TRAPEZREGEL: DEFINITION, FORMEL, BEISPIELE UND FAQS

Die Trapezregel ist eine der Grundregeln der Integration, die zur Definition der Grunddefinition der Integration verwendet wird. Es handelt sich um eine weit verbreitete Regel, und die Trapezregel wird so genannt, weil sie die Fläche unter der Kurve angibt, indem sie die Kurve in kleine Trapeze statt in Rechtecke unterteilt.

Im Allgemeinen ermitteln wir die Fläche unter der Kurve, indem wir die Fläche in kleinere Rechtecke teilen und dann die Summe aller Rechtecke ermitteln. Bei der Trapezregel wird die Fläche unter der Kurve jedoch in Trapeze unterteilt und dann deren Summe berechnet. Die Trapezregel wird verwendet, um den Wert bestimmter Integrale in der numerischen Analyse zu ermitteln. Diese Regel wird auch Trapezregel oder Trapezregel genannt. Erfahren Sie in diesem Artikel ausführlicher mehr über die Trapezregel, ihre Formel und ihren Beweis, ein Beispiel und vieles mehr.

Was ist die Trapezregel?

Die Trapezregel ist eine Regel, die verwendet wird, um den Wert des bestimmten Integrals der Form zu ermitteln^B∫_Af(x) dx. Wir wissen, dass der Wert des bestimmten Integrals ist^B∫_Af(x) dx ist die Fläche, die unter der Kurve y = f(x) und der x-Achse im Intervall a und b auf der x-Achse eingeschlossen ist. Wir berechnen diese Fläche, indem wir die gesamte Fläche in mehrere kleine Rechtecke aufteilen und dann deren Summe ermitteln.

Bei der Trapezregel wird, wie der Name schon sagt, die Fläche unter der Kurve in mehrere Trapeze unterteilt und dann deren Summe ermittelt, um die Fläche der Kurve zu erhalten. Die Trapezregel liefert nicht die beste Annäherung an die Fläche unter der Kurve als die Simpson-Regel, ihr Ergebnis ist jedoch dennoch präzise genug und diese Regel ist eine weit verbreitete Regel in der Analysis.

Trapezregelformel

Die Trapezregelformel ist die Formel, mit der die Fläche unter der Kurve ermittelt wird. Um nun die Fläche unter der Kurve mithilfe der Trapezregel zu ermitteln,

Sei y = f(x) eine kontinuierliche Kurve, die auf dem geschlossenen Intervall [a, b] definiert ist. Nun unterteilen wir das geschlossene Intervall [a, b] in n gleiche Teilintervalle, wobei jedes die Breite hat:

Δx = (b – a)/n

So dass,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_N= b

Mithilfe der Trapezregelformel können wir nun die Fläche unter der Kurve ermitteln als:

∫^B_Af(x) dx = Fläche unter der Kurve = (Δx/2) [y₀+ 2 (und₁+ und₂+ und₃+ ….. + und_n-1) + y_N]

wo, ja₀, Und₁, Und₂,…. Und_Nsind die Werte der Funktion bei x = 1, 2, 3, ….. bzw. n.

Ableitung der Trapezregelformel

Die Formel der Trapezregel zur Berechnung der Fläche unter der Kurve wird abgeleitet, indem die Fläche unter der Kurve in mehrere Trapeze unterteilt und dann deren Summe ermittelt wird.

Stellungnahme:

Sei f(x) eine stetige Funktion, die auf dem Intervall (a, b) definiert ist. Jetzt teilen wir die Intervalle (a, b) in n gleiche Teilintervalle auf, wobei die Breite jedes Intervalls ist:

Δx = (b – a)/n

so dass a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_N= b

Dann lautet die Formel der Trapezregel:

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∫^B_Af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_N)]

wo, x_ich= a + i△x

Wenn n → ∞, ergibt das R.H.S. des Ausdrucks das bestimmte Integral $int_{a}^{b}f(x) dx$

Nachweisen:

Diese Formel wird bewiesen, indem die Fläche unter der gegebenen Kurve, wie in der obigen Abbildung gezeigt, in verschiedene Trapeze unterteilt wird. Das erste Trapez hat eine Höhe Δx und die Länge der parallelen Basen beträgt f(x₀) und f(x₁)

Die Fläche des ersten Trapezes = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Ebenso beträgt die Fläche der verbleibenden Trapeze (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], und so weiter.

