Standardabweichung ist das Maß für die Streuung von Statistiken. Die Standardabweichungsformel wird verwendet, um die Abweichung des Datenwerts vom Mittelwert zu ermitteln, d. h. sie wird verwendet, um die Streuung aller Werte in einem Datensatz zum Mittelwert zu ermitteln. Es gibt verschiedene Standardabweichungsformeln, um die Standardabweichung einer Zufallsvariablen zu berechnen.

In diesem Artikel erfahren wir mehr darüber Was ist Standardabweichung, die Standardabweichungsformeln, wie berechnet man die Standardabweichung und Beispiele für Standardabweichungen im Detail.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Standardabweichung?
• Definition der Standardabweichung
• Standardabweichungsformel
• Formel zur Berechnung der Standardabweichung
• Wie berechnet man die Standardabweichung?
• Was ist Varianz?
• Unterschied zwischen Varianz und Abweichung
• Varianzformel
• Wie berechnet man die Varianz?
• Standardabweichung nicht gruppierter Daten
• Standardabweichung diskreter gruppierter Daten
• Standardabweichung kontinuierlicher gruppierter Daten
• Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Standardabweichung zufälliger Variablen
• Beispiel für eine Standardabweichungsformel
• Standardabweichungsformel Excel
• Statistik der Standardabweichungsformel

Was ist Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist definiert als der Grad der Streuung des Datenpunkts gegenüber dem Mittelwert des Datenpunkts. Es sagt uns, wie der Wert der Datenpunkte vom Mittelwert des Datenpunkts abweicht, und es gibt Auskunft über die Variation des Datenpunkts in der Stichprobe der Daten.

Die Standardabweichung einer bestimmten Stichprobe eines Datensatzes wird auch als Quadratwurzel definiert Varianz des Datensatzes. Mittlere Abweichung der n Werte (sagen wir x₁, X₂, X₃, …, X_N) wird berechnet, indem die Summe der Quadrate der Differenz jedes Werts vom Mittelwert gebildet wird, d. h.

Mittlere Abweichung = 1/n∑ _ich ^N (X _ich - X) ²

Die mittlere Abweichung gibt Aufschluss über die Streuung der Daten. Der geringere Grad der Abweichung sagt uns, dass die Beobachtungen xi nahe am Mittelwert liegen und die Depression gering ist, während der höhere Grad der Abweichung uns sagt, dass die Beobachtungen xi weit vom Mittelwert entfernt sind und die Streuung hoch ist.

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Definition der Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein Maß, das in der Statistik verwendet wird, um zu verstehen, wie die Datenpunkte in einer Menge verteilt sind bedeuten Wert. Es zeigt das Ausmaß der Schwankung der Daten an und zeigt, wie weit einzelne Datenpunkte vom Durchschnitt abweichen.

Überprüfen: Wie finde ich die Standardabweichung in der Statistik?

Standardabweichungsformel

Die Standardabweichung wird verwendet, um die Streuung der statistischen Daten zu messen. Es gibt Aufschluss darüber, wie die statistischen Daten verteilt sind. Formel zur Berechnung der Standardabweichung wird verwendet, um die Abweichung aller Datensätze von ihrer mittleren Position zu ermitteln. Möglicherweise haben Sie Fragen zur Berechnung der Standardabweichung oder wie man eine Standardabweichung berechnet . Es gibt zwei Standardabweichungsformeln, mit denen die Standardabweichung eines bestimmten Datensatzes ermittelt werden kann. Sie sind,

• Formel für die Bevölkerungsstandardabweichung
• Beispiel für eine Standardabweichungsformel

Wo,

• s ist die Populationsstandardabweichung
• X _ich bin ich ^Th Überwachung
• x̄ ist der Stichprobenmittelwert
• N ist die Anzahl der Beobachtungen

Wo,

• σ ist die Populationsstandardabweichung
• X_ichbin ich^ThÜberwachung
• μ ist der Bevölkerungsmittelwert
• N ist die Anzahl der Beobachtungen

Es fällt auf, dass beide Formeln gleich aussehen und lediglich Schiebewechsel im Nenner aufweisen. Nenner im Fall der Stichprobe ist n-1 aber im Falle der Bevölkerung ist N. Zunächst ist der Nenner im Stichprobenstandardabweichung Formel hat N im Nenner, aber das Ergebnis dieser Formel war nicht angemessen. Also wurde eine Korrektur vorgenommen und Das n wird durch n-1 ersetzt. Diese Korrektur wird Bessel-Korrektur genannt was wiederum zu den am besten geeigneten Ergebnissen führte.

