am selben Punkt. Bei lokalen Minima sind die Werte einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes immer größer als die Werte der Funktion am selben Punkt.

Im einfachen Sinne wird ein Punkt als lokales Maximum bezeichnet, wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall ihren höchsten Wert erreicht, und ein Punkt wird als lokales Minimum bezeichnet, wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall ihren niedrigsten Wert erreicht.

Wenn Sie beispielsweise in eine hügelige Gegend gehen und auf dem Gipfel eines Hügels stehen, wird dieser Punkt als lokaler Maxima-Punkt bezeichnet, da Sie sich am höchsten Punkt in Ihrer Umgebung befinden. Wenn Sie sich am tiefsten Punkt eines Flusses oder Meeres befinden, wird dieser Punkt ebenfalls als lokaler Minimapunkt bezeichnet, da Sie sich am tiefsten Punkt Ihrer Umgebung befinden.

Definition lokaler Maxima und lokaler Minima

Lokale Maxima und Minima sind die Anfangswerte jeder Funktion, um eine Vorstellung von ihren Grenzen zu erhalten, z. B. den höchsten und niedrigsten Ausgabewerten. Lokale Minima und lokale Maxima werden auch lokale Extrema genannt.

Lokale Maxima

Ein lokaler Maximapunkt ist ein Punkt auf einer beliebigen Funktion, an dem die Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls ihren Maximalwert erreicht. Ein Punkt (x = a) einer Funktion f (a) wird als lokales Maximum bezeichnet, wenn der Wert von f(a) größer oder gleich allen Werten von f(x) ist.

Schnittstelle in Java

Mathematisch gilt f (a) ≥ f (a -h) und f (a) ≥ f (a + h), wobei h> 0, dann wird a als lokaler Maximalpunkt bezeichnet.

Lokale Minima

Ein lokaler Minimapunkt ist ein Punkt auf einer beliebigen Funktion, an dem die Funktion ihren Minimalwert innerhalb eines bestimmten Intervalls erreicht. Ein Punkt (x = a) einer Funktion f (a) wird als lokales Minimum bezeichnet, wenn der Wert von f(a) kleiner oder gleich allen Werten von f(x) ist.

Mathematisch gilt f (a) ≤ f (a -h) und f (a) ≤ f (a + h), wobei h> 0, dann wird a als lokaler Minimalpunkt bezeichnet.

Begriffe im Zusammenhang mit lokalen Maxima und lokalen Minima

Im Folgenden werden wichtige Begriffe im Zusammenhang mit lokalen Maxima und Minima erläutert:

Höchster Wert

Wenn eine Funktion den maximalen Ausgabewert für den Eingabewert von x angibt. Dieser Wert von x wird als Maximalwert bezeichnet. Wenn es innerhalb eines bestimmten Bereichs definiert ist. Dann wird dieser Punkt aufgerufen Lokale Maxima .

Absolutes Maximum

Wenn eine Funktion den maximalen Ausgabewert für den Eingabewert von x entlang des gesamten Funktionsbereichs liefert. Dieser Wert von x wird als absolutes Maximum bezeichnet.

Mindestwert

Wenn eine Funktion den minimalen Ausgabewert für den Eingabewert von x angibt. Dieser Wert von x wird als Minimalwert bezeichnet. Wenn es innerhalb eines bestimmten Bereichs definiert ist. Dann wird dieser Punkt aufgerufen Lokale Minima .

Absolutes Minimum

Wenn eine Funktion den minimalen Ausgabewert für den Eingabewert von x entlang des gesamten Funktionsbereichs angibt. Dieser Wert von x wird als absolutes Minimum bezeichnet.

Umkehrpunkt

Wenn der Wert von x innerhalb des Bereichs der gegebenen Funktion nicht die höchste und niedrigste Ausgabe zeigt, spricht man von einem Umkehrpunkt.

Erfahren Sie mehr, Absolute Maxima und Minima

Wie finde ich lokale Maxima und Minima?

Die lokalen Maxima und Minima werden nur für einen bestimmten Bereich bestimmt, sie sind nicht das Maximum und Minimum für die gesamte Funktion und gelten nicht für den gesamten Bereich der Funktion.

Es gibt folgende Ansätze zur Berechnung der lokalen Maxima und Minima. Diese sind:

• Im ersten Schritt bilden wir die Ableitung der Funktion.

• Im zweiten Schritt setzen wir die Ableitung gleich Null und berechnen die kritischen Punkte für c.

