Rang einer Matrix ist definiert als die Dimension des durch seine Spalten gebildeten Vektorraums. Rang einer Matrix ist ein sehr wichtiges Konzept auf dem Gebiet der linearen Algebra, da es uns hilft zu wissen, ob wir eine Lösung für das Gleichungssystem finden können oder nicht. Der Rang einer Matrix hilft uns auch, die Dimensionalität ihres Vektorraums zu kennen.

In diesem Artikel wird das Konzept des Rangs einer Matrix im Detail untersucht, einschließlich seiner Definition, wie der Rang der Matrix berechnet wird, sowie eine Nullität und ihre Beziehung zum Rang. Wir werden auch lernen, wie man einige Probleme basierend auf dem Rang einer Matrix löst. Beginnen wir also zunächst mit der Definition des Rangs der Matrix.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist der Rang einer Matrix?
• Wie berechnet man den Rang einer Matrix?
• Eigenschaften des Matrixrangs
• Beispiele für den Rang einer Matrix
• FAQs

Was ist der Rang einer Matrix?

Der Rang einer Matrix ist ein grundlegendes Konzept der linearen Algebra, das die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten in einer Matrix misst. Mit anderen Worten: Sie erfahren, wie viele Zeilen oder Spalten einer Matrix nicht nützlich sind und zur Gesamtinformation oder Dimensionalität der Matrix beitragen. Definieren wir den Rang einer Matrix.

Rang einer Matrixdefinition

Der Rang einer Matrix ist definiert als die Anzahl linear unabhängiger Zeilen in a Matrix .

Entität relational

Es wird mit ρ(A) bezeichnet, wobei A eine beliebige Matrix ist. Somit stellt die Anzahl der Zeilen einer Matrix eine Grenze für den Rang der Matrix dar, was bedeutet, dass der Rang der Matrix die Gesamtzahl der Zeilen in einer Matrix nicht überschreiten kann.

Wenn eine Matrix beispielsweise die Größenordnung 3×3 hat, kann der maximale Rang einer Matrix 3 sein.

Notiz: Wenn eine Matrix alle Zeilen mit null Elementen hat, dann wird der Rang einer Matrix als Null bezeichnet.

Nichtigkeit der Matrix

In einer gegebenen Matrix wird die Anzahl der Vektoren im Nullraum als Nullheit der Matrix bezeichnet oder kann auch als Dimension des Nullraums der gegebenen Matrix definiert werden.

Gesamtzahl der Spalten in einer Matrix = Rang + Nullität

Lesen Sie mehr über Rangnullheitssatz .

Wie berechnet man den Rang einer Matrix?

Es gibt drei Methoden, mit denen der Rang einer beliebigen Matrix ermittelt werden kann. Diese Methoden sind wie folgt:

• Nebenmethode
• Verwendung des Echelon-Formulars
• Verwendung der Normalform

Lassen Sie uns diese Methoden im Detail besprechen.

Nebenmethode

Voraussetzung: Minderjährige von Matrix

Um den Rang einer Matrix mithilfe der Nebenmethode zu ermitteln, werden die folgenden Schritte ausgeführt:

• Berechnen Sie die Determinante der Matrix (sagen wir A). Wenn det(A) ≠ 0, dann ist der Rang der Matrix A = der Rang der Matrix A.
• Wenn det(A) = 0, dann ist der Rang der Matrix gleich der Ordnung des maximal möglichen Nebenwerts ungleich Null der Matrix.

Lassen Sie uns verstehen, wie man den Rang einer Matrix mithilfe der Nebenmethode ermittelt.

Beispiel: Ermitteln Sie den Rang einer Matrix egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} mit der Moll-Methode.

GegebenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Schritt 1: Berechnen Sie die Determinante von A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = Ordnung von A = 3

Verwendung des Echelon-Formulars

Die Minor-Methode wird sehr mühsam, wenn die Ordnung der Matrix sehr groß ist. In diesem Fall konvertieren wir die Matrix in die Echelon-Form. Eine Matrix, die in ist obere Dreiecksform oder untere Dreiecksform gilt als in Echelon-Form vorliegend. Eine Matrix kann mithilfe von in ihre Echelon-Form umgewandelt werden elementare Zeilenoperationen . Um den Rang einer Matrix mithilfe der Echelon-Form zu berechnen, werden die folgenden Schritte befolgt:

• Wandeln Sie die gegebene Matrix in ihre Echelon-Form um.
• Die Anzahl der Zeilen ungleich Null, die in der Echelon-Form der Matrix erhalten werden, ist der Rang der Matrix.

Lassen Sie uns verstehen, wie man den Rang einer Matrix mithilfe der Nebenmethode ermittelt.

Beispiel: Ermitteln Sie den Rang einer Matrix egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} unter Verwendung der Echelon-Formularmethode.

GegebenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Schritt 1: Konvertieren Sie A in die Staffelform

Wenden Sie R an₂= R₂– 4R₁

Wenden Sie R an₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da Matrix A jetzt in der unteren Dreiecksform vorliegt, liegt sie in der Echelon-Form vor.

