Ableitung der Arcus-Tangens-Funktion wird als tan bezeichnet^-1(x) oder arctan(x). Es ist gleich 1/(1+x ² ) . Ableitung der Arcus-Tangens-Funktion wird ermittelt, indem die Änderungsrate der Arcus-Tan-Funktion in Bezug auf die unabhängige Variable bestimmt wird. Die Technik zum Finden von Ableitungen trigonometrischer Funktionen wird als trigonometrische Differentiation bezeichnet.

Derivat von Arctan

In diesem Artikel lernen wir die Ableitung von arc tan x und ihre Formel kennen, einschließlich des Beweises der Formel. Darüber hinaus haben wir zum besseren Verständnis auch einige gelöste Beispiele bereitgestellt.

Ableitung von Arctan x

Die Ableitung der Arcus-Tangens-Funktion oder arctan(x) ist 1/(1+x ² ). Der Arcustangens x stellt den Winkel dar, dessen Tangens x ist. Mit anderen Worten: Wenn y = arctan(x), dann gilt tan(y) = x.

Die Ableitung einer Funktion kann mithilfe der Kettenregel ermittelt werden. Wenn Sie eine zusammengesetzte Funktion wie arctan(x) haben, differenzieren Sie die äußere Funktion nach der inneren Funktion und multiplizieren dann mit der Ableitung der inneren Funktion.

Ableitung der Arctan x-Formel

Die Formel für die Ableitung des Kehrwerts von tan x lautet:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Überprüfen Sie auch :

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• Arctan – Formel, Diagramm, Identitäten, Domäne, Bereich und FAQs
• Infinitesimalrechnung in der Mathematik
• Invers Trigonometrische Funktion

Beweis der Ableitung von Arctan x

Die Ableitung der Umkehrung von tan x kann auf folgende Weise bewiesen werden:

• Benutzen Kettenregel
• Benutzen Implizite Differenzierungsmethode
• Verwendung erster Prinzipien von Derivaten

Ableitung von Arctan x nach der Kettenregel

Um die Ableitung von Arctan x nach der Kettenregel zu beweisen, verwenden wir die grundlegende trigonometrische und inverse trigonometrische Formel:

• Sek²y = 1 + tan²Und
• tan(arctan x) = x

Hier ist der Beweis der Ableitung von Arctan x:

Nehmen wir an, y = arctan(x)

Wenn wir auf beiden Seiten bräunen, erhalten wir:

tan y = tan(arctan X)

tan y = x [as tan (arctan x) = x]

Differenzieren Sie nun beide Seiten nach x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [da d/dx(x) = 1]

Wenn wir die Kettenregel anwenden, um tan y nach x zu differenzieren, erhalten wir

d/dx(tan y) = Sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/Sek²Und

dy/dx = 1/ 1 + tan²y [als Sek²y = 1 + tan²Und]

Jetzt wissen wir, dass tan y = x ist, indem wir den Wert in die obige Gleichung einsetzen, was wir erhalten

dy/dx = 1/ 1 + x²

Ableitung von Arctan x durch implizite Differenzierungsmethode

Die Ableitung von Arctan x kann mit der impliziten Differentiationsmethode bewiesen werden. Wir werden grundlegende trigonometrische Formeln verwenden, die unten aufgeführt sind:

• Sek²x = ( 1 + tan²X )

• Wenn y = arctan x ⇒ x = tan y und x²= also²Und

Beginnen wir mit dem Beweis für die Ableitung von Arctan x , nehme an, f(x) = y = arctan X

Durch implizite Differenzierungsmethode

f(x) = y = arctan X

⇒ x = tan y

Ableitung auf beiden Seiten nach x bilden

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Die rechte Seite mit dy multiplizieren und dividieren

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = Sek²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Als Sek²x = ( 1 + tan²X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²Und )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Daher ist f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Ableitung von Arctan x nach dem ersten Prinzip

