Normalverteilung: Die Normalverteilung ist die häufigste oder normalste Form der Verteilung von Zufallsvariablen. daher der Name Normalverteilung. Es heißt auch Gaußsche Verteilung in Statistik oder Wahrscheinlichkeit. Wir verwenden diese Verteilung, um eine große Anzahl von Zufallsvariablen darzustellen.

Lasst uns etwas darüber erfahren Normalverteilung im Detail, einschließlich ihrer Formel, Eigenschaften und Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Normalverteilung?
• Beispiele für Normalverteilungen
• Normalverteilungsformel
• Normalverteilungskurve
• Standardabweichung der Normalverteilung
• Normalverteilungsdiagramm
• Normalverteilungstabelle
• Eigenschaften der Normalverteilung
• Normalverteilung in der Statistik
• Normalverteilungsprobleme und Lösungen

Was ist Normalverteilung?

Wir definieren die Normalverteilung als die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen für ein gegebenes System. Um nun die Normalverteilung zu definieren, nehmen wir an, dass wir f(x) als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für jede Zufallsvariable X nehmen.

Außerdem wird die Funktion zwischen dem Intervall (x, {x + dx}) integriert, dann gilt:

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Wir beobachten, dass die von den oberen Werten der Normalverteilung gezeichnete Kurve die Form einer Glocke hat, weshalb die Normalverteilung auch als Normalverteilung bezeichnet wird Glockenkurve .

Überprüfen: Python – Normalverteilung in der Statistik

Beispiele für Normalverteilungen

Wir können eine Normalverteilung für verschiedene Arten von Daten erstellen, darunter:

• Verteilung der Körpergröße von Menschen
• Verteilung der Fehler bei jeder Messung
• Verteilung des Blutdrucks eines Patienten usw.

Normalverteilungsformel

Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung (Gaußsche Verteilung) wird unten hinzugefügt:

Wo,

• x ist Zufällige Variable
• μ ist Bedeuten
• σ ist Standardabweichung

Normalverteilungskurve

auf jeden Bei der Normalverteilung handelt es sich um Zufallsvariablen, die unbekannte Werte im Zusammenhang mit der Verteilung annehmen und im Allgemeinen an einen Bereich gebunden sind.

Ein Beispiel für eine Zufallsvariable ist beispielsweise a Verteilung der Körpergröße von Schülern in einer Klasse, dann kann die Zufallsvariable dabei jeden beliebigen Wert annehmen Fall, ist aber durch eine Grenze von 2 Fuß bis 6 Fuß begrenzt, da es im Allgemeinen physisch erzwungen wird.

• Reichweite von jedem Die Normalverteilung kann unendlich sein. In diesem Fall sagen wir, dass die Normalverteilung nicht durch ihren Bereich gestört wird. In diesem Fall wird der Bereich von –∞ bis + ∞ erweitert.
• Bell Curve existiert in diesem Fall immer noch, Alle Variablen in diesem Bereich werden als kontinuierliche Variable bezeichnet und ihre Verteilung wird Normalverteilung genannt, da alle Werte im Allgemeinen eng am Mittelwert ausgerichtet sind.
• Der Das Diagramm oder die Kurve dafür wird als Normalverteilungskurve oder Normalverteilungsdiagramm bezeichnet.

Standardabweichung der Normalverteilung

Wir wissen, dass der Mittelwert aller als Diagramm verteilten Daten uns dabei hilft, die Symmetrielinie des Diagramms zu finden, während die Standardabweichung uns sagt, wie weit die Daten auf beiden Seiten vom Mittelwert entfernt sind. Bei kleineren Werten der Standardabweichung rücken die Werte im Diagramm näher zusammen und das Diagramm wird schmaler. Bei höheren Werten der Standardabweichung sind die Werte im Diagramm hingegen stärker gestreut und das Diagramm wird breiter.

Empirische Regel der Standardabweichung

Im Allgemeinen hat die Normalverteilung eine positive Standardabweichung und die Standardabweichung teilt die Fläche der Normalkurve in kleinere Teile und jeder Teil definiert den Prozentsatz der Daten, die in einen bestimmten Bereich fallen. Dies wird als empirische Regel der Standardabweichung in der Normalverteilung bezeichnet .