Jetzt können wir sagen,

∫^B_Af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_N) )

Nach der Vereinfachung erhalten wir

∫^B_Af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_N))

Damit ist die Trapezregel bewiesen.

Wie wendet man die Trapezregel an?

Die Trapezregel ermittelt die Fläche unter der Kurve, indem sie die Fläche unter der Kurve in verschiedene Trapeze unterteilt und dann die Summe aller Trapeze ermittelt. Die Trapezregel ist keine perfekte Näherung für den Wert des bestimmten Integrals, da sie die quadratische Näherung verwendet.

Wir müssen den Wert des bestimmten Integrals ∫ finden^B_Af(x) dx. Der Wert des bestimmten Integrals kann mithilfe der Trapezregel berechnet werden, indem die folgenden Schritte ausgeführt werden:

Schritt 1: Markieren Sie den Wert der Teilintervalle n und der Intervalle a und b.
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Schritt 2: Ermitteln Sie die Breite des Teilintervalls (△x) mithilfe der Formel △x = (b – a)/n

Schritt 3: Tragen Sie alle Werte in die Trapezregelformel ein und ermitteln Sie die ungefähre Fläche der gegebenen Kurve, die das bestimmte Integral ∫ darstellt^B_Af(x) dx

∫ ^B _A f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _N ))

Wo, X _ich = a + i△x

Summationsnotation der Trapezregel

Wir wissen, dass die Fläche eines Trapezes im Wesentlichen der Durchschnitt der Längen der parallelen Seiten multipliziert mit der Höhe ist. Betrachten Sie in diesem Fall also ein Trapez für das i^ThIntervall,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Updelta x$

Da die Gesamtfläche die Summe aller Flächen ist,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_N

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Updelta x$

Dies wird als Sigma-Notation oder Summennotation der Trapezsummen bezeichnet.

Riemann-Summen

Die Arbeit von Riemann fasst die Idee zusammen, die Fläche unter der Kurve in verschiedene rechteckige Teile zu unterteilen. Mit zunehmender Anzahl der Rechtecke nähert sich die Fläche immer mehr der aktuellen Fläche an. In der unten gezeigten Abbildung gibt es eine Funktion f(x). Der Bereich unter dieser Funktion ist in viele Rechtecke unterteilt. Die Gesamtfläche unter der Kurve ist die Summe der Flächen aller Rechtecke.

Beachten Sie, dass in der obigen Abbildung das rechte Ende der Rechtecke die Kurve berührt. Dies nennt man Rechts-Riemann-Summen.

In einem anderen Fall, wenn das linke Ende der Rechtecke die Kurve berührt, wie im Bild unten gezeigt, werden sie linke Riemann-Summen genannt.

Nehmen wir an, Δx ist die Breite des Intervalls, Breite n ist die Anzahl der Intervalle, wie oben angegeben. Dann ist die Fläche der durch die Summe dargestellten Kurve gegeben durch:

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Mittlere Summen

Bei den Riemann-Summen berührt entweder das linke Ende oder das rechte Ende des Rechtecks die Kurve. In diesem Fall berührt der Mittelpunkt des Rechtecks die Kurve. Alles andere entspricht den Riemann-Summen. Die folgende Abbildung zeigt die Funktion f(x) und verschiedene Rechtecke in den Mittelpunktsummen.

