Die trigonometrische Substitution ist eine der Substitutionsmethoden der Integration, bei der eine Funktion oder ein Ausdruck im gegebenen Integral durch trigonometrische Funktionen wie sin, cos, tan usw. ersetzt wird. Die Integration durch Substitution ist eine einfachste Substitutionsmethode.

Es wird verwendet, wenn wir eine Funktion ersetzen, deren Ableitung bereits in der gegebenen Integralfunktion enthalten ist. Dadurch wird die Funktion vereinfacht und man erhält eine einfache Integralfunktion, die wir leicht integrieren können. Sie wird auch als U-Substitution oder Umkehrkettenregel bezeichnet. Mit anderen Worten: Mit dieser Methode können wir ganz einfach Integrale und Stammfunktionen auswerten.

Trigonometrische Substitution

Was ist trigonometrische Substitution?

Unter trigonometrischer Substitution versteht man einen Prozess, bei dem eine trigonometrische Funktion durch einen anderen Ausdruck ersetzt wird. Es wird zur Auswertung von Integralen verwendet oder ist eine Methode zum Finden von Stammfunktionen von Funktionen, die Quadratwurzeln quadratischer Ausdrücke oder rationale Potenzen der Form enthaltenfrac{p}{2} (wobei p eine ganze Zahl ist) quadratischer Ausdrücke. Beispiele für solche Ausdrücke sind

({x^2+4})^frac{3}{2} odersqrt{25-x^2} oder usw.

Die Methode der trigonometrischen Substitution kann dann zum Einsatz kommen, wenn andere gebräuchlichere und einfacher anzuwendende Integrationsmethoden versagt haben. Bei der trigonometrischen Substitution wird davon ausgegangen, dass Sie mit standardmäßigen trigonometrischen Identitäten, der Verwendung der Differentialschreibweise, der Integration mithilfe der U-Substitution und der Integration trigonometrischer Funktionen vertraut sind.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Hier besprechen wir einige wichtige Formeln. Abhängig von der Funktion, die wir integrieren müssen, ersetzen wir einen der folgenden trigonometrischen Ausdrücke, um die Integration zu vereinfachen:

∫cosx dx = sinx + C

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∫sinx dx = −cosx + C

∫Sek²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Lesen Sie im Detail: Infinitesimalrechnung in der Mathematik

Wann sollte die trigonometrische Substitution verwendet werden?

Wir verwenden die trigonometrische Substitution in den folgenden Fällen:

Wie wendet man die trigonometrische Substitutionsmethode an?

Wir können die trigonometrische Substitutionsmethode wie unten beschrieben anwenden:

Integral mit a²- X²

Betrachten wir ein Beispiel für das Integral mit a²- X².

Beispiel: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Nehmen wir an, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Also, ich =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

As, x = a sinθ

array.aus Java

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral mit x ² + a ²

Betrachten wir ein Beispiel für das Integral mit x²+ a².

Beispiel: Finden Sie das Integral old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Setzen wir x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, wir erhalten

Also, ich =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

As, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral mit a ² + x ² .

Betrachten wir ein Beispiel für das Integral mit a²+ x².

Beispiel: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Nehmen wir an, x = a tanθ

⇒ dx = eine Sekunde²θ dθ

Also, ich =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral mit x ² - A ² .

Betrachten wir ein Beispiel für das Integral mit x²- A².

Beispiel: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Nehmen wir an, x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Also, ich =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

10 von 60

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Mehr lesen,

• Integrationsformeln
• Integration durch Substitution
• Integration in Teilstücken

Beispielprobleme zur trigonometrischen Substitution

Aufgabe 1: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Nehmen wir 5 gemeinsam im Nenner,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Nach Satz 1 ist a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Aufgabe 2: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Nimmt man √2 gemeinsam im Nenner,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Nach Satz 1 ist a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Aufgabe 3: Finden Sie das Integral von old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Durch Umordnen erhalten wir

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Hier gilt a = 3 und x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Ersetzt man diese Werte,

Ich =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Lass uns nehmen,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Wenn wir diese Werte ersetzen, erhalten wir

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cosθ und x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ in =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ in =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Daher ist I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Aufgabe 4: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

im String in Java

Lösung:

Nehmen wir 9 gemeinsam im Nenner,

Ich =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Nach Satz 2 ist a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Aufgabe 5: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Lösung:

Nimmt man 4 gemeinsam im Nenner,

Ich =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

3D in Autocad

Nach Satz 3 ist a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Aufgabe 6: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Lösung:

Nehmen wir 2 gemeinsam im Nenner,

Ich =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

Ich =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Nach Satz 4 ist a =frac{3}{2}

Ich =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

Ich =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

Ich =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

Ich =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

Ich =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Aufgabe 7: Finden Sie das Integral von old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Lösung:

Nach dem Umordnen erhalten wir

Ich =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

Ich =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

Ich =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

Ich =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Nach Satz 2 gilt

x = x-frac{1}{2} und a =frac{sqrt{3}}{2}

Ich =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

Ich =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrische Substitution – FAQs

Was ist trigonometrische Substitution?

Die trigonometrische Substitution ist eine Integrationstechnik, die zur Lösung von Integralen mit Ausdrücken mit Radikalen und Quadratwurzeln wie √(x) verwendet wird²+ a²), √(a²+ x²) und √(x²- A²).

Wann sollte ich die trigonometrische Substitution verwenden?

Die trigonometrische Substitution ist nützlich, wenn Sie ein Integral haben, das einen Wurzelausdruck beinhaltet, insbesondere wenn der Wurzelausdruck einen quadratischen Term enthält.

Welche drei trigonometrischen Substitutionen werden üblicherweise in Integralen verwendet?

Die drei am häufigsten verwendeten trigonometrischen Substitutionen sind:

• Ersetzen Sie x = a sin θ, wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form a enthält²- X².
• Ersetzen Sie x = a tan θ, wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form x enthält²- A².
• Ersetzen Sie x = a sec θ, wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form x enthält²+ a².

Wie wählt jemand aus, welche trigonometrische Substitution verwendet werden soll?

Sie sollten die trigonometrische Substitution basierend auf der Form des Wurzelausdrucks wählen. Wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form a^2 – x^2 enthält, verwenden Sie x = a sin θ. Wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form x^2 – a^2 enthält, verwenden Sie x = a tan θ. Wenn der Wurzelausdruck einen Term der Form x^2 + a^2 enthält, verwenden Sie x = a sec θ.