Bereich und Bereich einer Funktion: Domäne und Bereich sind die Eingabe- und Ausgabewerte einer Funktion. A Funktion ist definiert als die Beziehung zwischen einer Reihe von Eingaben und ihren Ausgaben, wobei die Eingabe nur eine Ausgabe haben kann, d. h. eine Domäne kann einen bestimmten Bereich ergeben. Es stellt eine Beziehung zwischen einer unabhängigen Variablen und einer abhängigen Variablen dar.

Eine Funktion wird normalerweise mit y = f(x) bezeichnet, wobei x die Eingabe ist. Eine Funktion ist eine Beziehung f von einer Menge X zu einer anderen Menge Y, wobei jedes Element in X genau eine Ausgabe in Y hat und diese als f: X→Y dargestellt wird. Hier wird die Menge X als Domäne einer Funktion bezeichnet, und die Menge Y wird als Co-Domäne der Funktion bezeichnet. Jede Funktion verfügt über eine Domäne, eine Kodomäne und einen Bereich, die bei der Definition der Funktion hilfreich sind.

In diesem Artikel erfahren wir mehr über den Definitionsbereich und den Bereich einer Funktion, wie man den Definitionsbereich und den Bereich einer Funktion berechnet, den Definitionsbereich und den Bereich eines Funktionsarbeitsblatts, den Definitionsbereich und den Bereich einer Funktion, Beispiele, den Definitionsbereich und den Bereich einer Funktion Funktionsgraph und andere im Detail.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind Domäne und Bereich?
• Intervallnotation von Domäne und Bereich
• Co-Domain und Reichweite
• Domäne einer Funktion
• Wie finde ich den Bereich einer Funktion?
• Bereich einer Funktion
• Wie finde ich den Bereich einer Funktion?
• So finden Sie Domäne und Bereich
• Beispiele für Domäne und Bereich einer Funktion
• Quadratischer Bereich und Bereich
• Bereich und Bereich von Exponentialfunktionen
• Bereich und Bereich trigonometrischer Funktionen
• Bereich und Bereich inverser trigonometrischer Funktionen
• Bereich und Bereich einer Absolutwertfunktion
• Bereich und Bereich einer Quadratwurzelfunktion
• Bereich und Bereich einer rationalen Funktion
• Domäne und Bereich der Protokollfunktion
• Domäne und Bereich der größten ganzzahligen Funktion
• Domäne und Bereich eines Funktionsgraphen
• Domäne und Bereich eines Funktionsarbeitsblatts
• Domänen- und Bereichsarbeitsblatt PDF
• Probleme in der Domänen- und Bereichspraxis
• Gelöste Fragen zu Domäne und Bereich

Was sind Domäne und Bereich?

Die Domäne von a Funktion ist definiert als die Menge aller möglichen Werte, für die die Funktion definiert werden kann. Der Bereich ist die Ausgabe, die eine Funktion für eine bestimmte Domäne liefert. Ein Kobereich einer Funktion ist die Menge möglicher Ergebnisse, wohingegen ein Bereich oder ein Bild einer Funktion eine Teilmenge eines Kobereichs und die Menge der Bilder der Elemente im Bereich ist. In der folgenden Abbildung ist beispielsweise f(x) = x³ist eine Funktion, deren Domäne die Menge X ist und deren Co-Domäne die Menge Y ist, während ihr Bereich {1, 8, 27, 64} ist.

Domäne von a Beziehung können auch mit den gleichen Methoden gefunden werden. Eine Relation ist ein Funktionstyp, bei dem ein Objekt im Domänenbereich mehr als einem Objekt im Bereichsbereich zugeordnet wird.

Für die gegebene Funktion f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Domäne = {1, 2, 3, 4}
• Co-Domäne = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Bereich = {1, 8, 27, 64}

Intervallnotation von Domäne und Bereich

Domäne und Bereich jeder Funktion können einfach in der Intervallnotation geschrieben werden. Angenommen, wir erhalten eine Funktion f(x) = sin x, dann werden ihr Definitionsbereich und ihr Bereich wie folgt geschrieben:

• Bereich von f(x) = (-∞, +∞)
• Bereich von f(x) = [-1, 1]

In ähnlicher Weise verwenden Sie die Intervall-Notation Wir können den Bereich und Bereich einer beliebigen Funktion darstellen.

So schreiben Sie Domäne und Bereich

Domäne und Bereich einer beliebigen Funktion können mithilfe der oben gezeigten Intervallnotation leicht dargestellt werden. Auf diese Weise verwenden wir Klammern, um eine Reihe von Zahlen zu beschreiben. Wir verwenden {}, [] und (), um den Bereich und den Bereich der Funktion darzustellen.