Mehr lesen: Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung

Formel zur Berechnung der Standardabweichung

Die zur Berechnung der Standardabweichung verwendete Formel wird im Bild unten erläutert.

Wie berechnet man die Standardabweichung?

Wenn wir über Standardabweichung sprechen, sprechen wir im Allgemeinen von Bevölkerungsstandardabweichung . Die Schritte zur Berechnung der Standardabweichung eines bestimmten Wertesatzes sind wie folgt:

Schritt 1: Berechnen Sie den Beobachtungsmittelwert mithilfe der Formel

(Mittelwert = Summe der Beobachtungen/Anzahl der Beobachtungen)

Schritt 2: Berechnen Sie quadrierte Differenzen der Datenwerte vom Mittelwert.

(Datenwert – Mittelwert)²

Schritt 3: Berechnen Sie den Durchschnitt der quadrierten Differenzen.

(Varianz = Summe der quadrierten Differenzen / Anzahl der Beobachtungen)

Schritt 4: Berechnen Sie die Quadratwurzel der Varianz. Dies ergibt die Standardabweichung.

(Standardabweichung = √Varianz)

Was ist Varianz?

Die Varianz sagt uns grundsätzlich, wie weit ein Datensatz verteilt ist. Wenn alle Datenpunkte gleich sind, ist die Varianz Null. Jede Abweichung ungleich Null gilt als positiv . Geringe Varianz bedeutet, dass die Datenpunkte nahe am Durchschnitt (oder Mittelwert) und beieinander liegen. Hohe Varianz bedeutet, dass die Datenpunkte vom Durchschnitt und voneinander entfernt sind. Vereinfacht ausgedrückt ist die Varianz der Durchschnitt, wie weit jeder Datenpunkt im Quadrat vom Mittelwert entfernt ist.

Unterschied zwischen Varianz und Abweichung

Überprüfen:

• Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung
• Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Varianzformel

Die Formel zur Berechnung der Varianz eines Datensatzes lautet wie folgt:

Varianz (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N

Wo:

• Σ bezeichnet Summation (Summierung)
• x repräsentiert jeden einzelnen Datenpunkt
• μ (mu) ist der Mittelwert (Durchschnitt) des Datensatzes
• N ist die Gesamtzahl der Datenpunkte

Wie berechnet man die Varianz?

Die Schritte zur Berechnung der Varianz eines Datensatzes:

Schritt 1: Berechnen Sie den Mittelwert (Durchschnitt):

Addieren Sie alle Werte im Datensatz und dividieren Sie durch die Gesamtzahl der Werte. Dies ergibt den Mittelwert (μ).

Mittelwert (μ) = (Summe aller Werte) / (Gesamtzahl der Werte)

Schritt 2: Ermitteln Sie die quadrierten Differenzen vom Mittelwert:

Subtrahieren Sie für jeden Wert im Datensatz den im ersten Schritt berechneten Mittelwert von diesem Wert und quadrieren Sie dann das Ergebnis. Dadurch erhalten Sie die quadrierte Differenz für jeden Wert.

Quadratische Differenz für jeden Wert = (Wert – Mittelwert)^2

Schritt 3: Berechnen Sie den Durchschnitt der quadrierten Differenzen:

Addieren Sie alle im vorherigen Schritt berechneten quadrierten Differenzen und dividieren Sie sie dann durch die Gesamtzahl der Werte im Datensatz. Dies ergibt die Varianz (σ^2).

Varianz (σ^2) = (Summe aller quadrierten Differenzen) / (Gesamtzahl der Werte)

Überprüfen: Varianz und Standardabweichung

Standardabweichung nicht gruppierter Daten

Methode des angenommenen Mittelwerts

Schrittabweichungsmethode

Standardabweichung nach der Methode des tatsächlichen Mittelwerts

Die Methode „Standardabweichung nach tatsächlichem Mittelwert“ verwendet die grundlegende Mittelwertformel, um den Mittelwert der angegebenen Daten zu berechnen und anhand dieses Mittelwerts ermitteln wir die Standardabweichung der angegebenen Datenwerte. Wir berechnen den Mittelwert bei dieser Methode mit der Formel:

μ = (Summe der Beobachtungen)/(Anzahl der Beobachtungen)

Und Anschließend wird die Standardabweichung mithilfe der Standardabweichungsformel berechnet.

