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Sektor eines Kreises

Sektor eines Kreises ist einer der Bestandteile eines Kreises wie eines Segments, den Studierende im Laufe ihrer akademischen Jahre lernen, da es sich um eine der wichtigsten geometrischen Formen handelt. Der Kreissektor ist ein Abschnitt eines Kreises, der durch den Bogen und seine beiden Radien gebildet wird. Er entsteht, wenn ein Abschnitt des Kreisumfangs und zwei Radien an beiden Enden des Bogens aufeinandertreffen. Von einem Stück Pizza bis hin zu einem Bereich zwischen zwei Ventilatorflügeln können wir in unserem täglichen Leben überall Kreisabschnitte sehen.

In diesem Artikel werden wir das untersuchen geometrische Form des Sektors, die im Detail aus dem Kreis abgeleitet wird, einschließlich seiner Flächen, seines Umfangs und aller Formeln, die sich auf den Kreissektor beziehen.



Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Kreissektor?

Ein Sektor ist ein Kreissegment, das einen Bogen und die beiden Radien enthält, die die Endpunkte des Bogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden. Es stellt einen Bruchteil des Kreises dar, der durch den Bogen – einen Teil des Kreisumfangs – und die Radien an den Enden des Bogens definiert wird. Optisch ähnelt ein Sektor einem Stück Pizza oder Kuchen und unterstreicht seine Natur als Teil des gesamten Kreises.

Definition eines Kreissektors

Ein Kreissektor ist ein Teil eines Kreises, der von zwei Radien und dem von ihnen gebildeten Bogen umschlossen wird.



Mit anderen Worten: Ein Kreissektor ist ein tortenstückförmiger Abschnitt eines Kreises, der durch den Bogen und seine beiden Radien gebildet wird. Er entsteht, wenn ein Abschnitt des Kreisumfangs (auch als Bogen bezeichnet) und zwei Radien an beiden Punkten aufeinandertreffen Enden des Bogens. Ein Halbkreis, der einen halben Kreis darstellt, ist der häufigste Kreissektor.

Sektor eines Kreises

Im oben dargestellten Diagramm können wir sehen, dass im Kreis immer zwei Sektoren gebildet werden.



  • Hauptsektor: Der Sektor mit einer größeren Bogenlänge wird als Hauptsektor bezeichnet.
  • Nebensektor: Der Sektor mit einer kleineren Bogenlänge wird als Nebensektor bezeichnet.

Sektorwinkel

Der Winkel, den der Bogen in der Mitte des Kreises einschließt, wird als Sektorwinkel oder Zentralwinkel des Sektors bezeichnet. Im obigen Diagramm können wir das sehen Der vom Nebensektor begrenzte Winkel ist θ , also ist θ der Sektorwinkel für den Nebensektor. Wie wir wissen, beträgt der Gesamtwinkel an jedem Punkt 360°, also Der vom Hauptsektor eingespannte Winkel beträgt 360° – θ .

Beispiele für Kreissektoren

Einige Beispiele für Kreissektoren sind Pizza- oder Kuchenstücke, ein Zifferblatt, ein Lüfterflügel usw. Einige Beispiele für Kreissektoren sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

Beispiele für Kreissektoren

Sektor einer Kreisfläche

Die Fläche eines Kreissektors ist der Platz, der innerhalb eines Kreissektors eingenommen wird. Ein Sektor beginnt immer in der Mitte des Kreises. Der Halbkreis ist ebenfalls ein Kreissektor; in diesem Fall hat ein Kreis zwei gleich große Sektoren.

Formel für die Fläche eines Sektors

Die Formel für die Fläche eines Sektors lautet wie folgt:

A = (θ/360°) × pr 2

Wo,

  • ich ist der Sektorwinkel zwischen den Bögen in der Mitte (in Grad),
  • R ist der Radius des Kreises.