Co-Domain und Reichweite

Codomain ist die Menge der Werte einschließlich des Funktionsbereichs und kann einige zusätzliche Werte haben. Der Bereich ist die Teilmenge der Codomain. Dies wird am Beispiel erläutert,

Gegebene Funktion, f(x) = cos x, so dass f:R→R, dann

• Codomäne von f(x) = R
• Bereich von R = (-1, 1)

Domäne einer Funktion

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Werte, für die die Funktion definiert werden kann. Lassen Sie uns die Domänen verschiedener Funktionen durchgehen.

• Der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion wie einer linearen Funktion, einer quadratischen Funktion, einer kubischen Funktion usw. ist eine Menge aller reellen Zahlen (R).
• Der Definitionsbereich einer logarithmischen Funktion f(x) = log x ist x> 0 oder (0, ∞).
• Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion f(x) = √x ist die Menge der nicht negativen reellen Zahlen, die als [0, ∞) dargestellt wird.
• Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen (R).
• Eine rationale Funktion ist nur für Werte ihres Nenners ungleich Null definiert. Um also den Definitionsbereich einer rationalen Funktion y = f(x) zu bestimmen, setzen Sie den Nenner ≠ 0.

Regeln zum Finden des Bereichs einer Funktion

Verschiedene Regeln zum Finden des Definitionsbereichs der Funktion.

• Der Funktionsbereich der Polynomfunktionen (linear, quadratisch, kubisch usw.) ist R (alle reellen Zahlen).
• Definitionsbereich der Quadratwurzelfunktion √x ist x ≥ 0.
• Der Bereich der Exponentialfunktion ist R.
• Definitionsbereich der logarithmischen Funktion ist x> 0.
• Wir wissen, dass der Definitionsbereich einer rationalen Funktion y = f(x), Nenner ≠ 0.

Wie finde ich den Bereich einer Funktion?

Um den Bereich einer Funktion zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte aus:

Schritt 1: Prüfen Sie zunächst, ob die angegebene Funktion alle reellen Zahlen umfassen kann.

Schritt 2: Überprüfen Sie dann, ob die gegebene Funktion im Nenner des Bruchs einen Wert ungleich Null und im Nenner des Bruchs eine nicht negative reelle Zahl hat.

Schritt 3: In einigen Fällen unterliegt der Bereich einer Funktion bestimmten Einschränkungen, d. h. diese Einschränkungen sind die Werte, bei denen die gegebene Funktion nicht definiert werden kann. Zum Beispiel , der Definitionsbereich einer Funktion f(x) = 2x + 1 ist die Menge aller reellen Zahlen (R), aber der Definitionsbereich der Funktion f(x) = 1/ (2x + 1) ist die Menge aller reellen Zahlen außer -1/2.

Schritt 4: Manchmal wird zusammen mit der Funktion auch das Intervall angegeben, in dem die Funktion definiert ist. Zum Beispiel, f(x) = 2x²+3, -5

Nachdem alle oben besprochenen Schritte ausgeführt wurden, wird die Menge der verbleibenden Zahlen als Definitionsbereich einer Funktion betrachtet.

Beispiel einer Domain

Finden Sie den Definitionsbereich von f(x) = 1/(x ² - 1)

Lösung:

Gegeben,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Setzen wir nun x = -1, 1 in f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Somit ist bei -1 und 1 die Funktion f(x) undefiniert und abgesehen davon, dass f(x) an allen Punkten definiert ist. Somit ist der Definitionsbereich von f(x) R – {-1, 1}

Bereich einer Funktion

Bereich einer Funktion ist die Menge aller Ausgaben der Funktion. Für jede Funktion f: A→ B sind die Wertemengen in B der Bereich der Funktion. wenn f: A→ B eine Funktion mit f(x) = x ist²und A die Menge aller ganzen Zahlen ist, dann ist der Bereich der Funktion die Menge von Range = {1, 4, 9, 16, ….}. Wir müssen beachten, dass der Bereich der Funktion die Teilmenge des Co-Domänenbereichs der Funktion ist.

Regeln zum Ermitteln des Bereichs einer Funktion

Regeln zum Ermitteln des Bereichs einer Funktion sind:

• Für eine lineare Funktion beträgt der Bereich R.
• Für quadratische Funktion y = a(x – h)²+ k der Bereich ist:
  • y ≥ k, wenn a> 0
  • y ≤ k, wenn a <0
• Für die Quadratwurzelfunktion ist der Bereich y ≥ 0.
• Für die Exponentialfunktion ist der Bereich y> 0.
• Für die logarithmische Funktion beträgt der Bereich R.

