Das Gesetz von De Morgan ist das gebräuchlichste Gesetz in der Mengenlehre und der Booleschen Algebra sowie der Mengenlehre. In diesem Artikel lernen wir das Gesetz von De Morgan, das Gesetz von De Morgan in der Mengenlehre und das Gesetz von De Morgan in der Booleschen Algebra zusammen mit seinen Beweisen, Wahrheitstabellen und Logikgatterdiagrammen kennen. Der Artikel enthält auch das gelöste Beispiel für das De-Morgan-Gesetz und häufig gestellte Fragen zum De-Morgan-Gesetz. Lassen Sie uns etwas über De Morgans Gesetz lernen.
Inhaltsverzeichnis
- Was ist De Morgans Gesetz?
- De Morgans Gesetz in der Mengenlehre
- Erstes Gesetz von De Morgan
- Zweites Gesetz von De Morgan
- Beweis mit Mengenalgebra
- De Morgans Gesetz in der Booleschen Algebra
- Aus Morgans Gesetzesformel
- Gelöste Beispiele zum Gesetz von De Morgan
- Logische Anwendungen des Gesetzes von De Morgan
Was ist De Morgans Gesetz?
Das Gesetz von De Morgan ist das Gesetz, das die Beziehung zwischen Vereinigung, Schnittmenge und Komplementen in der Mengenlehre angibt. In der Booleschen Algebra gibt es die Beziehung zwischen AND, OR und Komplementen der Variablen an, und in der Logik gibt es die Beziehung zwischen AND, OR oder Negation der Aussage an. Mit Hilfe des De-Morgan-Gesetzes können wir verschiedene boolesche Schaltkreise mit Logikgattern optimieren, die uns helfen, die gleiche Operation, aber mit sehr wenigen Geräten, durchzuführen.
De Morgans Gesetz in der Mengenlehre
De Morgans Gesetz im Mengenlehre definiert die Beziehung zwischen der Vereinigung, dem Durchschnitt und den Komplementen der Mengen und wird sowohl für das Komplement der Vereinigung als auch für den Durchschnitt zweier Mengen angegeben. In der Mengenlehre gibt es zwei De-Morgan-Gesetze:
- Erstes Gesetz von De Morgan
- Zweites Gesetz von De Morgan
Lassen Sie uns diese Gesetze im Folgenden im Detail verstehen:
Erstes Gesetz von De Morgan
Das erste Gesetz von De Morgan besagt dies Das Komplement der Vereinigung zweier Mengen ist gleich dem Schnittpunkt der Komplemente jeder Menge.
Seien A und B zwei Mengen, dann lautet das erste De-Morgan-Gesetz mathematisch wie folgt:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Wo
- IN stellt die Unionsoperation zwischen Mengen dar,
- ∩ stellt eine Schnittoperation zwischen Mengen dar und
- ' stellt eine Komplementoperation auf einer Menge dar.
Es heißt auch De Morgans Unionsgesetz.
Erläutern Sie den Beweis des De-Morgan-Gesetzes
| Schritt | Erläuterung |
|---|---|
| Schritt 1: Geben Sie das Gesetz an | Das Gesetz von De Morgan besteht aus zwei Teilen: ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B und ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B. |
| Schritt 2: Wählen Sie ein Element | Beweisen wir ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. Nehmen Sie ein Element x an, das nicht in A ∪ B ist. |
| Schritt 3: Verstehen Sie die Annahme | Wenn x nicht in A ∪ B ist, dann ist x weder in A noch in B. |
| Schritt 4: Anwenden der Definition | Nach der Definition des Komplements ist x in ¬A und in ¬B, wenn x nicht in A und nicht in B ist. |
| Schritt 5: Schließen Sie den Beweis ab | Da x sowohl in ¬A als auch in ¬B vorkommt, ist x in ¬A ∩ ¬B. Damit haben wir gezeigt: ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. |
Beweis mit Mengenalgebra
Wir müssen beweisen, dass (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Sei X = (A ∪ B)’ und Y = A’ ∩ B’
Sei p ein beliebiges Element von X, dann ist p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)‘
⇒ p ∉ (A ∪ B)
⇒ p ∉ A oder p ∉ B
⇒ p ∈ A’ und p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∩ B’
⇒ p ∈ Y
∴X ⊂ Y. . . (Yo)
Sei q wiederum ein beliebiges Element von Y, dann gilt q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’
⇒ q ∈ A’ und q ∈ B’
⇒ q ∉ A oder q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∪ B)
⇒ q ∈ (A ∪ B)‘
⇒ q ∈ X
∴Y ⊂X. . . (ii)
Aus (i) und (ii) ist X = Y
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Lesen Sie auch – Beweis der De-Morganschen Gesetze in der Booleschen Algebra
Beweis mit Venn-Diagramm
Venn-Diagramm für (A ∪ B)‘
Venn-Diagramm für A’ ∩ B’
Aus beiden Diagrammen können wir klar sagen:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Das ist das erste Gesetz von De Morgan.
