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Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung sind wichtige statistische Maße. Die Varianz quantifiziert die Abweichung der Datenpunkte vom Mittelwert, während die Standardabweichung die Datenverteilung misst. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Standardabweichung in denselben Einheiten wie der Mittelwert angegeben wird, während die Varianz in quadrierten Einheiten angegeben wird. Tauchen Sie mit Definitionen, Formeln und einem anschaulichen Beispiel tiefer in diese Konzepte ein.

Bedeuten

Bedeuten ist der Durchschnitt eines bestimmten Datensatzes. Betrachten wir das folgende Beispiel



2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Diese acht Datenpunkte haben den Mittelwert (Durchschnitt) von 5:

frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.

Formel: mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}

Wo ? ist Mittelwert und x1, X2, X3…., Xichsind Elemente. Beachten Sie auch, dass der Mittelwert manchmal mit bezeichnet wird egin{array}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{array}

Varianz

Varianz ist die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen allen Zahlen und Mittelwerten.
Abweichung zum obigen Beispiel. Berechnen Sie zunächst die Abweichungen jedes Datenpunkts vom Mittelwert und quadrieren Sie das Ergebnis jedes einzelnen:

Formel: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}

Varianz = extup{Variationskoeffizient} =frac{ extup{Standardabweichung}}{Mittelwert}*100= 4.



Wo ? ist der Mittelwert, N ist die Gesamtzahl der Elemente oder die Verteilungshäufigkeit.


Standardabweichung

Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Es ist ein Maß für das Ausmaß, in dem die Daten vom Mittelwert abweichen.

Standardabweichung (für die oben genannten Daten) = = 2

Warum wählten Mathematiker das Quadrat und dann die Quadratwurzel, um die Abweichung zu ermitteln? Warum bildeten sie nicht einfach die Differenz der Werte?
Ein Grund dafür ist, dass die Summe der Differenzen gemäß der Definition des Mittelwerts 0 wird. Die Summe absoluter Differenzen könnte eine Option sein, aber mit absoluten Differenzen war es schwierig, viele schöne Theoreme zu beweisen. [Quelle: MIT-Videovorlesung um 1:19]



  1. Der Wert der Standardabweichung ist 0, wenn alle Einträge in der Eingabe gleich sind.
  2. Wenn wir eine Zahl, beispielsweise 7, zu allen Werten im Eingabesatz addieren (oder subtrahieren), wird der Mittelwert um 7 erhöht (oder verringert), aber die Standardabweichung ändert sich nicht.
  3. Wenn wir alle Werte im Eingabesatz mit einer Zahl 7 multiplizieren, werden sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung mit 7 multipliziert. Wenn wir jedoch alle Eingabewerte mit einer negativen Zahl, beispielsweise -7, multiplizieren, wird der Mittelwert mit -7 multipliziert, aber die Die Standardabweichung wird mit 7 multipliziert.
  4. Standardabweichung und Varianz sind ein Maß, das angibt, wie weit die Zahlen verteilt sind. Während die Varianz Ihnen eine ungefähre Vorstellung von der Streuung gibt, ist die Standardabweichung konkreter und liefert Ihnen genaue Abstände vom Mittelwert.
  5. Mittelwert, Median und Modus sind das Maß für die zentrale Tendenz der Daten (entweder gruppiert oder nicht gruppiert).

Überprüfen:

  • Varianz und Standardabweichung
  • Reale Anwendungen der Standardabweichung
  • Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung

Die folgenden Fragen wurden in den GATE-Prüfungen des Vorjahres gestellt Verweise:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung – FAQs

Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Varianz?

Standardabweichung und Varianz messen beide die Streuung von Datenpunkten in einem Datensatz relativ zum Mittelwert. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Varianz den Durchschnitt der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert misst, während die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz ist und ein Maß für die Streuung in denselben Einheiten wie die Daten liefert.



Wie berechnen Sie Mittelwert, Varianz und Standardabweichung?

  • Mittelwert: Alle Zahlen addieren und durch die Anzahl der Zahlen dividieren.
  • Varianz: Berechnen Sie den Mittelwert, subtrahieren Sie den Mittelwert von jeder Zahl, quadrieren Sie das Ergebnis, summieren Sie diese quadrierten Ergebnisse und dividieren Sie durch die Anzahl der Zahlen minus eins.
  • Standardabweichung: Ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz.

Warum sind Mittelwert, Varianz und Standardabweichung wichtig?

Diese statistischen Maße sind entscheidend für das Verständnis der Datenverteilung. Der Mittelwert liefert einen zentralen Wert, während Varianz und Standardabweichung Einblicke in die Variabilität oder Streuung der Daten geben und so die Konsistenz oder Volatilität des Datensatzes anzeigen.

Können Varianz und Standardabweichung negativ sein?

Nein, Varianz und Standardabweichung können nicht negativ sein. Die Varianz wird als Durchschnitt der quadrierten Differenzen vom Mittelwert berechnet, was zu einem nicht negativen Wert führt. Da die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz ist, kann sie auch nicht negativ sein.

Wie wirken sich Ausreißer auf Mittelwert, Varianz und Standardabweichung aus?

Ausreißer können den Mittelwert erheblich beeinflussen, indem sie ihn in Richtung des Ausreißerwerts ziehen und so die zentrale Tendenz des Datensatzes nicht genau widerspiegeln. Varianz und Standardabweichung sind ebenfalls betroffen, da sie zunehmen, was auf eine größere Streuung der Daten aufgrund der Ausreißer hinweist.