Wie finde ich den Bereich einer Funktion?

Der Bereich oder das Bild einer Funktion ist eine Teilmenge einer Co-Domäne und die Menge der Bilder der Elemente in der Domäne.

Listenknoten in Java

Um den Bereich einer Funktion zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte aus

Betrachten wir eine Funktion y = f(x).

Schritt 1: Schreiben Sie die gegebene Funktion in ihrer allgemeinen Darstellungsform, d. h. y = f(x).

Schritt 2: Lösen Sie es nach x auf und schreiben Sie die erhaltene Funktion in der Form x = g(y).

Schritt 3: Nun ist der Definitionsbereich der Funktion x = g(y) der Bereich der Funktion y = f(x).

Somit wird der Bereich einer Funktion berechnet.

Beispiel für Reichweite

Finden Sie den Bereich der Funktion f(x) = 1/ (4x − 3).

Lösung:

Gegeben,

• f(x) = 1/ (4x − 3)

Die Funktion sei f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4y / (1 + 3y)

Hier beobachten wir, dass x für alle Werte außer y für y = −1/3 definiert ist, da wir für y = -1/3 einen undefinierten Wert von x erhalten.

Der Bereich von f(x) = 1/ (4x − 3) beträgt also (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

So finden Sie Domäne und Bereich

Um nun den Definitionsbereich und den Bereich einer bestimmten Funktion zu berechnen, studieren Sie das folgende Beispiel sorgfältig:

Für X = {1, 2, 3, 4, 5} und Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} und die Funktion definiert als f: , f(x) = x²Finden Sie den Definitionsbereich und den Bereich der folgenden Funktion f(x)

Domäne = Alle Eingabewerte = X

Bereich = {1, 4, 9, 16, 25} = Eine Teilmenge von Y

Der Definitionsbereich einer Funktion ist der Eingabewert, den wir für eine Funktion annehmen können, und der Bereich einer Funktion ist die Menge aller Ausgabewerte, die die Funktion erreicht. Nun wird die Domäne und der Bereich der Funktion anhand des unten hinzugefügten Beispiels ermittelt:

Wenn uns zum Beispiel eine Funktion F: X → Y gegeben wird, so dass F(x) = y + 1 und 4, 5, 6}. Hier,

• Bereich von F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Bereich von F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y ist die Codomäne von F(x), aber nicht der Bereich.

Domäne und Bereich verschiedener Arten von Funktionen werden in den nächsten Abschnitten besprochen.

Beispiele für Domäne und Bereich einer Funktion

• Lineare Funktionen : Fürf(x)=2x+3, der Definitionsbereich und der Bereich sind alle reelle Zahlen, da es keine Einschränkungen für x und f(x) gibt.
• Quadratische Funktionen : Für g(x)=x^2−4, der Bereich besteht ausschließlich aus reellen Zahlen, der Bereich jedochy≥−4weil die Ausgabe nicht kleiner als -4 sein darf.
• Rationale Funktionen : Für ℎ(x)=1/x-2​, der Bereich ist x≠2 (alle reellen Zahlen außer 2) und der Bereich umfasst auch alle reellen Zahlen außer ℎ(x)=0.

Quadratischer Bereich und Bereich

Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion vom Grad 2, also f(x): ax²+ bx = c = 0 ist eine quadratische Funktion. Und der Bereich und Bereich einer quadratischen Funktion ist:

Bereich von f(x): Menge reeller Zahlen = R

Bereich von f(x):

• y ≥ k, wenn a> 0, wobei k eine beliebige Konstante ist
• y ≤ k, wenn a <0, wobei k eine beliebige Konstante ist

Bereich und Bereich von Exponentialfunktionen

Der Exponentialfunktion ist definiert als:

f: R → R, f(x) = a ^X

Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion umfasst alle reellen Zahlen, und da die Exponentialfunktion immer eine positive Ausgabe liefert, ist der Bereich die Menge aller positiven reellen Zahlen.

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• Domain = R
• Reichweite = R⁺

Bereich und Bereich trigonometrischer Funktionen

Für trigonometrische Funktionen , die Domäne ist eine Menge aller reellen Zahlen (mit Ausnahme einiger Werte in einigen Funktionen) und der Bereich der trigonometrischen Funktionen variiert mit verschiedenen trigonometrischen Funktionen, so dass

• Bereich der Sinusfunktion = [-1, 1]
• Bereich der Kosinusfunktion = [-1, 1]
• Bereich der Kosekansfunktion = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Bereich der Sekantenfunktion = (−∞,−1]∪[1,+∞)

Der Bereich für Tangens- und Kotangensfunktionen ist unterschiedlich.

