Pascals Dreieck ist ein numerisches Muster, das in Dreiecksform angeordnet ist. Dieses Dreieck liefert die Koeffizienten für die Entwicklung jedes Binomialausdrucks, wobei die Zahlen so organisiert sind, dass sie eine Dreiecksform bilden. d.h. die zweite Zeile im Pascalschen Dreieck repräsentiert die Koeffizienten in (x+y)²und so weiter.

Im Pascalschen Dreieck ist jede Zahl die Summe der beiden oben genannten Zahlen. Das Pascalsche Dreieck hat verschiedene Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik, Algebra und verschiedenen anderen Bereichen der Mathematik.

Lassen Sie uns mehr darüber erfahren Das Pascalsche Dreieck, seine Konstruktion und verschiedene Muster im Pascalschen Dreieck im Detail in diesem Artikel.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Pascals Dreieck?
• Was ist Pascals Dreieck?
• Pascals Dreiecksdefinition
• Pascals Dreieckskonstruktion
• Pascals Dreiecksformel
• Binomiale Erweiterung des Pascalschen Dreiecks
• Wie nutzt man das Pascalsche Dreieck?
• Pascals Dreiecksmuster
• Hinzufügen von Zeilen
• Primzahlen im Pascalschen Dreieck
• Diagonalen im Pascalschen Dreieck
• Fibonacci-Folge im Pascalschen Dreieck
• Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks
• Beispiele für Pascals Dreiecke

Was ist Pascals Dreieck?

Es ist nach dem berühmten Philosophen und Mathematiker Balise „Pascal“ benannt, der ein Zahlenmuster entwickelt hat, das mit 1 beginnt und dessen Zahlen die Summe der oben genannten Zahlen darstellen. Schreiben Sie zunächst die Zahl 1 auf, um mit der Erstellung des Pascalschen Dreiecks zu beginnen. Die zweite Zeile wird wiederum mit zwei Einsen notiert. Weitere Zeilen werden unter Verwendung der vorherigen Zeilen generiert, um ein Zahlendreieck zu bilden. Jede Reihe beginnt und endet mit einer 1.

Eine Grundstruktur des Pascal-Dreiecks ist im unten hinzugefügten Bild dargestellt.

Was ist Pascals Dreieck?

Wir definieren das Pascal-Dreieck als die Grundmenge von Zahlen, die in einer dreieckigen Anordnung angeordnet sind, sodass jedes Element im Pascal-Dreieck die Summe der beiden darüber liegenden Zahlen ist. Das Pascalsche Dreieck beginnt mit 1 und wurde erstmals vom berühmten französischen Mathematiker Balise Pascal vorgeschlagen und daher Pascalsches Dreieck genannt.

Dieses Dreieck stellt die Koeffizienten der Binomialentwicklung für verschiedene Potenzen dar. (Wir müssen sicherstellen, dass die Potenz in der Binomialentwicklung nur eine natürliche Zahl ist, dann repräsentiert nur das Pascalsche Dreieck die Koeffizienten in der Binomialentwicklung).

Pascals Dreiecksdefinition

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Zahlenanordnung, bei der jede Zahl die Summe der beiden direkt darüber liegenden Zahlen ist.

Pascals Dreieckskonstruktion

Wir können das Dreieck von Pad=scal einfach konstruieren, indem wir einfach die beiden Zahlen der obigen Zeile addieren, um die nächste Zahl in der Zeile darunter zu erhalten. Wir können davon ausgehen, dass die nullte Zeile mit einem einzelnen Element 1 beginnt und dann das Element in der zweiten Zeile 1 1 ist, das durch Addition von 1+0 und 1+0 gebildet wird. In ähnlicher Weise sind die Elemente in der zweiten Reihe 1 2 1 2, die durch Addition von 1+0, 1+1 und 1+0 gebildet werden, und so werden die Elemente in der dritten Reihe erhalten. Wenn wir dieses Konzept auf die n-te Reihe erweitern, erhalten wir ein Pascal-Dreieck mit n+1 Reihen.

Das Pascalsche Dreieck bis zur 3. Reihe ist im Bild unten dargestellt.

Aus der obigen Abbildung können wir leicht erkennen, dass das erste und das letzte Element in jeder Zeile 1 sind.