Eine andere Formel

Wenn der eingeschlossene Winkel θ im Bogenmaß angegeben ist, ist die Fläche gegeben durch:

A = 1/2 × r 2 × ich

Mehr lesen,

  • Kreis
  • Radius des Kreises
  • Kreisfläche

Ableitung der Formel für die Fläche eines Sektors

Betrachten Sie einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r, nehmen Sie an, dass OAPB sein Sektor und θ (in Grad) der Winkel ist, den die Bögen im Mittelpunkt einschließen.

Ableitung der Formel für die Fläche eines Sektors

Wir wissen, dass die Fläche des gesamten kreisförmigen Bereichs durch πr gegeben ist2.

Wenn der eingeschlossene Winkel 360° beträgt, ist die Fläche des Sektors gleich der des gesamten Kreises, also πr2.

Wenden Sie die Einheitsmethode an, um die Fläche des Sektors für jeden Winkel θ zu ermitteln.

Wenn der eingeschlossene Winkel 1° beträgt, ist die Fläche des Sektors durch πr gegeben2/360°.

Wenn der Winkel also θ ist, ist die Fläche des Sektors OAPB = (θ/360°) × pr 2

Daraus ergibt sich die Formel für die Fläche eines Kreissektors.

Bereich des Nebensektors

Als Fläche des Nebensektors wird im Allgemeinen die im obigen Abschnitt abgeleitete Formel verwendet. Da θ meist die allgemeine Darstellung des Winkels des Nebensektors ist. Daher

old{ ext{Fläche des Kleinsektors} = frac{ heta}{360} imes πr^2}

Bereich des Hauptsektors

Der Sektorwinkel für den Hauptsektor wird im Allgemeinen durch 360° – θ dargestellt. Somit ist die Fläche des Hauptsektors gegeben durch

ASCII-Tabelle Java

old{ ext{Fläche des Hauptsektors } = frac{360- heta}{360} imes πr^2}

Bogenlänge eines Kreissektors

Die Bogenlänge eines Sektors ist die Länge des Bogens, der vom Sektor umschlossen wird. Mit anderen Worten: Ein Bogen ist die Teillänge des Kreisumfangs. Es wird allgemein angenommen, dass die Bogenlänge der Umfang des Sektors ist, es handelt sich jedoch nur um den kreisförmigen Teil des Sektors, nicht um den gesamten Umfang. Wir werden den Umfang im nächsten Artikel besprechen.

Formel für die Bogenlänge eines Sektors

Die Formel für die Bogenlänge eines Sektors mit θ-Sektorwinkel lautet wie folgt:

Bogenlänge eines Sektors = θ°/360° × 2πr

Wo,

  • ich ist der Sektorwinkel zwischen den Bögen in der Mitte (in Grad),
  • R ist der Radius des Kreises.

Ableitung der Formel für die Bogenlänge eines Sektors

Betrachten Sie einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r. Sei OAPB ein Kreissektor und θ° der Winkel, den der Bogen im Mittelpunkt O einschließt.

Ableitung der Formel für die Bogenlänge eines Sektors

Wir wissen, dass der Umfang des gesamten Kreises durch 2πr gegeben ist. Wenn der eingeschlossene Winkel 360° beträgt, ist die Bogenlänge des Sektors gleich dem Umfang des gesamten Kreises, der 2πr beträgt.

Um die Bogenlänge für einen beliebigen Winkel θ zu ermitteln, können wir mithilfe der Einheitsmethode ein Verhältnis ermitteln:

Wenn der eingeschlossene Winkel 360° beträgt, beträgt die Bogenlänge des Sektors 2πr.

Wenn der eingeschlossene Winkel θ° beträgt, beträgt die Bogenlänge des Sektors x.

Mit Proportionen erhalten wir

θ°/360° = x/2pr

⇒ x = θ°/360° × 2πr

x = θ°/360° × πd

Wo d = 2r ist der Durchmesser des Kreises.

Daraus ergibt sich die Formel für die Bogenlänge eines Kreissektors.