Sagen wir A_ichbezeichnet die Fläche des i^ThRechteck. Die Fläche dieses Rechtecks beträgt in diesem Fall:

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Updelta x$

Nun wird die Gesamtfläche in der Summationsnotation gegeben durch:

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

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Gelöstes Beispiel zur Trapezregel

Beispiel 1: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 4 mit 4 Intervallen.

f(x) = 4

Lösung:

Hier ist a = 0, b = 4 und n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 4 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4 ) + 4) = 16$

Beispiel 2: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 3 mit 3 Intervallen.

f(x) = x

Lösung:

Hier ist a = 0, b = 3 und n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 3 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$
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Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Rechtspfeil T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Beispiel 3: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 2 mit 2 Intervallen.

f(x) = 2x

Lösung:

Hier ist a = 0, b = 2 und n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 2 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Beispiel 4: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 3 mit 3 Intervallen.

f(x) = x ²

Lösung:

Hier ist a = 0, b = 3 und n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 3 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Beispiel 5: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 4 mit 4 Intervallen.

f(x) = x ³ + 1

Lösung:

Spark-Tutorial

Hier ist a = 0, b = 4 und n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 4 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72$

Beispiel 6: Finden Sie die von der Funktion f(x) eingeschlossene Fläche zwischen x = 0 und x = 4 mit 4 Intervallen.

f(x) = e ^X

Lösung:

Hier ist a = 0, b = 4 und n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Die Trapezregel für n = 4 lautet:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ersetzt man die Werte in dieser Gleichung,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Anwendungen der Trapezregel

Numerische Integration:

Die Hauptanwendung der Trapezregel ist die Approximation bestimmter Integrale. Es wird verwendet, wenn die Integration einer Funktion eine Herausforderung darstellt und ein numerischer Ansatz praktikabler ist. Die Trapezregel ist häufig Teil fortgeschrittener numerischer Integrationstechniken.

Physik und Ingenieurwesen:

In der Physik und im Ingenieurwesen kann die Trapezregel zur Berechnung von Größen wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung angewendet werden. Wenn beispielsweise experimentelle Daten in diskreten Zeitintervallen gesammelt werden, kann die Trapezregel verwendet werden, um die Fläche unter der Kurve zu schätzen und so eine Näherung für das Integral bereitzustellen.

Wirtschaft und Finanzen:

Die Trapezregel kann in der Finanzmodellierung angewendet werden, um den Barwert zukünftiger Cashflows zu schätzen. Dies ist besonders nützlich bei der Discounted-Cashflow-Analyse (DCF), bei der das Ziel darin besteht, den Nettobarwert einer Investition zu berechnen.

Statistiken:

In der Statistik kann die Trapezregel zur Schätzung der Fläche unter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen oder kumulativen Verteilungsfunktionen verwendet werden. Dies ist besonders nützlich in Fällen, in denen die genaue Form der Verteilung unbekannt oder komplex ist.

FAQs zur Trapezregel

F1: Was ist die Trapezregel?

Antwort:

Die Trapezregel ist die Regel, die zum Ermitteln des bestimmten Integrals verwendet wird. Sie teilt die Fläche unter der Kurve in mehrere Trapeze auf, ermittelt dann deren einzelne Fläche und berechnet dann die Summe, um den Wert des bestimmten Integrals zu erhalten.
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F2: Was ist die Trapezregelformel?

Antwort:

Die Trapezregelformel lautet:

∫ ^B _A f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _N ))

F3: Warum heißt es Trapezregelformel?

Antwort:

Die Trapezregelformel wird als Trapezregel bezeichnet, da sie die Fläche unter der Kurve in mehrere Trapeze unterteilt und deren Fläche dann durch Ermitteln der Summe der Trapeze berechnet.

F4: Was ist der Unterschied zwischen der Trapezregel und der Riemannschen Summenregel?

Antwort:

Der Hauptunterschied zwischen der Trapezregel und der Riemann-Summenregel besteht darin, dass die Trapezregel die Fläche unter der Kurve als Trapeze teilt und dann die Fläche durch Bildung ihrer Summe ermittelt, während die Riemann-Summen die Fläche unter der Kurve als Trapeze und teilt ermittelt dann die Fläche durch Bildung ihrer Summe.