Pascals Dreiecksformel

Die Pascal-Dreiecksformel ist die Formel, mit der die Zahl ermittelt wird, die in die m-te Spalte und die n-te Zeile eingefügt werden soll. Wie wir wissen, sind die Terme im Pascalschen Dreieck die Summe der Terme in der obigen Zeile. Wir benötigen also die Elemente in der (n-1)-ten Zeile sowie in der (m-1)-ten und n-ten Spalte, um die erforderliche Anzahl in der m-ten Spalte und der n-ten Zeile zu erhalten.

Lesen Sie im Detail: Pascals Dreiecksformel

Gegeben sind die Elemente der n-ten Reihe des Pascalschen Dreiecks:^NC₀,^NC₁,^NC₂, …,^NC_N.

Die Formel zum Finden einer beliebigen Zahl im Pascalschen Dreieck lautet:

^N Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _M

Wo,

• ^N C _M stellt das (m+1)-te Element in der n-ten Zeile dar. und
• N ist eine nicht negative ganze Zahl [0 ≤ m ≤ n]

Wir können diese Formel anhand des unten diskutierten Beispiels verstehen:

Beispiel: Finden Sie das dritte Element in der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks.

Lösung:

Wir müssen das 3. Element in der 3. Reihe des Pascalschen Dreiecks finden.

Die Pascal-Dreiecksformel lautet:

^NC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

Wo^NC_krepräsentieren (k+1)^ThElement in n^ThReihe.

Somit ist das 3. Element in der 3. Reihe:

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Somit ist das dritte Element in der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks 3.

Binomiale Erweiterung des Pascalschen Dreiecks

Wir können den Koeffizienten leicht ermitteln Binomialentwicklung unter Verwendung des Pascalschen Dreiecks. Die Elemente in der (n+1)-ten Zeile des Pascal-Dreiecks stellen den Koeffizienten des erweiterten Ausdrucks des Polynoms (x + y) dar.^N.

Wir wissen, dass die Entwicklung von (x + y)^NIst,

(x + y)^N= a₀X^N+ a₁X^n-1und + a₂X^n-2Und²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_NUnd^N

Länge eines Strings in Java

Hier ein₀, A₁, A₂, A₃, …., A_Nsind der Term in der (n+1)-ten Reihe des Pascalschen Dreiecks

Siehe zum Beispiel die Entwicklung von (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³und +⁴C₂X²Und²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰Und⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²Und²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Hier sind die Koeffizienten 1, 4, 6, 4 und 1 die Elemente der vierten Reihe des Pascalschen Dreiecks

Wie nutzt man das Pascalsche Dreieck?

Wir verwenden das Pascal-Dreieck, um die verschiedenen Fälle der möglichen Ergebnisse in Wahrscheinlichkeitsbedingungen zu finden. Dies kann anhand des folgenden Beispiels verstanden werden: Wenn wir eine Münze einmal werfen, erhalten wir zwei Ergebnisse, d. h. H und T. Dies wird durch das Element in der ersten Reihe des Pascalschen Dreiecks dargestellt.

Wenn wir eine Münze zweimal werfen, erhalten wir auf ähnliche Weise drei Ergebnisse, nämlich {H, H}, {H, T}, {T, H} und {T, T}. Diese Bedingung wird durch das Element in der zweiten Reihe des Pascalschen Dreiecks dargestellt.

Daher können wir die mögliche Anzahl der Ergebnisse beim Münzwurfexperiment leicht ermitteln, indem wir einfach die entsprechenden Elemente im Pascal-Dreieck beobachten.

Java-Auswahlsortierung

Die folgende Tabelle informiert uns über die Fälle, in denen eine Münze einmal, zweimal, dreimal und viermal geworfen wird, und über die Übereinstimmung mit dem Pascalschen Dreieck

Pascals Dreiecksmuster

Wir beobachten verschiedene Muster im Pascalschen Dreieck:

• Hinzufügen von Zeilen
• Primzahlen im Dreieck
• Diagonalen im Pascalschen Dreieck
• Fibonacci-Muster

Hinzufügen von Zeilen

Wenn wir das Pascalsche Dreieck genau betrachten, können wir daraus schließen, dass die Summe jeder Zeile im Pascalschen Dreieck einer Potenz von 2 entspricht. Die Formel dafür lautet: Für jedes (n+1)^ThIn der Zeile des Pascalschen Dreiecks beträgt die Summe aller Elemente 2^N

Wenn wir diese Formel auf die ersten vier Reihen des Pascalschen Dreiecks anwenden, erhalten wir:

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Primzahlen im Pascalschen Dreieck

Ein weiteres sehr interessantes Muster im Pascals-Dreieck besteht darin, dass, wenn eine Zeile mit einer Primzahl beginnt (wobei 1 am Anfang jeder Zeile vernachlässigt wird), alle Elemente in dieser Zeile durch diese Primzahl teilbar sind. Dieses Muster gilt nicht für die zusammengesetzten Zahlen.