• Im dritten Schritt verwenden wir Erste Ableitung Und Zweiter Ableitungstest um die lokalen Maxima und lokalen Minima zu bestimmen.

Was ist der erste Ableitungstest?

Zuerst nehmen wir die erste Ableitung einer Funktion, die die Steigung der Funktion angibt. Wenn wir uns einem Maximalpunkt nähern, nimmt die Steigung der Funktion zu, wird dann am Maximalpunkt Null und nimmt danach ab, wenn wir uns von diesem Punkt entfernen.

Ähnlich verhält es sich beim Minimalpunkt: Wenn wir uns einem Minimalpunkt nähern, nimmt die Steigung der Kurve ab, wird dann am Minimalpunkt Null und nimmt anschließend zu, wenn wir uns von diesem Punkt entfernen.

Nehmen wir eine Funktion f(x), die am kritischen Punkt c stetig ist, in einem offenen Intervall I, und f'(c) = 0 bedeutet Steigung am kritischen Punkt c = 0.

Um die Natur von f'(x) um den kritischen Punkt c herum zu überprüfen, haben wir die folgenden Bedingungen, um den Wert des lokalen Maximums und Minimums aus dem Test der ersten Ableitung zu bestimmen. Diese Bedingungen sind:

• Wenn f ′(x) das Vorzeichen von positiv zu negativ ändert, wenn x über c zunimmt, dann zeigt f(c) den höchsten Wert dieser Funktion im angegebenen Bereich. Daher ist Punkt c ein lokaler Maximapunkt, wenn die erste Ableitung f‘(x)> 0 an jedem Punkt ausreichend nahe links von c und f‘(x) <0 an jedem Punkt ausreichend nahe rechts von c ist.

• Wenn f ′(x) das Vorzeichen von negativ zu positiv ändert, wenn x über c zunimmt, dann zeigt f(c) den niedrigsten Wert dieser Funktion im angegebenen Bereich. Daher ist Punkt c ein lokaler Minimapunkt, wenn die erste Ableitung f‘(x) 0 an irgendeinem Punkt nahe genug rechts von c ist.

• Wenn f'(x) das Vorzeichen nicht wesentlich ändert, wenn x über c zunimmt, dann zeigt der Punkt c nicht den höchsten (lokalen Maxima) und niedrigsten (lokalen Minima) Wert der Funktion an. In diesem Fall ist Punkt c Wendepunkt genannt.

Lesen Sie mehr über Erster Ableitungstest .

Was ist der zweite Ableitungstest?

Der Test der zweiten Ableitung wird verwendet, um den Wert des absoluten Maximums und des absoluten Minimums einer Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls zu ermitteln. Nehmen wir eine Funktion f(x), die am kritischen Punkt c stetig ist, in einem offenen Intervall I, und f'(c) = 0 bedeutet Steigung am kritischen Punkt c = 0. Hier nehmen wir die zweite Ableitung f (x) der Funktion f(x), die die Steigung der Funktion angibt.

Um die Natur von f'(x) zu überprüfen, haben wir die folgenden Bedingungen, um den Wert des lokalen Maximums und Minimums aus dem Test der zweiten Ableitung zu bestimmen. Diese Bedingungen sind:

• Punkt c ist ein lokaler Maximapunkt, wenn die erste Ableitung f'(c) = 0 und die zweite Ableitung f(c) <0 ist. Der Punkt bei x=c ist das lokale Maximum und f(c) ist der lokale Maximalwert von f(x).

• Punkt c ist ein lokaler Minimapunkt, wenn die erste Ableitung f'(c) = 0 und f(c) die zweite Ableitung> 0 ist. Der Punkt bei x= c ist das lokale Minima und f(c) ist das Lokaler Minimalwert von f(x).

• Der Test schlägt fehl, wenn die erste Ableitung f'(c) = 0 und die zweite Ableitung f(c) = 0 ist, dann zeigt der Punkt c nicht den höchsten (lokalen Maxima) und niedrigsten (lokalen Minima) Wert der Funktion In diesem Fall wird Punkt c als Wendepunkt und der Punkt x = c als Wendepunkt bezeichnet Wendepunkt.

Überprüfen Sie auch

• Anwendung von Derivaten
• Relative Maxima und Minima
• Differenzierungs- und Integrationsformel

Beispiele zu lokalen Maxima und lokalen Minima

Beispiel 1: Analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 unter Verwendung des ersten Ableitungstests.

