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Äquivalenzklasse

Äquivalenzklasse sind die Gruppe von Elementen einer Menge, die auf einem bestimmten Äquivalenzbegriff basiert, der durch eine Äquivalenzrelation definiert wird. Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die drei Eigenschaften erfüllt: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Äquivalenzklassen unterteilen die Menge S in disjunkte Teilmengen. Jede Teilmenge besteht aus Elementen, die unter der gegebenen Äquivalenzbeziehung miteinander in Beziehung stehen.

In diesem Artikel werden wir das Konzept der Äquivalenzklasse ausreichend detailliert diskutieren, einschließlich ihrer Definition, Beispiele, Eigenschaften sowie gelösten Beispiele.



Inhaltsverzeichnis

Was sind Äquivalenzklassen?

Eine Äquivalenzklasse ist der Name, den wir der Teilmenge von S geben, die alle äquivalenten Elemente enthält. Äquivalent hängt von einer bestimmten Beziehung ab, die als Äquivalenzbeziehung bezeichnet wird. Wenn zwischen zwei Elementen eine Äquivalenzbeziehung besteht, werden sie als äquivalent bezeichnet.



Definition der Äquivalenzklasse

Gegeben eine Äquivalenzrelation auf einer Menge S, ist eine Äquivalenzklasse in Bezug auf ein Element a in S die Menge aller Elemente in S, die mit a in Beziehung stehen, d. h.

[a] ODER x steht im Zusammenhang mit a

Betrachten Sie beispielsweise die Menge der ganzen Zahlen ℤ und die durch Kongruenz modulo n definierte Äquivalenzbeziehung. Zwei ganze Zahlen a und b gelten als äquivalent (bezeichnet als (a ≡ b mod(n)), wenn sie bei Division durch n den gleichen Rest haben. In diesem Fall ist die Äquivalenzklasse einer ganzen Zahl a die Menge aller ganzen Zahlen, die das haben Gleicher Rest wie a bei Division durch n.



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Was ist eine Äquivalenzrelation?

Jede Beziehung R wird genau dann als Äquivalenzrelation bezeichnet, wenn sie die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

  • Reflexivität: Für jedes Element a ist a auf sich selbst bezogen.
  • Symmetrie: Wenn a mit b in Beziehung steht, dann hängt auch b mit a zusammen.
  • Transitivität: Wenn a mit b verknüpft ist und b mit c verknüpft ist, dann ist a mit c verknüpft.

Lesen Sie mehr über Äquivalenzbeziehung .

Einige Beispiele für Äquivalenzbeziehungen sind:

Gleichheit auf einer Menge: Sei X eine beliebige Menge und definiere eine Beziehung R auf X, so dass a R b genau dann gilt, wenn a = b für a, b ϵ X.

  • Reflexivität: Für jedes a ϵ X, a = a (trivial wahr).
  • Symmetrie: Wenn a = b, dann ist b = a (trivialerweise wahr).
  • Transitivität: Wenn a = b und b = c, dann ist a = c (trivialerweise wahr).

Kongruenz modulo n: Sei n eine positive ganze Zahl und definiere eine Beziehung R auf den ganzen Zahlen ℤ, sodass a R b genau dann gilt, wenn a – b durch n teilbar ist.

  • Reflexivität: Für jedes a ϵ ℤ, a – a = 0 ist durch n teilbar.
  • Symmetrie: Wenn a – b durch n teilbar ist, dann ist -(a – b) = b – a auch durch n teilbar.
  • Transitivität: Wenn a – b durch n teilbar ist und b – c durch n teilbar ist, dann ist auch a – c durch n teilbar.

