logo

TechCodeview

Arithmetische Progression

Die arithmetische Folge, auch bekannt als A.P., ist eine Folge in der Mathematik, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen eine Konstante ist. Die Konstante wird als gemeinsame Differenz bezeichnet. Die arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlen der Reihe nach, bei der die Differenz zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen ein konstanter Wert ist.

In diesem Artikel lernen wir die Definition der arithmetischen Progression, arithmetische Progressionsformeln, verwandte Beispiele und andere im Detail kennen.

Was macht Ravel in Python?

Inhaltsverzeichnis



Was ist arithmetische Progression?

Arithmetische Progression (AP) ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ein konstanter Wert ist. Mit anderen Worten, die arithmetische Folge kann definiert werden als: Eine mathematische Folge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen immer eine Konstante ist.

Arithmetische Progression

Beispielsweise befinden sich die Zahlenreihen 1, 2, 3, 4, 5, 6,… in der arithmetischen Progression, die eine gemeinsame Differenz (d) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen (z. B. 1 und 2) von 1 (2 – 1). Man erkennt einen gemeinsamen Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen, selbst für ungerade Zahlen und für gerade Zahlen, denen 2 entspricht. In AP gibt es drei Hauptbegriffe: Gemeinsamer Unterschied (d), n-ter Begriff (aN) und Summe der ersten n Terme (SN); Alle drei Begriffe repräsentieren die Eigenschaften von AP. Werfen wir einen Blick darauf, was der gemeinsame Unterschied im Detail ist.

Wir stoßen in AP auf verschiedene Wörter wie Sequenz, Serie und Progression; Sehen wir uns nun an, was jedes Wort definiert.

  • Reihenfolge ist eine endliche oder unendliche Liste von Zahlen, die einem bestimmten Muster folgt. Beispielsweise ist 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... die Folge, die eine unendliche Folge ganzer Zahlen ist.
  • Serie ist die Summe der Elemente, denen die Sequenz entspricht. Zum Beispiel 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. ist die Reihe der natürlichen Zahlen. Jede Zahl in einer Folge oder Reihe wird als Term bezeichnet. Hier ist 1 ein Begriff, 2 ist ein Begriff, 3 ist ein Begriff usw.
  • Fortschreiten ist eine Folge, in der der allgemeine Begriff mithilfe einer mathematischen Formel ausgedrückt werden kann, oder die Folge, die eine mathematische Formel verwendet, die als Progression definiert werden kann.

Notiz: Es gibt im Wesentlichen drei Arten des Fortschritts:

  1. Arithmetische Progression (AP)
  2. Geometrischer Fortschritt (Hausarzt)
  3. Harmonische Progression (HP)

Notationen in der arithmetischen Progression

In der arithmetischen Folge werden wir auf folgende Notationen stoßen:

  • Erste Amtszeit ⇢ A
  • Gemeinsamer Unterschied ⇢ D
  • N. Semester ⇢ A N
  • Summe der ersten n Terme ⇢ S N

Die allgemeine Form der arithmetischen Folge ist a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Hier sind einige Beispiele für AP:

  • 6, 13, 20, 27, 34,41,…
  • 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
  • p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
  • -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Gemeinsamer Unterschied der arithmetischen Progression

Gemeinsamer Unterschied wird in der arithmetischen Folge mit d bezeichnet. Es ist der Unterschied zwischen dem nächsten Semester und dem davor. Für die arithmetische Folge ist sie immer konstant oder gleich. Mit einem Wort: Wenn die gemeinsame Differenz in einer bestimmten Folge konstant ist, können wir sagen, dass dies A.P. ist. Wenn die Folge a ist1,A2, A3, A4, und so weiter.

Mit anderen Worten wird der gemeinsame Unterschied in der arithmetischen Folge mit d bezeichnet. Der Unterschied zwischen dem nachfolgenden Begriff und seinem vorhergehenden Begriff. Für die arithmetische Folge ist sie immer konstant oder gleich. Mit anderen Worten können wir sagen: Wenn in einer gegebenen Folge die gemeinsame Differenz konstant oder gleich ist, dann können wir sagen, dass die gegebene Folge in ist Arithmetische Progression (AP).

Die Formel zur Ermittlung des gemeinsamen Unterschieds lautet:

d = (a n + 1 - A N ) = (ein N - A n-1 )

  • Wenn die gemeinsame Differenz positiv ist, dann AP erhöht sich . Zum Beispiel 4, 8, 12, 16 … in diesen Serien erhöhen sich die AP
  • Wenn die gemeinsame Differenz negativ ist, dann AP nimmt ab . Zum Beispiel -4, -6, -8…, hier nimmt AP ab.
  • Wenn die gemeinsame Differenz Null ist, dann AP wird konstant sein . Zum Beispiel 1, 2, 3, 4, 5…, hier ist AP konstant.

Die Reihenfolge der arithmetischen Progression wird wie folgt sein: 1 , A 2 , A 3 , A 4 ,…

Gemeinsamer Unterschied (d) = A 2 - A 1 = d

A 3 - A 2 = d

A 4 - A 3 = d und so weiter.

Erster Term der arithmetischen Progression

Die arithmetische Progression kann in Form der gemeinsamen Differenz (d) wie folgt geschrieben werden:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

Wo,

  • a ist der erste Begriff von AP
  • d ist der gemeinsame Unterschied von AP

N. Term der arithmetischen Progression

Der n-te Term kann mithilfe der unten genannten Formel ermittelt werden:

T N = a + (n − 1)d

Wo,

  • a ist der erste Term von AP
  • d ist der gemeinsame Unterschied
  • n ist die Anzahl der Terme
  • TNist das n-te Semester
N-Term einer arithmetischen Folge

N. Term der arithmetischen Progression

Notiz: Das Verhalten einer arithmetischen Folge basiert auf dem Wert einer gemeinsamen Differenz.