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Zweites Gesetz von De Morgan
Das zweite Gesetz von De Morgan besagt dies Das Schnittkomplement zweier Mengen ist gleich der Vereinigung der Komplemente jeder Menge.
Seien A und B zwei Mengen, dann lautet das erste De-Morgan-Gesetz mathematisch wie folgt:
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Wo
- IN stellt die Unionsoperation zwischen Mengen dar,
- ∩ stellt eine Schnittoperation zwischen Mengen dar und
- ' stellt eine Komplementoperation auf einer Menge dar.
Es heißt auch De Morgans Schnittgesetz .
Beweis mit Mengenalgebra
Zweites Gesetz von De Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Sei X = (A ∩ B)’ und Y = A’ ∪ B’
Sei p ein beliebiges Element von X, dann ist p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)‘
⇒ p ∉ (A ∩ B)
⇒ p ∉ A und p ∉ B
⇒ p ∈ A’ oder p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∪ B’
⇒ p ∈ Y
∴ X ⊂ Y ————–(i)
Sei q wiederum ein beliebiges Element von Y, dann gilt q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’
⇒ q ∈ A’ oder q ∈ B’
⇒ q ∉ A und q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∩ B)
⇒ q ∈ (A ∩ B)’
⇒ q ∈ X
∴ Y ⊂ X ————–(ii)
Aus (i) und (ii) ist X = Y
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Beweis mit Venn-Diagramm
Venn-Diagramm für (A ∩ B)‘
Venn-Diagramm für A’ ∪ B’
Aus beiden Diagrammen können wir eindeutig sagen
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Das ist das zweite Gesetz von De Morgan.
De Morgans Gesetz in der Booleschen Algebra
Die Boolesche Algebra von De Morgan definiert die Beziehung zwischen OR, AND und den Komplementen von Variablen und gilt sowohl für das Komplement von AND als auch OR von zwei Werten. In der Booleschen Algebra gibt es zwei De-Morgan-Gesetze:
- Erstes Gesetz von De Morgan
- Zweites Gesetz von De Morgan
Lassen Sie uns diese Gesetze im Folgenden im Detail verstehen:
Erstes Gesetz von De Morgan in der Booleschen Algebra
Das erste Gesetz von De Morgan besagt dies Das ODER-Komplement zweier oder mehrerer Variablen ist gleich dem UND-Komplement jeder Variablen.
Seien A und B zwei Variablen, dann lautet das erste De-Morgan-Gesetz mathematisch wie folgt:
(A + B)’ = A’ . B'
Wo
- + stellt den ODER-Operator zwischen Variablen dar,
- . stellt den UND-Operator zwischen Variablen dar und
- ' stellt eine Komplementoperation für eine Variable dar.
Erstes Gesetz von De Morgan, Logikgatter
Im Zusammenhang mit Logikgattern und der Booleschen Algebra besagt das Gesetz von De Morgan, dass beide Logikgatterschaltungen, d. h. das NICHT-Gatter wird zum Ausgang des ODER-Gatters hinzugefügt, und das NICHT-Gatter wird zum Eingang des UND-Gatters hinzugefügt, gleichwertig sind. Diese beiden Logikgatterschaltungen sind wie folgt angegeben:
Erste De Morgan's Law Truth Table
Die Wahrheitstabelle für das erste Gesetz von De Morgan lautet wie folgt:
| A | B | A + B | (A + B)‘ | A' | B' | A'. B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 k Clustering-Algorithmus | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Zweites De-Morgan-Gesetz in der Booleschen Algebra
Das zweite Gesetz von De Morgan besagt dies Das UND-Komplement zweier oder mehrerer Variablen ist gleich dem ODER-Komplement jeder Variablen.
Seien A und B zwei Variablen, dann lautet das zweite Gesetz von De Morgan mathematisch wie folgt:
(A . B)’ = A’ + B’
Wo
SQL-Reihenfolge nach Datum
- + stellt den ODER-Operator zwischen Variablen dar,
- . stellt den UND-Operator zwischen Variablen dar und
- ' stellt eine Komplementoperation für eine Variable dar.