Um die Ableitung von arctan x unter Verwendung des ersten Ableitungsprinzips zu beweisen, verwenden wir grundlegende Grenzwerte und trigonometrische Formeln, die unten aufgeführt sind:

• lim_h→0arctan x/x = 1

• Arctan x – Arctan y = Arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Beginnen wir mit dem Beweis für die Ableitung von Arctan x

wir haben arctan(x) = y

Wenden Sie die Definition der Ableitung an, die wir erhalten

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Ups in Java

Überprüfen Sie auch

• Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen
• Differenzierungsformeln
• Inverse trigonometrische Identitäten

Beispiele zur Ableitung von Arctan x

Beispiel 1: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = arctan(3x).

Lösung:

Wir verwenden die Kettenregel, die besagt, dass g(x) bei x differenzierbar ist und f(x) = arctan (g(x)), dann ist die Ableitung f'(x) gegeben durch:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

In diesem Fall ist g(x) = 3x, also g'(X) = 3. Anwendung der Kettenregelformel:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Beispiel 2: Finden Sie die Ableitung der Funktion h(x) = tan ^-1 (x/2)

Lösung:

Wir verwenden die Kettenregel, nach der f(x) = tan^-1(g(x)), dann ist die Ableitung f'(x) gegeben durch:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

In diesem Fall ist g(x) = x/2, also g'(X) = 1/2. Anwendung der Kettenregelformel:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Vereinfacht erhalten wir,

f'(x) = 2/(4+x²)

Beispiel 3: Finden Sie die Ableitung von f(x) = arctan (2x ² )

Lösung:

Wir verwenden die Kettenregel, die besagt, dass g(x) bei x differenzierbar ist und f(x) = arctan (g(x)), dann ist die Ableitung f'(x) gegeben durch:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

In diesem Fall ist g(x) = 2x², also g'(X) = 4x.

Anwendung der Kettenregelformel:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Übungsfragen zur Ableitung von Arctan x

Frage 1: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x ² Arkan (2x)

Frage 2: Finden Sie die Ableitung der Funktion k(x) = arctan (X ³ +2x)

Frage 3: Finden Sie die Ableitung der Funktion p(x) = x arctan(x ² +1)

F.4: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = arctan (x)/1+x

F.5: Finden Sie die Ableitung der Funktion r(x) = arctan (4x)

Mehr lesen,

• Ableitung in Mathematik
• Ableitung von tan invers x
• Arctan

Derivat von Arctan x – FAQs

Was ist eine Ableitung in der Mathematik?

In der Mathematik messen die Ableitungen, wie sich eine Funktion ändert, wenn sich ihre Eingabe (unabhängige Variable) ändert. Die Ableitung einer Funktion f(x) wird als f'(x) oder (d /dx)[f(x)] bezeichnet.

Was ist die Ableitung von tan? ^-1 (X)?

Ableitung des Tan^-1(x) bezüglich x ist 1/1+x²

Was ist der Kehrwert von tan x?

Arctan ist die Umkehrfunktion der tan-Funktion und eine der inversen trigonometrischen Funktionen. Sie wird auch als Arctan-Funktion bezeichnet.

str.substring in Java

Was ist die Kettenregel in Arctan? (X)?

Die Kettenregel ist eine Differenzierungsregel. Für Arctan (u), die Kettenregel besagt, dass wenn f(x) = arctan(u), dann f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Wenn man dies auf arctan(x) anwendet, wobei u=x ist, erhält man 1/1+x²

Was ist die Ableitung von f(x) = x tan? ^-1 (X)?

Ableitung von f(x) = xtan^-1(x) kann mit der Produktregel ermittelt werden. Das Ergebnis ist Also ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Was ist das Anti-Derivat von Arctan x?

Die Stammfunktion von arctan x ist durch ∫tan gegeben^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Was ist ein Derivat?

Die Ableitung einer Funktion ist definiert als die Änderungsrate der Funktion in Bezug auf eine unabhängige Variable.