Die achte Zeile im Pascal-Dreieck lautet beispielsweise:

1 7 21 35 35 21 7 1

Hier sind alle Elemente durch 7 teilbar.

Für Zeilen, die mit zusammengesetzten Zahlen beginnen, z. B. die fünfte Zeile,

1 4 6 4 1

Das Muster trifft nicht zu, da 4 nicht 6 teilt.

Diagonalen im Pascalschen Dreieck

Jede rechte Diagonale des Pascalschen Dreiecks stellt, wenn sie als Folge betrachtet wird, die verschiedenen Zahlen dar, z. B. die erste rechte Diagonale stellt eine Folge der Zahl 1 dar, die zweite rechte Diagonale stellt Dreieckszahlen dar, die dritte rechte Diagonale stellt die tetraedrischen Zahlen dar, die vierte rechte Diagonale stellt die tetraedrischen Zahlen dar repräsentiert die Penelope-Zahlen und so weiter.

np.mean

Fibonacci-Folge im Pascalschen Dreieck

Wir können die Fibonacci-Folge leicht erhalten, indem wir einfach die Zahlen in den Diagonalen des Pascalschen Dreiecks addieren. Dieses Muster ist im unten hinzugefügten Bild dargestellt.

Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks

Verschiedene Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks sind:

• Jede Zahl im Pascal-Dreieck ist die Summe der darüber liegenden Zahl.
• Die Anfangs- und Endzahl im Pascalschen Dreieck sind immer 1.
• Die erste Diagonale im Pascalschen Dreieck stellt die natürliche Zahl oder Zählzahlen dar.
• Die Summe der Elemente in jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks wird durch eine Potenz von 2 angegeben.
• Elemente in jeder Zeile sind die Ziffern der Zehnerpotenz.
• Das Pascal-Dreieck ist ein symmetrisches Dreieck.
• Die Elemente in jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks können zur Darstellung der Koeffizienten der Binomialentwicklung verwendet werden.
• Entlang der Diagonale des Pascalschen Dreiecks beobachten wir die Fibonacci-Zahlen.

Artikel zum Pascalschen Dreieck:

• Binomialsatz
• Binomiale Zufallsvariablen und Binomialverteilung

Beispiele für Pascals Dreiecke

Beispiel 1: Finden Sie die fünfte Reihe des Pascalschen Dreiecks.

Lösung:

Das Pascal-Dreieck mit 5 Reihen ist im Bild unten dargestellt.

Beispiel 2: Erweitern mit dem Pascal-Dreieck (a + b) ² .

Lösung:

Schreiben Sie zunächst die generischen Ausdrücke ohne die Koeffizienten.

(a + b)²= c₀A²B⁰+ c₁A¹B¹+ c₂A⁰B²

Lassen Sie uns nun ein Pascal-Dreieck für drei Zeilen erstellen, um die Koeffizienten herauszufinden.

Die Werte der letzten Zeile geben uns den Wert der Koeffizienten.

C₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²B⁰+ 2a¹B¹+ a⁰B²

Somit verifiziert.

Beispiel 3: Erweitern Sie mit dem Pascal-Dreieck (a + b) ⁶ .

Lösung:

Schreiben Sie zunächst die generischen Ausdrücke ohne die Koeffizienten.

(a + b)⁶= c₀A⁶B⁰+ c₁A⁵B¹+ c₂A⁴B²+ c₃A³B³+ c₄A²B⁴+ c₅A¹B⁵+ c₆A⁰B⁶

Lassen Sie uns nun ein Pascal-Dreieck für 7 Zeilen erstellen, um die Koeffizienten herauszufinden.

Die Werte der letzten Zeile geben uns den Wert der Koeffizienten.

C₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 und c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶B⁰+ 6a⁵B¹+ 15a⁴B²+ 20a³B³+ 15a²B⁴+ 6a¹B⁵+ 1a⁰B⁶

Beispiel 4: Finden Sie das zweite Element in der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks.