Beispiele für Äquivalenzklassen

Das bekannte Beispiel einer Äquivalenzrelation ist die Gleichheitsbeziehung (=). Mit anderen Worten: Zwei Elemente der gegebenen Menge sind einander äquivalent, wenn sie derselben Äquivalenzklasse angehören. Die Äquivalenzbeziehungen lassen sich anhand der folgenden Beispiele erklären:

Äquivalenzbeziehung für ganze Zahlen

Äquivalenzbeziehung: Kongruenz modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

  • Äquivalenzklasse von 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
  • Äquivalenzklasse 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
  • Äquivalenzklasse 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
  • Äquivalenzklasse 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
  • Äquivalenzklasse 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Äquivalenzbeziehung auf reellen Zahlen

Äquivalenzbeziehung: Absolute Differenz (a ~ b wenn |a – b| <1)

  • Äquivalenzklasse von 0: [0] = (-0,5, 0,5)
  • Äquivalenzklasse 1: [1] = (0,5, 1,5)
  • Äquivalenzklasse 2: [2] = (1,5, 2,5)
  • Äquivalenzklasse 3: [3] = (2,5, 3,5)

Mehr lesen,

Eigenschaften von Äquivalenzklassen

Die Eigenschaften von Äquivalenzklassen sind:

  • Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse.
  • Äquivalenzklassen sind disjunkt, d. h. der Schnittpunkt zweier Äquivalenzklassen ist eine Nullmenge.
  • Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist die Originalmenge.
  • Zwei Elemente sind genau dann äquivalent, wenn ihre Äquivalenzklassen gleich sind.

Mehr lesen,

  • Vereinigung von Mengen
  • Schnittmenge von Mengen
  • Disjunkte Mengen

Äquivalenzklassen und Partition

Gruppen von Elementen in einer Menge, die durch eine Äquivalenzbeziehung miteinander verbunden sind, während eine Sammlung dieser Äquivalenzklassen, die die gesamte Menge ohne Überlappungen abdeckt, als Partition bezeichnet wird.

Unterschied zwischen Äquilavalenzklassen und Partition

Der Hauptunterschied zwischen Äquilavalenzklassen und Partitionen ist in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Besonderheit Äquivalenzklassen Partitionen
Definition Mengen von Elementen, die unter einer Beziehung als äquivalent gelten. Eine Sammlung nicht leerer, paarweise disjunkter Teilmengen, sodass ihre Vereinigung die gesamte Menge darstellt.
Notation Wenn A ist eine Äquivalenzklasse, sie wird oft als [ A ] oder ein] R ​, wo A ist ein repräsentatives Element und R ist die Äquivalenzrelation. Eine Partition einer Menge X wird bezeichnet als { B 1​, B 2​,…, B N ​}, wo B ich ​ sind die disjunkten Teilmengen in der Partition.
Beziehung Äquivalenzklassen bilden eine Partition der zugrunde liegenden Menge. Eine Partition kann aus einer Äquivalenzrelation entstehen oder auch nicht.
Kardinalität Äquivalenzklassen können unterschiedliche Kardinalitäten haben. Alle Teilmengen in der Partition haben die gleiche Kardinalität.
Beispiel

Betrachten Sie die Menge der ganzen Zahlen und die Äquivalenzrelation, die bei Division durch 5 denselben Rest haben.

Äquivalenzklassen sind {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} und {…,−4,1 ,6,…} usw.

Betrachten Sie die Menge der ganzen Zahlen, aufgeteilt in gerade und ungerade Zahlen:

{…,−4,−2,0,2,4,…} und {…,−3,−1,1,3,5,…}.
Schnittpunkt der Klassen Äquivalenzklassen sind entweder disjunkt oder identisch. Partitionen bestehen aus disjunkten Teilmengen.

Gelöste Beispiele zur Äquivalenzklasse

Beispiel 1: Beweisen Sie, dass die Relation R ein Äquivalenztyp in der Menge P= { 3, 4, 5,6 } ist, die durch die Relation R = (p, q) gegeben ist:.

Lösung:

Gegeben: R = (p, q):. Wobei p, q zu P gehört.

Reflexive Eigenschaft

Aus der bereitgestellten Beziehung |p – p| = | 0 |=0.

  • Und 0 ist immer gerade.
  • Daher gilt |p – p| ist gerade.
  • Daher bezieht sich (p, p) auf R

Also ist R reflexiv.

Symmetrische Eigenschaft

Aus der gegebenen Beziehung |p – q| = |q – p|.

  • Wir wissen, dass |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
  • Daher |p – q| ist gerade.
  • Weiter |q – p| ist auch gerade.
  • Wenn also (p, q) ∈ R, dann gehört auch (q, p) zu R.