Mehr lesen,

  • Umfang des Kreises
  • Sektor des Kreises
  • Tangente des Kreises

Sektor eines Kreisumfangs

Der Umfang jeder geometrischen Form ist ihre Grenze. Somit ist für den Sektor eines Kreises der Umfang auch die Grenze des Kreises, die die Bogenlänge sowie den Radius des Kreises, der den Sektor umschließt, einschließt.

Umfang einer Sektorformel

Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:

Hashtabelle Java

Umfang des Sektors = Bogenlänge + 2 × r

Umfang des Sektors = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Wo,

  • ich ist das Maß des Mittelpunktswinkels in Grad,
  • Pi ist eine mathematische Konstante (π≈3,14) und
  • R ist der Radius des Kreises.

Zusammenfassung – Kreissektor

  • Der Sektor ist der Bereich, der von zwei Radien und einer Bogenlänge im Kreis umschlossen wird.
  • Der Winkel, den der Bogen in der Mitte einschließt, wird als Zentralwinkel bezeichnet.
  • Die Fläche eines Kreissektors ist
  • Die Bogenlänge des Kreissektors beträgt
  • Der Umfang des Kreissektors beträgt

Einige wichtige Punkte zum Sektor eines Kreises sind:

  • Die Winkelsumme jedes Kreissektors beträgt immer 360 Grad.
  • Die Fläche eines Sektors ist immer kleiner als die Fläche des gesamten Kreises.
  • Die Bogenlänge des Sektors ist außerdem immer kleiner als der Umfang des Kreises.
  • Der Umfang eines Sektors kann größer sein als der Umfang des gesamten Kreises.

Die Leute lesen auch

  • Gleichung eines Kreises
  • Fläche eines Kreises
  • Umfang des Kreises

Beispielprobleme Sektor eines Kreises

Aufgabe 1: Finden Sie die Fläche des Sektors für einen gegebenen Kreis mit einem Radius von 5 cm, wenn der Winkel seines Sektors 30° beträgt.

Lösung:

Wir haben r = 5 und θ = 30°.

Verwenden Sie die Formel A = (θ/360°) × πr2um die Gegend zu finden.

A = (30/360) × (22/7) × 52

⇒ A = 550/840

⇒ A = 0,65 cm²

Aufgabe 2: Finden Sie die Fläche des Sektors für einen gegebenen Kreis mit einem Radius von 9 cm, wenn der Winkel seines Sektors 45° beträgt.

Lösung:

Wir haben r = 9 und θ = 45°.

Verwenden Sie die Formel A = (θ/360°) × πr2um die Gegend zu finden.

A = (45/360) × (22/7) × 92

⇒ A = 1782/56

⇒ A = 31,82 cm²

Aufgabe 3: Finden Sie die Fläche des Sektors für einen gegebenen Kreis mit einem Radius von 15 cm, wenn der Winkel seines Sektors π/2 Bogenmaß beträgt.

Lösung:

Wir haben r = 15 und θ = π/2.

Verwenden Sie die Formel A = 1/2 × r2× θ, um die Fläche zu finden.

A = 1/2 × 152× p/2

⇒ A = 1/2 × 225 × 11/7

⇒ A = 2475/14

Sharwanand

⇒ A = 176,78 cm²

Aufgabe 4: Finden Sie den Winkel im Mittelpunkt des Kreises, wenn die Fläche seines Sektors 770 cm² und sein Radius 7 cm beträgt.

Lösung:

Wir haben r = 7 und A = 770.

Verwenden Sie die Formel A = (θ/360°) × πr2um den Wert von θ zu finden.

=> 770 = (θ/360) × (22/7) × 72

=> 770 = (θ/360) × 154

=> θ/360 = 5

=> θ = 1800°

Aufgabe 5: Finden Sie die Fläche eines Kreises, wenn die Fläche seines Sektors 132 cm² beträgt und der Winkel im Mittelpunkt des Kreises 60° beträgt.

Lösung:

Wir haben θ = 60° und A = 132.