Zweites Gesetz von De Morgan, Logikgatter
Im Zusammenhang mit Logikgattern und der Booleschen Algebra besagt das Gesetz von De Morgan, dass beide Logikgatterschaltungen, d. h. das NICHT-Gatter wird zum Ausgang des UND-Gatters hinzugefügt, und das NICHT-Gatter wird zum Eingang des ODER-Gatters hinzugefügt, gleichwertig sind. Diese beiden Logikgatterschaltungen sind wie folgt angegeben:
Zweite De Morgan's Law Truth Table
Die Wahrheitstabelle für das zweite Gesetz von De Morgan lautet wie folgt:
| A | B | A . B | (A. B)‘ | A' | B' | A‘ + B‘ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Aus Morgans Gesetzeslogik
In De Morgans Logikgesetz sind die folgenden Präpositionen Tautologie:
∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b
Wo,
- ∧ stellt die Konjunktion von Aussagen dar,
- ∨ stellt die Disjunktion von Aussagen dar,
- ~ stellt die Negation einer Aussage dar, und
- ≡ stellt die Äquivalenz von Aussagen dar.
Aus Morgans Gesetzesformel
Lassen Sie uns in der folgenden Liste alle Formeln für das Gesetz von De Morgan zusammenstellen.
Zur Mengenlehre:
- (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Für Boolesche Algebra:
- (A + B)’ = A’ . B'
- (A . B)’ = A’ + B’
Für Logik:
- ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
- ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b
Gelöste Beispiele zum Gesetz von De Morgan
Problem 1: Vorausgesetzt, dass U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} und B = {2, 3, 9}. Beweisen Sie das zweite Gesetz von De Morgan.
Lösung:
U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} und B = {2, 3, 9}
Zu beweisen: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∩ B) = {2}
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}
(A ∩ B)‘ = {3, 7, 8, 9}
A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}
A’ = {3, 8, 9}
B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}
B’ = {7, 8}
A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}
A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Problem 2: Vorausgesetzt, dass U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} und B = {4, 6, 9}. Beweisen Sie De Morgans erstes Gesetz.
Lösung:
U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} und B = {4, 6, 9}
Zu beweisen: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)’ = {8}
A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}
A’ = {4, 6, 8}
B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}
B’ = {1, 8}
A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}
A’ ∩ B’ = {8}
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Somit bewiesen
Problem 3: Vereinfachen Sie den booleschen Ausdruck: Y = [(A + B).C]‘
Lösung:
Y = [(A + B).C]‘
Anwendung des Gesetzes von De Morgan (A . B)‘ = A‘ + B‘
Y = (A + B)’ + C’
Anwendung des Gesetzes von De Morgan (A + B)‘ = A‘. B'
Y = A'. B' + C'
Aufgabe 4: Vereinfachen Sie den booleschen Ausdruck: X = [(A + B)’ + C]’
Lösung:
X = [(A + B)’ + C]’
Java konvertiert int in einen StringAnwendung des Gesetzes von De Morgan (A + B)‘ = A‘. B'
X = [(A + B)’]’ . C'
X = (A + B). C'
Weitere Informationen finden Sie in diesen Quellen:
| Thema zur Verlinkung | Bezüglich |
|---|---|
| Boolsche Algebra | Aus Morgans Gesetz der Booleschen Algebra |
| Mengenlehre | De Morgans Gesetz in der Mengenlehre |
| Logische Tore | Aus Morgans Gesetzeslogik |
| Diskrete Mathematik | Aus Morgans Gesetz der diskreten Mathematik |
| Beispiele für die Java-Programmierung | Aus Morgans Gesetz Java |
Präsentieren Sie Beispiele für De Morgans Gesetz
| Kontext | Beispiel |
|---|---|
| Logikrätsel | Puzzle : Wenn es nicht wahr ist, dass es regnet und kalt ist, was können wir daraus schließen? Anwendung des Gesetzes von De Morgan : Wir können daraus schließen, dass es nicht regnet oder es nicht kalt ist. Dabei wird das Gesetz von De Morgan verwendet, um die Negation einer Konjunktion in eine Disjunktion zu vereinfachen. |
| Programmierung | Szenario : Überprüfen, ob eine Zahl weder positiv noch in einer Programmiersprache vorliegt. Codeausschnitt (Pseudocode) :if !(number>0 und Zahl % 2 == 0)>kann mit dem Gesetz von De Morgan vereinfacht werdenif (number <= 0 or number % 2 != 0)>. Dies zeigt, wie das Gesetz von De Morgan bei der Vereinfachung bedingter Aussagen hilft. |
| Mathematische Beweise | Stellungnahme : Beweisen Sie, dass das Komplement des Schnittpunkts zweier Mengen A und B gleich der Vereinigung ihrer Komplemente ist. Anwendung des Gesetzes von De Morgan : Nach dem Gesetz von De Morgan ist (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. Dies zeigt, wie das Gesetz von De Morgan verwendet wird, um Ausdrücke in der Mengenlehre zu vereinfachen. |
Aus praktischen Beispielen von Morgans Gesetz
Beispiel 1: Pizzabelag
Stellen Sie sich vor, Sie sind auf einer Pizzaparty und man sagt Ihnen, dass Sie alle Beläge außer Pilzen und Oliven zusammen wählen können.