Lösung:

Die gegebene Funktion ist f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Die erste Ableitung der Funktion ist f'(x) = 6x²– 6x – 12, es wird verwendet, um die kritischen Punkte herauszufinden.

Um den kritischen Punkt zu finden, ist f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Kritische Punkte sind daher x = -1 und x = 2.

Analysieren Sie den unmittelbaren Punkt der ersten Ableitung zum kritischen Punkt x = -1. Die Punkte sind {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 und f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Das Vorzeichen der Ableitung ist links von x = -1 positiv und rechts negativ. Daher bedeutet es, dass x = -1 das lokale Maxima ist.

Analysieren wir nun den unmittelbaren Punkt der ersten Ableitung zum kritischen Punkt x = 2. Die Punkte sind {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 und f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

Wie viele Nullen hat eine Milliarde?

Das Vorzeichen der Ableitung ist links von x = 2 negativ und rechts positiv. Daher bedeutet es, dass x = 2 das lokale Minimum ist.

Daher beträgt das lokale Maximum -1 und das lokale Minimum 2.

Beispiel 2: Analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 unter Verwendung des zweiten Ableitungstests.

Lösung:

Die gegebene Funktion ist f(x) = -x³+6x²-12x +10

Die erste Ableitung der Funktion ist f'(x) = -x³+6x²-12x +10, um die kritischen Punkte herauszufinden.

Um den kritischen Punkt zu finden, ist f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

wie man eine JSON-Datei liest

(x – 1)(x – 3) = 0

Daher sind die kritischen Punkte x = 1 und x = 3

Nehmen Sie nun eine zweite Ableitung der Funktion,

f(x) = 6x – 12

Bewerten Sie f(x) am kritischen Punkt x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0 und daher entspricht x = 1 lokalen Maxima.

Bewerten Sie f(x) am kritischen Punkt x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, und daher entspricht x = 3 lokalen Minima.

Nun berechnen wir die Funktionswerte an den kritischen Punkten:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, daher liegt das lokale Maximum bei (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, daher liegt das lokale Maximum bei (3, 1)

Übungsfragen zu lokalen Minima und Maxima

Q1. Finden Sie lokale Maxima und lokale Minima der Funktion f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 unter Verwendung des zweiten Ableitungstests.

Q2. Finden und analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = – x²+4x -5 unter Verwendung des zweiten Ableitungstests.

Q3. Finden Sie lokale Maxima und lokale Minima der Funktion f(x) = x²-4x +5 unter Verwendung des ersten Ableitungstests.

Q4. Finden und analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = 3x²-12x +5 unter Verwendung des ersten Ableitungstests.

F5. Finden und analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = x³– 6x²+9x + 15 unter Verwendung des ersten Ableitungstests.

F6. Finden und analysieren Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima der Funktion f(x) = 2x³-9x²+12x +5 durch Verwendung des zweiten Ableitungstests.

Lokale Maxima und lokale Minima – FAQs

Was sind lokale Maxima?

Ein Punkt wird als lokales Maxima bezeichnet, wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall ihren höchsten Wert erreicht.

Wie findet man das lokale Maximum?

Indem wir die Funktion differenzieren und den kritischen Wert ermitteln, bei dem die Steigung Null ist, können wir das lokale Maximum ermitteln.

Was sind lokale Minima?

Ein Punkt wird als lokales Minima bezeichnet, wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall ihren niedrigsten Wert erreicht.

Mit welchen Methoden können Sie die lokalen Maxima und lokalen Minima berechnen?

Test der ersten Ableitung und Test der zweiten Ableitung.

Was ist der Unterschied zwischen dem Test der ersten Ableitung und dem Test der zweiten Ableitung?

Der Test der ersten Ableitung ist die Näherungsmethode zur Berechnung des Werts der lLcal-Maxima und lokalen Minima. Der Test der zweiten Ableitung ist die systematische und genaue Methode zur Berechnung des Werts der lokalen Maxima und lokalen Minima.

Was bedeutet der Umkehrpunkt?

Wenn der Wert eines Punktes innerhalb des Bereichs einer bestimmten Funktion nicht die höchste und niedrigste Ausgabe anzeigt, wird dieser Punkt als Umkehrpunkt bezeichnet.

Wozu dienen lokale Maxima und lokale Minima?

Den Extremwert einer Funktion innerhalb eines bestimmten Bereichs ermitteln.