σ = √(∑ _ich ^N (X _ich - X) ² /N)

Beispiel: Standardabweichung des Datensatzes ermitteln. X = {2, 3, 4, 5, 6}

Lösung:

Gegeben,

• n = 5
• X_ich= {2, 3, 4, 5, 6}

Wir wissen,

Mittelwert(μ) = (Summe der Beobachtungen)/(Anzahl der Beobachtungen)

⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5

⇒ μ = 4

P²= ∑_ich^N(X_ich- X)²/N

⇒ S²= 1/n[(2 – 4)²+ (3 – 4)²+ (4 – 4)²+ (5 – 4)²+ (6 – 4)²]

⇒ S²= 10/5 = 2

Somit ist σ = √(2) = 1,414

Standardabweichung nach der Methode des angenommenen Mittelwerts

Für sehr große x-Werte ist es eine mühsame Aufgabe, den Mittelwert der gruppierten Daten zu ermitteln. Deshalb haben wir einen willkürlichen Wert (A) als Mittelwert angenommen und dann die Standardabweichung mit der Normalmethode berechnet. Angenommen, für die Gruppe von n Datenwerten ( x₁, X₂, X₃, …, X_N), der angenommene Mittelwert ist A, dann ist die Abweichung,

D _ich = x _ich - A

Jetzt, Die angenommene Mittelwertformel lautet:

σ = √(∑ _ich ^N (D _ich ) ² /N)

Standardabweichung nach Schrittabweichungsmethode

Wir können die Standardabweichung der gruppierten Daten auch mithilfe der Schrittabweichungsmethode berechnen. Wie bei der obigen Methode wählen wir auch bei dieser Methode einen beliebigen Datenwert als angenommenen Mittelwert (z. B. A). Dann berechnen wir die Abweichungen aller Datenwerte (x ₁ , X ₂ , X ₃ , …, X _N ), D _ich = x _ich - A

Im nächsten Schritt Wir berechnen die Schrittabweichungen (d‘) mit

d’ = d/i

Wo ' ich ' ist ein gemeinsamer Faktor aller 'd'-Werte

Dann, Die Standardabweichungsformel lautet:

σ = √[(∑(d’) ² /n) – (∑d’n) ² ] × i

Wo ' N „ist die Gesamtzahl der Datenwerte

Standardabweichung diskreter gruppierter Daten

In gruppierten Daten haben wir zunächst eine Häufigkeitstabelle erstellt und dann weitere Berechnungen durchgeführt. Für diskrete gruppierte Daten kann die Standardabweichung auch mit drei Methoden berechnet werden:

• Tatsächliche Mittelwertmethode
• Methode des angenommenen Mittelwerts
• Schrittabweichungsmethode

Standardabweichungsformel basierend auf diskreter Häufigkeitsverteilung

Für einen gegebenen Datensatz, wenn er n Werte hat (x₁, X₂, X₃, …, X_N) und die ihnen entsprechende Frequenz ist (f₁, F₂, F₃, …, F_N) dann wird seine Standardabweichung anhand der Formel berechnet:

σ = √(∑ _ich ^N F _ich (X _ich - X) ² /N)

Wo,

• N ist die Gesamtfrequenz (n = f₁+ f₂+ f₃+…+ f_N)
• X ist Mittelwert der Daten

Beispiel: Berechnen Sie die Standardabweichung für die angegebenen Daten

Lösung:

Mittelwert (x̄) = ∑(f_ichX_ich)/∑(f_ich)

⇒ Mittelwert (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)

⇒ Mittelwert (μ) = 60/10 = 6

n = ∑(f_ich) = 1+3+5+1 = 10

Jetzt,

σ = √(∑ _ich ^N F _ich (X _ich - X) ² /N)

⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]

⇒ σ = √(3,6) = 1,897

Standard Derivation(σ) = 1.897

D _ich = x _ich - A

Die Formel für die Standardabweichung nach der Methode des angenommenen Mittelwerts lautet nun:

σ = √[(∑(f _ich D _ich ) ² /n) – (∑f _ich D _ich /N) ² ]

Wo,

• ' F „ist die Häufigkeit des Datenwerts x
• ' N „ist die Gesamtfrequenz [n = ∑(f _ich )]

Im nächsten Schritt Wir berechnen die Schrittabweichungen (d‘) mit

d’ = d/i

Wo ' ich „ist der gemeinsame Faktor aller“ D ' Werte

Dann, Die Standardabweichungsformel lautet:

σ = √[(∑(fd’) ² /n) – (�’/n) ² ] × i

Wo ' N „ist die Gesamtzahl der Datenwerte

Standardabweichung kontinuierlicher gruppierter Daten

Für die kontinuierlichen gruppierten Daten können wir die Standardabweichung mithilfe der Formeln für diskrete Daten leicht berechnen, indem wir jede Klasse durch ihren Mittelpunkt (als x) ersetzen_ich) und dann normalerweise die Formeln berechnen.