Lösung:

Wir müssen das 2. Element in der 3. Reihe des Pascalschen Dreiecks finden.

Wir wissen, dass die n-te Reihe des Pascalschen Dreiecks ist^NC₀,^NC₁,^NC₂,^NC_3…

Zeichenfolge vergleichen mit

Die Pascal-Dreiecksformel lautet:

^NC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

Wo^NC_krepräsentieren (k+1)^ThElement in n^ThReihe.

Somit ist das 2. Element in der 3. Reihe:

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Somit ist das zweite Element in der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks 3.

Beispiel 5: Eine Münze wird viermal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Mal „Zahl“ zu erhalten.

Lösung:

Mit der Pascalschen Dreiecksformel

Gesamtzahl der Ergebnisse = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Hier erhalten wir vier Fälle, in denen wir zwei Zahlen erhalten,

Daher,

Wahrscheinlichkeit, zwei Schwänze zu erhalten = günstiges Ergebnis/Gesamtergebnis

= 4/16 = 1/4

Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Zahlen zu bekommen, beträgt also 1/4 oder 25 %

Zusammenfassung – Pascals Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Anordnung von Zahlen, wobei jede Zahl die Summe der beiden Zahlen direkt darüber ist. Dieses nach dem Mathematiker Blaise Pascal benannte Dreieck beginnt mit einer einzelnen 1 oben und jede Zeile beginnt und endet mit 1. Die Zahlen im Pascal-Dreieck entsprechen den Koeffizienten in der Binomialentwicklung, was es in der Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. nützlich macht Kombinatorik. Zu den Mustern innerhalb des Dreiecks gehören Reihensummen als Zweierpotenzen, Verbindungen zur Fibonacci-Folge und das Vorhandensein von Primzahlen. Das Pascalsche Dreieck ist auch hilfreich bei der Berechnung von Kombinationen und beim Verständnis der Ergebnisse von Wahrscheinlichkeitsexperimenten wie Münzwürfen.

FAQs zum Pascalschen Dreieck

Was ist Pascals Dreieck?

Die vom berühmten Mathematiker Balise Pascal vorgeschlagene Dreiecksanordnung der Zahl wird Pascal-Dreieck genannt. Dieses Dreieck beginnt mit 1 und in der nächsten Zeile werden die Anfangs- und Endzahlen auf 1 festgelegt. Anschließend wird die mittlere Zahl durch Bildung der Summe der beiden oben genannten Zahlen generiert.

Wozu dient das Pascalsche Dreieck?

Pascals Dreiecke haben verschiedene Verwendungsmöglichkeiten,

• Es wird verwendet, um den Binomialkoeffizienten der Binomialentwicklung zu ermitteln.
• Es bietet eine alternative Möglichkeit zur Erweiterung der Binomialterme.
• Es wird in der Algebra, Wahrscheinlichkeitstheorie, Permutation und Kombination sowie in anderen Bereichen der Mathematik verwendet.

Welchen Nutzen hat das Pascalsche Dreieck bei der Binomialentwicklung?

Wir verwenden das Pascalsche Dreieck, um den Koeffizienten eines beliebigen Termes in der Binomialentwicklung leicht zu ermitteln. Jede Zeile des Pascalschen Dreiecks (z. B. n-te) stellt den Koeffizienten der Binomialentwicklung von (x+y) dar.^N. Die zweite Reihe des Pascalschen Dreiecks lautet beispielsweise 1 2 1 und die Entwicklung von (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Hier beträgt der Koeffizient jedes Termes 1 2 1, was der 2. Reihe des Pascalschen Dreiecks ähnelt.

Welche verschiedenen Muster finden sich im Pascalschen Dreieck?

Verschiedene Muster, die wir leicht im Pascalschen Dreieck finden konnten, sind:

• Dreieckiges Muster
• Ungerades und gerades Muster
• Fibonacci-Muster
• Symmetrisches Muster

Was ist die 5^ThReihe des Pascalschen Dreiecks?

Die fünfte Reihe des Pascalschen Dreiecks ist unten dargestellt:

1 5 10 10 5 1

Wir wissen, dass die Summe aller Elemente in einer beliebigen Zeile mit 2 angegeben wird^Nwobei n die Anzahl der Zeilen darstellt. Somit ist die Summe aller Terme in der 5. Zeile:

2⁵= 32

Was ist das erste Element jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks?

Das erste Element jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks ist 1. Wir nennen diesen Term den 0. Term der Zeile.