Die empirische Regel besagt, dass

• 68 % der Daten liegen ungefähr innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, d. h. sie liegen zwischen { Mittelwert – eine Standardabweichung und Mittelwert + eine Standardabweichung }
• 95 % der Daten liegen ungefähr innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert, d. h. sie liegen zwischen { Mittelwert – zwei Standardabweichungen und Mittelwert + zwei Standardabweichungen }
• 99,7 % der Daten liegen ungefähr innerhalb eines Drittels der Standardabweichung vom Mittelwert, d. h. sie liegen zwischen { Mittelwert – Dritte Standardabweichung und Mittelwert + Dritte Standardabweichung }

Normalverteilungsdiagramm

Studieren Aus der Grafik geht hervor, dass wir mithilfe der empirischen Regel die Daten grob in drei Teile verteilen. Daher wird die empirische Regel auch als 68 – 95 – 99,7-Regel bezeichnet.

Überprüfen: Mathematik | Wahrscheinlichkeitsverteilungssatz 3 (Normalverteilung)

Normalverteilungstabelle

Die Normalverteilungstabelle, auch Normalverteilungs-Z-Tabelle genannt, ist die Tabelle des Z-Werts für die Normalverteilung. Diese Normalverteilungs-Z-Tabelle sieht wie folgt aus:

Eigenschaften der Normalverteilung

Einige wichtige Eigenschaften der Normalverteilung sind:

• Bei der Normalverteilung der Daten sind Mittelwert, Median und Modus gleich (d. h. Mittelwert = Median = Modus).
• Die Gesamtfläche unter der Normalverteilungskurve ist gleich 1.
• Die normalverteilte Kurve ist in der Mitte entlang des Mittelwerts symmetrisch.
• In einer normalverteilten Kurve gibt es genau den halben Wert rechts vom Mittelwert und genau den halben Wert rechts vom Mittelwert.
• Die Normalverteilung wird anhand der Werte des Mittelwerts und der Standardabweichung definiert.

• Die Normalverteilungskurve ist eine unimodale Kurve, d. h. eine Kurve mit nur einem Peak

Die Leute sehen sich auch Folgendes an:

• Poisson-Verteilung
• Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeitsverteilung

Normalverteilung in der Statistik

• Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt , ist ein glockenförmige Kurve, die eine große Anzahl realer Phänomene beschreibt . Es ist eines der wichtigsten Konzepte in der Statistik, da es in vielen Studienbereichen auftaucht.
• Glockenförmige Kurve : Stellen Sie sich eine symmetrische Glocke vor, bei der die Mitte der höchste Punkt ist und die Enden auf beiden Seiten spitz zulaufen. Das ist die Grundform einer Normalverteilung. Die meisten Datenpunkte gruppieren sich um die Mitte, und je weiter man sich von der Mitte entfernt, desto seltener werden die Datenpunkte.
• Zentrale Tendenz: Die Mitte der Glockenkurve stellt die zentrale Tendenz der Daten dar, das heißt, sie zeigt an, wo sich die meisten Werte konzentrieren. Dies kann je nach spezifischem Datensatz der Mittelwert, der Median oder der Modus sein.
• Verbreitung der Daten: Die Breite der Glockenkurve gibt an, wie weit die Daten verteilt sind. Eine breitere Kurve bedeutet, dass die Datenpunkte stärker verteilt sind, während eine schmalere Kurve bedeutet, dass die Datenpunkte näher beieinander liegen.
• Zufallsvariablen: Normalverteilung wird normalerweise mit kontinuierlichen Zufallsvariablen verwendet, die jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen können. Beispiele hierfür sind Körpergrößen, Gewichte, IQ-Werte oder Prüfungsnoten.

Überprüfen : Normalverteilung in der Unternehmensstatistik

Normalverteilungsprobleme und Lösungen

Lassen Sie uns einige Probleme der Normalverteilung lösen

ReactJS-Karte

Beispiel 1: Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung der folgenden Daten. x = 2, μ = 3 und σ = 4.

Lösung:

Gegeben,

• Variable (x) = 2
• Mittelwert = 3
• Standardabweichung = 4

Verwendung der Formel der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Vereinfachen,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Beispiel 2: Wenn der Wert der Zufallsvariablen 4 ist, der Mittelwert 4 ist und die Standardabweichung 3 ist, dann ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gaußschen Verteilung.