Daher ist R symmetrisch.

Transitive Eigenschaft

  • Wenn |p – q| gerade ist, dann ist (p-q) gerade.
  • Ebenso, wenn |q-r| gerade ist, dann ist auch (q-r) gerade.
  • Die Summe gerader Zahlen ist zu gerade.
  • Wir können es also so angehen, dass p – q+ q-r gerade ist.
  • Als nächstes ist p – r noch gerader.

Entsprechend,

  • |p – q| und |q-r| gerade ist, dann |p – r| ist gerade.
  • Wenn also (p, q) ∈ R und (q, r) ∈ R, dann bezieht sich (p, r) auch auf R.

Daher ist R transitiv.

Beispiel 2: Betrachten Sie A = {2, 3, 4, 5} und R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Lösung:

Gegeben: A = {2, 3, 4, 5} und

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Beziehung R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

Damit R eine Äquivalenzbeziehung ist, muss R drei Eigenschaften erfüllen, nämlich reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Reflexiv : Relation R ist reflexiv, weil (5, 5), (2, 2), (3, 3) und (4, 4) ∈ R.

Symmetrisch : Beziehung R ist symmetrisch, da immer dann (a, b) ∈ R, (b, a) sich auch auf R bezieht, d. h. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitiv : Die Beziehung R ist transitiv, denn wenn sich (a, b) und (b, c) auf R beziehen, bezieht sich (a, c) auch auf R, d. h. (3, 5) ∈ R und (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Dementsprechend ist R reflexiv, symmetrisch und transitiv.

R ist also eine Äquivalenzrelation.

Übungsaufgaben zur Äquivalenzklasse

Problem 1: aRb, wenn a+b gerade ist. Bestimmen Sie, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt und welche Eigenschaften sie hat.

Problem 2: xSy, wenn x und y denselben Geburtsmonat haben. Analysieren Sie, ob es sich um eine Äquivalenzbeziehung handelt.

Problem 3: Betrachten Sie A = {2, 3, 4, 5} und R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Bestätigen Sie, dass R eine Äquivalenzbeziehung ist.

Problem 4: Beweisen Sie, dass die Relation R ein Äquivalenztyp in der Menge P= { 3, 4, 5,6 } ist, die durch die Relation R = is even gegeben ist.

Äquivalenzklasse: FAQs

1. Was ist die Äquivalenzklasse?

Eine Äquivalenzklasse ist eine Teilmenge innerhalb einer Menge, die durch die Gruppierung aller Elemente gebildet wird, die unter einer bestimmten Äquivalenzrelation einander äquivalent sind. Es repräsentiert alle Mitglieder, die durch diese Beziehung als gleich angesehen werden.

2. Was ist das Symbol für die Äquivalenzklasse?

Das Symbol für eine Äquivalenzklasse wird normalerweise als [a] geschrieben, wobei a ein repräsentatives Element der Klasse ist. Diese Notation bezeichnet die Menge aller Elemente, die unter einer bestimmten Äquivalenzrelation zu a äquivalent sind.

3. Wie findet man die Äquivalenzklasse einer Menge?

Um die Äquivalenzklasse einer Menge zu ermitteln, gehen Sie folgendermaßen vor:

Schritt 1: Definieren Sie eine Äquivalenzbeziehung.

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Schritt 2: Wählen Sie ein Element aus der Gruppe aus.

Schritt 3: Identifizieren Sie äquivalente Elemente zu den ausgewählten Elementen.

Schritt 4: Bilden Sie die Äquivalenzklasse, die alle Elemente enthält, die dem ausgewählten Element entsprechen.

4. Was ist der Unterschied zwischen Äquivalenzklasse und Partition?

Äquivalenzklassen sind Teilmengen, die durch eine Äquivalenzrelation gebildet werden, während Partitionen nicht überlappende Teilmengen sind, die die gesamte Menge abdecken. Jede Äquivalenzklasse ist eine Teilmenge in einer Partition, aber nicht jede Partition ergibt sich aus einer Äquivalenzrelation.

5. Was ist eine Äquivalenzrelation?

Eine reflexive, symmetrische und transitive Beziehung, die eine Menge in disjunkte Teilmengen unterteilt.