- Verwendung des Gesetzes von De Morgan : Das heißt, wenn Sie nicht sowohl Pilze als auch Oliven möchten (Nicht (Pilze und Oliven)), können Sie entweder keine Pilze (Nicht Pilze) oder keine Oliven (Nicht Oliven) auf Ihrer Pizza haben. Sie könnten also eine Pizza nur mit Pilzen, nur Oliven oder keinem von beidem essen!
Beispiel 2: Bibliotheksbücher
Ihr Lehrer sagt, dass Sie keine Bücher über Zauberer oder Drachen mit ins Klassenzimmer bringen dürfen.
- Verwendung des Gesetzes von De Morgan : Das heißt, wenn Ihnen keine Bücher über Zauberer oder Drachen erlaubt sind (Not (Wizards or Dragons)), können Sie keine Bücher über Zauberer (Not Wizards) und keine Bücher über Drachen (Not Dragons) mitbringen. Bücher über den Weltraum oder Tiere sind also immer noch in Ordnung!
Beispiel 3: Draußen spielen
Deine Mutter sagt, dass du nicht draußen spielen kannst, wenn es gleichzeitig regnet und kalt ist.
- Verwendung des Gesetzes von De Morgan : Das heißt, wenn Sie nicht rausgehen, weil es regnet und kalt ist (Nicht (Regen und Kälte)), würden Sie nicht rausgehen, wenn es nur regnet (Nicht regnet) oder einfach nur kalt ist (Nicht kalt). Aber wenn es sonnig und warm ist, kann es losgehen!
Beispiel 4: Einen Film auswählen
Ihr Freund sagt, er möchte keinen Film sehen, der gruselig oder langweilig ist.
- Verwendung des Gesetzes von De Morgan : Das heißt, wenn Ihr Freund keinen Film möchte, der gruselig oder langweilig ist (nicht (gruselig oder langweilig)), möchte er keinen gruseligen Film (nicht gruselig) und er möchte keinen langweiligen Film (nicht langweilig). . Ein lustiger oder spannender Film wäre also perfekt!
Logische Anwendungen des Gesetzes von De Morgan
| Anwendungsbereich | Beschreibung |
|---|---|
| Logisches Denken | Bei logischen Rätseln oder Argumenten hilft das Gesetz von De Morgan dabei, komplexe Verneinungen zu vereinfachen. Wenn Sie beispielsweise „Alle Äpfel sind rot“ zu „Nicht alle Äpfel sind rot“ verneinen, bedeutet dies, dass „Einige Äpfel nicht rot“ sind. |
| Informatik | Das Gesetz von De Morgan ist entscheidend für die Optimierung bedingter Anweisungen in der Programmierung. Es ermöglicht Programmierern, komplexe logische Bedingungen zu vereinfachen und so den Code effizienter und lesbarer zu machen. |
| Elektronisches Schaltungsdesign | In der digitalen Elektronik wird das Gesetz von De Morgan verwendet, um Schaltkreise zu entwerfen und zu vereinfachen. Es hilft beispielsweise bei der Umwandlung von UND-Gattern in ODER-Gatter (und umgekehrt) unter Verwendung von NICHT-Gattern und erleichtert so die Erstellung effizienterer Schaltungslayouts. |
Aus Morgans Gesetz – FAQs
State De Morgans erste Gesetzesaussage in der Mengenlehre.
Das erste Gesetz von De Morgan in der Mengenlehre besagt, dass das Vereinigungskomplement zweier Mengen gleich dem Schnittpunkt ihrer einzelnen Komplemente ist.
State De Morgans zweite Gesetzesaussage in der Booleschen Algebra.
Das zweite Gesetz von De Morgan in der Booleschen Algebra besagt, dass das Komplement des UND von zwei oder mehr Variablen gleich dem ODER des Komplements jeder Variablen ist.
Schreiben Sie die Formel für das Gesetz von De Morgan in der Mengenlehre.
Die Formel für De Morgans Gesetz in der Mengenlehre:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Schreiben Sie die Formel für das Gesetz von De Morgan in der Booleschen Algebra.
Die Formel für De Morgans Gesetz in der Booleschen Algebra:
(i) (A + B)’ = A’ . B'
(ii) (A . B)’ = A’ + B’
Schreiben Sie einige Anwendungen des Gesetzes von De Morgan.
Eine der Anwendungen des Gesetzes von De Morgan besteht darin, den komplexen booleschen Ausdruck zu minimieren und zu vereinfachen.
Wie beweist man das Gesetz von De Morgan?
Das Gesetz von De Morgan in der Mengenlehre kann durch die Venn-Diagramme und das Gesetz von De Morgan in der Booleschen Algebra durch Wahrheitstabellen bewiesen werden.