Lösung:

Gegeben,

• Variable (x) = 4
• Mittelwert = 4
• Standardabweichung = 3

Verwendung der Formel der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Vereinfachen,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Fazit – Normalverteilung

Die Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, ist ein grundlegendes Konzept in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Es zeichnet sich durch seine glockenförmige Kurve aus, die symmetrisch ist und um den Mittelwert zentriert ist. Die Eigenschaften der Normalverteilung, wie ihr Mittelwert und ihre Standardabweichung, spielen in vielen statistischen Analysen und Anwendungen eine entscheidende Rolle. Normalverteilungen werden häufig in Bereichen wie Finanzen, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften verwendet, um eine Vielzahl von Phänomenen zu modellieren und zu analysieren. Das Verständnis der Normalverteilung ermöglicht eine bessere Interpretation von Daten, die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten und das Treffen fundierter Entscheidungen auf der Grundlage statistischer Schlussfolgerungen.

FAQs zur Normalverteilung

Was ist Normalverteilung?

In der Statistik ist die Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die symmetrisch zum Mittelwert ist. Sie zeigt, dass Daten in der Nähe des Mittelwerts häufiger vorkommen als Daten, die weit vom Mittelwert entfernt sind.

Warum heißt Normalverteilung normal?

Die Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, wird Normalverteilung genannt, weil gezeigt wird, dass verschiedene natürliche Prozesse normalerweise der Gaußschen Verteilung folgen, weshalb sie auch Normalverteilung genannt wird.

Was ist ein Normalverteilungsdiagramm?

Ein Normalverteilungsdiagramm, auch Gauß-Verteilung oder Glockenkurve genannt, ist eine bestimmte Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es zeichnet sich durch seine symmetrische, glockenförmige Kurve aus, wenn es in einem Diagramm dargestellt wird.

Was ist die Normalverteilungs-Z-Tabelle?

Die Z-Tabelle, auch Standardnormalverteilungstabelle oder Z-Score-Tabelle genannt, ist eine Referenztabelle, die in der Statistik verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, die bestimmten Werten in einer Standardnormalverteilung zugeordnet sind.

Was sind die Merkmale der Normalverteilung?

Eigenschaften der Normalverteilung sind:

• Die Normalverteilungskurve ist symmetrisch zum Mittelwert.
• Die Normalverteilung ist unimodaler Natur, d. h. sie hat einen einzelnen Spitzenwert.
• Die Normalverteilungskurve ist immer glockenförmig.
• Mittelwert, Modus und Median für Normalverteilung ist immer gleich.
• Die Normalverteilung folgt der empirischen Regel.

Was ist der Mittelwert der Normalverteilung?

Der Mittelwert (bezeichnet als μ) stellt den zentralen oder durchschnittlichen Wert der Daten dar. Es ist auch der Punkt, um den die Daten symmetrisch verteilt sind.

Was ist die Standardabweichung der Normalverteilung?

Die Standardabweichung (bezeichnet als σ) misst die Streuung oder Streuung von Datenpunkten in der Verteilung. Ein kleinerer σ zeigt an, dass die Datenpunkte eng um den Mittelwert gepackt sind, während ein größerer σ eine stärkere Streuung anzeigt.

Was ist die empirische Regel (68-95-99,7-Regel)?

Empirische Regel für Normalverteilungszustände,

• Ungefähr 68 % der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
• Ungefähr 95 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
• Etwa 99,7 % liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Wozu dient die Normalverteilung?

Verschiedene Anwendungen der Normalverteilung sind:

• Zum Studium verschiedener Naturphänomene
• Zum Studium von Finanzdaten.
• In den Sozialwissenschaften zur Untersuchung und Vorhersage verschiedener Parameter usw.

Was sind Einschränkungen der Normalverteilung?

Die Normalverteilung ist ein äußerst wichtiges statisches Konzept, aber auch sie weist einige Einschränkungen auf, wie zum Beispiel:

• Verschiedene Datenverteilungen folgen nicht der Normalverteilung und können diese Daten daher nicht kommentieren.
• Eine zu große Abhängigkeit von der Normalverteilung oder der Bell-Kurve ist keine gute Möglichkeit, Daten vorherzusagen, da diese nicht 100 % genau sind usw.