  • Wenn d positiv ist, erhöhen sich die Terme auf positiv unendlich.
  • Wenn d negativ ist, erhöhen sich die Terme der Mitglieder auf negativ unendlich

Summe der arithmetischen Progression

Arithmetische Progressionssummenformel wird unten erklärt; Betrachten Sie einen AP, der aus n Termen besteht.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

sonniges Deol

Summe der arithmetischen Folge, wenn der erste und letzte Term angegeben sind,

S = n/2 (erster Term von AP + letzter Term von AP)

S = N/2[a+ a N ]

Arithmetische Progressionsformel (AP-Formeln)

Für einen AP mit dem ersten Term „a“ und der gemeinsamen Differenz „d“ lauten die verschiedenen Formeln:

  • Gemeinsamer Unterschied von AP: d = a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = a 4 - A 3 = … = a N - A n-1
  • n. Amtszeit von AP: A N = a + (n – 1)d
  • Summe der n Terme von AP: S N = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , wobei l der letzte Term der arithmetischen Folge ist.

Zusammenfassung der arithmetischen Progression

  • Die arithmetische Progression (AP) ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen ein konstanter Wert ist. Zum Beispiel die Zahlenreihe: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
  • Die allgemeine Form der arithmetischen Folge ist a, a + d, a + 2d, a + 3d …
  • Die Formel für das n-te Glied der arithmetischen Folge lautet A N = a + (n – 1)d
  • Die Summe der ersten n Terme oder die arithmetische Summenformel ist S N = n/2[2a + (n – 1) d] , S N = n/2[a + a N ]

Artikel zur arithmetischen Progression:

  • Summationsformel
  • Summe natürlicher Zahlen
  • Arithmetische Progression und geometrische Progression

Beispiele für arithmetische Progressionen

Beispiel 1: Finden Sie den AP, wenn der erste Term 15 ist und die gemeinsame Differenz 4 beträgt.

Lösung:

Wie wir wissen,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Hier ist a = 15 und d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … und so weiter.

So ist es beim AP 15, 19, 23, 27, 31…

Linux-Architektur

Beispiel 2: Finden Sie den 20. Term für den gegebenen AP: 3, 5, 7, 9, …

Lösung:

Gegeben, 3, 5, 7, 9, 11……

Hier,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

AN= a + (n − 1)d

Azwanzig= 3 + (20− 1)2

Azwanzig= 3 + 38

Azwanzig= 41

Hier ist das 20. Semester einzwanzig= 41

Beispiel 3: Ermitteln Sie die Summe der ersten 20 Vielfachen von 5.

Lösung:

Die ersten 20 Vielfachen von 5 sind 5, 10, 15, … 100.

Hier wird deutlich, dass es sich bei der gebildeten Folge um eine arithmetische Folge handelt, bei der

a = 5, d = 5, aN= 100, n = 20.

SN= n/2 [2a + (n − 1) d]

SN= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

SN= 10 [10 + 95]

SN= 1050

Übungsfragen zur arithmetischen Progression

Q1. Die Summe der ersten nn Terme einer arithmetischen Folge ist durch S gegeben N = 3n 2 + 2n. Finden Sie den gemeinsamen Unterschied und den ersten Term.

Q2. Der erste Term einer arithmetischen Folge ist 7 und der 11. Term ist 31. Ermitteln Sie die Summe der ersten 11 Terme.

Q3. In einer arithmetischen Folge beträgt die Summe der ersten 10 Terme 150 und die Summe der nächsten 10 Terme 550. Finden Sie den ersten Term und die gemeinsame Differenz.

Q4. Wenn der 4. Term einer arithmetischen Folge 10 und der 9. Term 25 ist, finden Sie den 15. Term.

F5. Eine arithmetische Folge hat eine gemeinsame Differenz von 5. Wenn der 6. Term 22 ist, ermitteln Sie den ersten Term und die Summe der ersten 12 Terme.

FAQs zur arithmetischen Progression

Was ist eine arithmetische Progression mit einem Beispiel?

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der zwei aufeinanderfolgende Terme einen gemeinsamen Unterschied aufweisen. Zum Beispiel: 3, 6, 9, 12, 15,…

Wie ermittelt man die Summe der arithmetischen Progression?

Um die arithmetische Progressionssumme zu ermitteln, können basierend auf den bereitgestellten Informationen die folgenden Formeln verwendet werden:

Algorithmus der binären Suche

S = n/2 (erster Term von AP + letzter Term von AP) = n/2[a+ a N ]

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer Progression und arithmetischer Reihe?

Die arithmetische Progression ist die Anzahl der Folgen innerhalb eines beliebigen Bereichs, die einen gemeinsamen Unterschied ergeben. Die arithmetische Reihe/Folge hingegen ist die Summe aller in der arithmetischen Folge vorhandenen Terme.

Wie lautet die Formel für AP und GP?

Die Formel für AP und GP lautet:

  • AP: A N = a + (n – 1).d
  • Hausarzt: A N = a.r

Was nützt die arithmetische Folge?

Die arithmetische Folge ist die Reihe, die eine gemeinsame Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen ergibt. Es wird im täglichen Leben verwendet, um eine Reihe von Mustern zu verallgemeinern. Wenn Sie beispielsweise auf einen Bus warten, nehmen Sie an, dass die Busse mit konstanter Geschwindigkeit fahren. Mithilfe von AP können Sie dann feststellen, wann der Bus ankommt. AP kann auch zur Herstellung von Pyramidenstrukturen usw. verwendet werden.