Der Mittelpunkt jeder Klasse wird anhand der Formel berechnet:

X _ich (Mittelpunkt) = (Obergrenze + Untergrenze)/2

Zum Beispiel, Berechnen Sie die Standardabweichung kontinuierlich gruppierter Daten gemäß der Tabelle.

Tatsächliche Mittelwertmethode

• Methode des angenommenen Mittelwerts
• Schrittabweichungsmethode

Wir können jede der oben genannten Methoden verwenden, um die Standardabweichung zu ermitteln. Hier ermitteln wir die Standardabweichung mithilfe der tatsächlichen Mittelwertmethode.

Die Lösung der obigen Frage lautet:

Mittelwert (x̄) = ∑(f_ichX_ich)/∑(f_ich)

⇒ Mittelwert (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)

⇒ Mittelwert (μ) = 240/10 = 24

n = ∑(f_ich) = 2+4+2+2 = 10

Jetzt,

σ = √(∑ _ich ^N F _ich (X _ich - X) ² /N)

⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]

⇒ σ = √(104) = 10.198

Standard Derivation(σ) = 10.198

In ähnlicher Weise können auch andere Methoden verwendet werden, um die Standardabweichung kontinuierlich gruppierter Daten zu ermitteln.

Überprüfen: Standardabweichung in einzelnen Serien

Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse ist im Allgemeinen gleich und wir führen viele Versuche durch, um die experimentelle Wahrscheinlichkeit des gegebenen Experiments zu ermitteln.

• Bei einer Normalverteilung beträgt der erwartete Mittelwert Null und die Standardabweichung 1.
• Für eine Binomialverteilung wird die Standardabweichung durch die Formel angegeben:

σ = √(npq)

Wo,

• N ist die Anzahl der Versuche
• P ist die Erfolgswahrscheinlichkeit des Prozesses
• Q ist die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns des Versuchs (q = 1 – p)

• Für eine Poisson-Verteilung ist die Standardabweichung gegeben durch

σ = √λt

Wo,

• l ist die durchschnittliche Anzahl an Erfolgen
• T ist ein gegebenes Zeitintervall

Standardabweichung zufälliger Variablen

Zufällige Variablen sind die Zahlenwerte, die den möglichen Ausgang des Zufallsexperiments im Probenraum bezeichnen. Die Berechnung der Standardabweichung der Zufallsvariablen gibt Aufschluss über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen und den Grad der Abweichung vom erwarteten Wert.

Wir gebrauchen X, Y und Z als Funktion zur Darstellung der Zufallsvariablen. Die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen wird mit P(X) und der Erwartungswert mit dem μ-Symbol bezeichnet.

Dann wird die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung mithilfe der Formel angegeben:

σ = √(∑ (x _ich - M) ² × P(X)/n)

Was ist Struktur in der Datenstruktur?

Mehr lesen,

• Bedeuten
• Modus
• Mittlere Abweichung

Beispiel für eine Standardabweichungsformel

Beispiel 1: Finden Sie die Standardabweichung der folgenden Daten:

Lösung:

Erstellen Sie zunächst die folgende Tabelle, damit wir die weiteren Werte einfach berechnen können.

Mittelwert (μ) = ∑(f _ich X _ich )/∑(f _ich )

⇒ Mittelwert (μ) = 91/8 = 11,375

σ = √(∑ _ich ^N F _ich (X _ich - M) ² /N)

⇒ σ = √[(121,87)/(8)]

⇒ σ = √(15.234)

⇒ σ = 3,90

Standard Derivation(σ) = 3.90

Lösung:

Klasse	Xi	Fich	f×Xi	Xi – μ	(Xi – μ)2	f×(Xich- M)2
0-10	5	3	fünfzehn	-fünfzehn	225	675 Java öffnet eine Datei
10-20	fünfzehn	6	90	-5	25	150
20-30	25	4	100	5	25	100
30-40	35	2	70	fünfzehn	225	450
40-50	Vier fünf	1	Vier fünf	25	625	625
Gesamt		16	320			2000

Mittelwert (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)

⇒ Mittelwert (μ) = 320/16 = 20

σ = √(∑ _ich ^N F _ich (X _ich - M) ² /N)

⇒ σ = √[(2000)/(16)]

⇒ σ = √(125)

⇒ σ = 11,18

Standard Derivation(σ) = 11.18

Überprüfen: Methoden zur Berechnung der Standardabweichung in diskreten Reihen

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Überprüfen Sie außerdem:

• Mittelwert, Median, Modus
• Zentrale Tendenz

Standardabweichungsformel Excel

• Einfache Berechnung: Nutzen Sie die integrierten Funktionen von ExcelSTDEV.P>für die gesamte Bevölkerung bzwSTDEV.S>für eine Probe.
• Schritt-für-Schritt-Anleitung: Geben Sie Ihren Datensatz in eine einzelne Spalte ein und geben Sie dann Folgendes ein=STDEV.S(A1:A10)>(ersetzen Sie A1:A10 durch Ihren Datenbereich) in einer neuen Zelle, um die Standardabweichung für eine Stichprobe zu erhalten.
• Visuelle Hilfsmittel: Nutzen Sie die Diagrammtools von Excel, um die Datenvariabilität neben der Standardabweichung visuell darzustellen.

Überprüfen: Methoden zur Berechnung der Standardabweichung in Häufigkeitsverteilungsreihen

Statistik der Standardabweichungsformel

• Kernkonzept: Die Standardabweichung misst das Ausmaß der Variation oder Streuung einer Reihe von Werten.
• Wichtige Erkenntnis: Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Werte tendenziell nahe am Mittelwert liegen, während eine hohe Standardabweichung darauf hinweist, dass die Werte über einen größeren Bereich verteilt sind.
• Statistische Signifikanz: Wird verwendet, um festzustellen, ob Unterschiede zwischen Gruppen auf Zufall zurückzuführen sind, insbesondere beim Testen von Hypothesen und bei der Analyse experimenteller Daten.

Fazit – Standardabweichung

Die Standardabweichung liefert wertvolle Informationen über die Variabilität oder Konsistenz innerhalb eines Datensatzes. Es wird in verschiedenen Bereichen, einschließlich Statistik, Finanzen und Wissenschaft, häufig verwendet, um die Verteilung von Daten zu verstehen und fundierte Entscheidungen auf der Grundlage des vorhandenen Variabilitätsgrads zu treffen.

FAQs zur Standardabweichung

Was ist die Standardabweichung in der Statistik?

Die Standardabweichung definiert die Volatilität der Datenwerte in Bezug auf den Mittelwert des gegebenen Datensatzes. Sie ist definiert als die Quadratwurzel des Quadrats des Mittelwerts der Abweichung.

Wie berechnet man die Standardabweichung?

Die Standardabweichung wird anhand der Formel berechnet:

σ =Warum wird die Standardabweichung verwendet?

Die Standardabweichung wird für verschiedene Zwecke verwendet. Einige ihrer wichtigen Verwendungszwecke sind:

• Es wird verwendet, um die Volatilität der Datenwerte in Bezug auf den Mittelwert zu ermitteln.
• Es wird verwendet, um den Abweichungsbereich der Daten zu ermitteln.
• Es sagt die maximale Volatilität des gegebenen Werts des Datensatzes voraus.

Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Varianz?

Die Varianz wird berechnet, indem der Durchschnitt der quadratischen Abweichung vom Mittelwert gebildet wird, während die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz ist. Der andere Unterschied zwischen ihnen liegt in ihrer Einheit. Die Standardabweichung wird in denselben Einheiten wie die Originalwerte ausgedrückt, während die Varianz in Einheiten ausgedrückt wird².

Tatsächliche Mittelwertmethode

Methode des angenommenen Mittelwerts

Schrittabweichungsmethode

Kann die Standardabweichung negativ sein?

Nein, die Standardabweichung kann niemals negativ sein, da wir in der Formel sehen können, dass alle Terme, die negativ sein können, quadriert werden.

Was ist die Standardabweichung anhand von Beispielen erklären?

Die Standardabweichung ist das Maß für die Variation oder Streuung der gegebenen Werte des Datensatzes.

Beispiel: Den Mittelwert von 1, 2, 3 und 4 ermitteln

Mittelwert der Daten = 13/4 = 3,25

Standardabweichung = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43

Was ist die Formel für die Standardabweichung?

Die Standardabweichungsformel lautet:

Standard Deviation (σ) = √[ Σ(x – μ) ² / N]

Wann beträgt die Standardabweichung 1?

Die Standardabweichung mit 1 und Mittelwert 0 wird als Standardnormalverteilung bezeichnet.

Was ist die Standardabweichung der ersten 10 natürlichen Zahlen?

Die Standardabweichung der ersten 10 natürlichen Zahlen beträgt 2,87

Was ist die Standardabweichung von 40, 42 und 48?

Die Standardabweichung von 40, 42 und 48 beträgt 3,399

Was sagt Ihnen die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Normalverteilung. Die Standardabweichung gibt uns die Streuung des Datensatzes um den Mittelwert des Datensatzes an.