• Bereich der Tangentenfunktion = [-∞, ∞]
• Bereich der Kotangensfunktion = [-∞, ∞]

Dies kann in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden:

Bereich und Bereich inverser trigonometrischer Funktionen

Inverse Sinusfunktion

Domäne: [-1, 1] & Bereich: [- Pi /2 , Pi /2]

Umkehrkosinusfunktion

Domäne: [-1, 1] & Bereich: [0, Pi ]

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Umkehrtangensfunktion

Domain: (-infty, infty) & Bereich: (-π/2, π/2)

Inverse Kotangensfunktion

Domain: (-infty, infty) & Bereich: (0 , Pi )

Bereich und Bereich einer Absolutwertfunktion

Absolute Funktionen, auch Modulfunktion genannt, sind Funktionen, die für alle reellen Zahlen definiert sind, deren Ausgabe jedoch nur positive reelle Zahlen sind. Eine absolute Funktion liefert nur eine positive Ausgabe.

Eine absolute Funktion ist definiert als:

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Somit ist der Bereich und Bereich der Absolutwertfunktion:

• Domain = R
• Reichweite = R⁺

Bereich und Bereich einer Quadratwurzelfunktion

Für eine Quadratwurzelfunktion werden Domäne und Bereich wie folgt berechnet:

Angenommen, die Quadratwurzelfunktion lautet f(x) = √(ax + b)

Wir wissen, dass die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert ist, daher ist der Definitionsbereich der Quadratwurzelfunktion:

• Domain = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Was nun den Bereich der Quadratwurzelfunktion betrifft, wissen wir, dass eine absolute Quadratwurzel nur positive Werte liefert, sodass der Bereich ausschließlich aus positiven reellen Zahlen besteht.

• Reichweite = R⁺

Bereich und Bereich einer rationalen Funktion

A rationale Funktion ist eine Funktion, die als P(x)/Q(x) dargestellt wird, wobei P(x) und Q(x) Polynomfunktionen sind und Q(x) niemals Null ist. Der Definitionsbereich einer rationalen Funktion sind die Werte von x, für die Q(x) niemals Null ist. Und der Bereich der rationalen Funktion sind die Werte von y, die unter Verwendung verschiedener Werte von x gefunden werden, in y = P(x)/Q(x).

Domäne und Bereich der Protokollfunktion

Log-Funktion bzw Logarithmische Funktion sind die Funktion der Form y = ln x und der Definitionsbereich und Bereich der Log-Funktion ist:

• Bereich der Log-Funktion: (0, ∞)
• Bereich der Log-Funktion: (-∞, +∞)

Domäne und Bereich der größten ganzzahligen Funktion

Die Funktion „Größte Ganzzahl“ wird auch als Schrittfunktion bezeichnet und ist die Funktion, die die Ausgabe als nächste Ganzzahl kleiner oder gleich der angegebenen Zahl liefert.

• Bereich der größten Interger-Funktion: R
• Bereich der größten Ganzzahlfunktion: Z

Domäne und Bereich eines Funktionsgraphen

Wenn der Graph einer Funktion gegeben ist, ist es sehr einfach, den Definitionsbereich und den Bereich zu finden. Angenommen, wir erhalten eine beliebige Kurve, dann ist es unsere erste Priorität, herauszufinden, ob die Kurve eine Funktion ist oder nicht, und dies wird mithilfe von ermittelt vertikaler Linientest . Wenn die Kurve dann in der Form y = f(x) angegeben ist, dann ergibt die Projektion auf den Graphen auf der x-Achse den Bereich der Funktion und die Projektion des Graphen auf der y-Achse den Bereich der Funktion .

Domäne und Bereich eines Funktionsarbeitsblatts

1. Betrachten Sie die Funktion F ( X )=√( X −2​). Bestimmen Sie den Bereich und den Bereich dieser Funktion.
2. Gegeben die Funktion G ( X )=1/( X +3)​, finden Sie seine Domäne und seinen Bereich.
3. Für die Funktion H ( X )=( X ²−4​)/ X −2, bestimmen Sie den Bereich und den Bereich.
4. Entdecken Sie die Funktion k ( X )=ohne( X ). Was sind der Bereich und der Bereich dieser trigonometrischen Funktion?
5. Untersuchen Sie die Funktion M ( X )= Es ist ^X . Identifizieren Sie seine Domäne und seinen Bereich.

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