Verwenden Sie die Formel A = (θ/360°) × πr2um den Wert von θ zu finden.

=> 132 = (60/360) × (22/7) × r2

=> 132 = (1/6) × (22/7) × r2

=> r2= 252

=> r = 15,87 cm

Nun ist die Kreisfläche = πr2

= (22/7) × 15,87 × 15,87

= 5540,85/7

= 791,55 cm²

Aufgabe 6: Berechnen Sie die Bogenlänge, wenn r = 9 cm und θ = 45°.

Lösung:

Gegeben,

  • R = 9 cm
  • ich = 45°

L = (45/360) × 2π × 9

L = (1/8) × (2 × 22/7) × 9

L = (1/8) × (44/7) × 9

L = (1/8) × 44 × 9

L = 44/8 × 9

L = 99/2 cm (auf zwei Dezimalstellen gerundet)

Daher beträgt die Bogenlänge des Sektors 49,5 cm.

Wichtige Links zum Thema Mathematik:

  • Euklids Lemma
  • Datenverarbeitung
  • Probleme mit Höhen und Entfernungen
  • Also 0
  • Verzerrte symmetrische Matrix
  • Bereich des Achtecks
  • Teiler
  • Antilog-Tabelle
  • Mathematik Klasse 11

Zusammenfassung wichtiger Formeln eines Kreissektors

  • Formel für die Fläche eines Sektors: A = (θ/360°) × pr2
  • Formel für die Bogenlänge eines Sektors: Bogenlänge = θ°/360° × 2pr
  • Formel für den Umfang eines Kreissektors: P = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Sektoren eines Kreises – FAQs

Was sind Kreissektoren?

Die Sektoren eines Kreises sind Teile oder Teile des Kreises, die durch zwei Radien und den entsprechenden Bogen dazwischen begrenzt werden.

Was ist ein Mittelpunktswinkel in einem Kreissektor?

Ein Mittelpunktswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt eines Kreises liegt und dessen Seiten sich bis zu den Endpunkten eines Bogens erstrecken. Sie bestimmt die Größe des Sektors und wird in Grad oder Bogenmaß gemessen.

Kruskal-Algorithmus

Wie wird die Fläche eines Kreissektors berechnet?

Die Fläche eines Sektors kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

Fläche des Sektors = (θ/360) × πr 2

Wo,

  • ich ist das Maß des Mittelpunktswinkels in Grad,
  • Pi ist eine mathematische Konstante (π≈3,14) und
  • R ist der Radius des Kreises.

Was ist die Bogenlänge eines Sektors?

Die Bogenlänge eines Sektors ist die Entfernung entlang des Umfangs des Kreises, der den Bogen bildet.

Wie lautet die Formel für die Bogenlänge eines Sektors?

Die Bogenlänge eines Sektors wird durch die folgende Formel berechnet:

Bogenlänge des Sektors = (θ/360) × 2πr

Wo,

  • ich ist das Maß des Mittelpunktswinkels in Grad,
  • Pi ist eine mathematische Konstante (π≈3,14) und
  • R ist der Radius des Kreises.

Wie wird der Umfang eines Kreissektors berechnet?

Der Umfang eines Kreissektors ist die Summe der Länge des Bogens und der Längen der beiden Radien, die den Sektor bilden. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:

  • Umfang des Sektors = Bogenlänge + 2 × r
  • Umfang des Sektors = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Wo,

  • ich ist das Maß des Mittelpunktswinkels in Grad,
  • Pi ist eine mathematische Konstante (π≈3,14) und
  • R ist der Radius des Kreises.

Kann die Sektorfläche größer sein als die Fläche des gesamten Kreises?

Nein, die Fläche eines Sektors kann nicht größer sein als die Fläche des gesamten Kreises, da es sich um einen Teil des Kreises handelt, und sie kann maximal gleich der Fläche eines Kreises sein, da der größtmögliche Sektor ein Vollkreis ist.