• Schritt 2: Anzahl der Zeilen ungleich Null in A = 2. Somit ist ρ(A) = 2

Verwendung der Normalform

Eine Matrix liegt dann in Normalform vor, wenn sie auf die Normalform reduziert werden kann egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Hier ich_Rstellt die Identitätsmatrix der Ordnung r dar. Wenn eine Matrix in ihre Normalform umgewandelt werden kann, wird der Rang der Matrix als r bezeichnet.

Lassen Sie uns verstehen, wie man den Rang einer Matrix mithilfe der Nebenmethode ermittelt.

Beispiel: Ermitteln Sie den Rang einer Matrix old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} unter Verwendung der Normalformmethode.

Stehen

GegebenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₂= R₂- R₁, R₃= R₃– 2R₁und R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₁= R₁– 2R₂und R₄= R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₁= R₁+ R₃und R₂= R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie C an₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Somit kann A geschrieben werden als egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Somit ist ρ(A) = 3

Eigenschaften des Matrixrangs

Die Rangeigenschaften der Matrix lauten wie folgt:

• Der Rang einer Matrix ist gleich der Ordnung der Matrix, wenn es sich um eine nicht singuläre Matrix handelt.
• Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen ungleich Null, wenn sie in Echelon-Form vorliegt.
• Der Rang der Matrix entspricht der Ordnung der darin enthaltenen Identitätsmatrix, wenn sie in Normalform vorliegt.
• Rang der Matrix
• Rang der Matrix
• Der Rang der Identitätsmatrix entspricht der Ordnung der Identitätsmatrix.
• Der Rang einer Nullmatrix oder einer Nullmatrix ist Null.

Mehr lesen,

• Arten von Matrizen
• Transponieren einer Matrix
• Umkehrung der Matrix

Beispiele für den Rang einer Matrix

UND Beispiel 1: Ermitteln Sie den Rang der Matrix old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} mit der Moll-Methode.

Lösung:

GegebenA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Schritt 1: Berechnen Sie die Determinante von A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = Ordnung von A = 3

Beispiel 2. Ermitteln Sie den Rang einer Matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} mit der Moll-Methode.

Lösung:

GegebenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Schritt 1: Berechnen Sie die Determinante von A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = Ordnung von A = 3

Beispiel 3. Ermitteln Sie den Rang einer Matrix old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} unter Verwendung der Echelon-Formularmethode.

string zu int java

Lösung:

GegebenA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Schritt 1: Konvertieren Sie A in die Staffelform

Wenden Sie R an₂= R₂– 4R₁

Wenden Sie R an₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da Matrix A jetzt in der unteren Dreiecksform vorliegt, liegt sie in der Echelon-Form vor.

Schritt 2: Anzahl der Zeilen ungleich Null in A = 2. Somit ist ρ(A) = 2

Beispiel 4. Ermitteln Sie den Rang einer Matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} unter Verwendung der Echelon-Formularmethode.

Lösung:

GegebenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Schritt 1: Konvertieren Sie A in die Staffelform

Wenden Sie R an₂= R₂– 4R₁

Wenden Sie R an₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da Matrix A jetzt in der unteren Dreiecksform vorliegt, liegt sie in der Echelon-Form vor.

Schritt 2: Anzahl der Zeilen ungleich Null in A = 2. Somit ist ρ(A) = 2

Beispiel 5. Ermitteln Sie den Rang einer Matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} unter Verwendung der Normalformmethode.

Lösung:

GegebenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₂= R₂- R₁, R₃= R₃– 2R₁und R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₁= R₁– 2R₂und R4 = R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₁= R₁+ R₃und R₂= R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie C an₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Wenden Sie R an₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Somit kann A geschrieben werden alsegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Somit ist ρ(A) = 3

Rang einer Matrix – FAQs

Definieren Sie den Rang einer Matrix.

Der Rang einer Matrix ist definiert als die Anzahl linear unabhängiger Zeilen in einer Matrix. Es wird mit ρ(A) bezeichnet, wobei A eine beliebige Matrix ist.

Wie finde ich den Rang einer Matrix?

Der Rang einer Matrix kann mit verschiedenen Methoden berechnet werden, wie zum Beispiel:

• Nebenmethode
• Verwendung des Echelon-Formulars
• Verwendung der Normalform

Welchen Rang hat die Matrix, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist?

Wenn die Determinante einer Matrix Null ist, dann ist der Rang der Matrix gleich der Ordnung der Matrix.

Wann soll eine Matrix in Echelon-Form vorliegen?

Eine Matrix, die die Form eines oberen Dreiecks oder eine Form eines unteren Dreiecks hat, wird als Staffelform bezeichnet.

Was ist die Normalform der Matrix?

Eine Matrix liegt dann in Normalform vor, wenn sie als geschrieben werden kann egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} wo ich_Rist die Identitätsmatrix der Ordnung „r“.

Was ist der Rang der Nullmatrix?

Der Rang einer Nullmatrix ist Null.

Welchen Rang hat eine Identitätsmatrix?

Der Rang einer Identitätsmatrix entspricht der Ordnung der Matrix.

Parameter im Shell-Skript

Welche Beziehung besteht zwischen Nullität und Rang einer Matrix?

Die Beziehung zwischen Nichtigkeit und Rang einer Matrix ist:

Gesamtzahl der Spalten in einer Matrix = Rang + Nullität