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Eine rekursive Funktion ist eine Funktion, deren Wert an jedem Punkt aus den Werten der Funktion an einigen vorherigen Punkten berechnet werden kann. Angenommen, eine Funktion f(k) = f(k-2) + f(k-3), die über eine nicht negative ganze Zahl definiert ist. Wenn wir den Wert der Funktion bei k = 0 und k = 2 haben, können wir ihren Wert auch bei jeder anderen nicht negativen ganzen Zahl ermitteln. Mit anderen Worten können wir sagen, dass sich eine rekursive Funktion auf eine Funktion bezieht, die ihre eigenen vorherigen Punkte verwendet, um nachfolgende Terme zu bestimmen und so eine Termfolge bildet. In diesem Artikel lernen wir rekursive Funktionen zusammen mit bestimmten Beispielen kennen.

Was ist Rekursion?

Unter Rekursion versteht man einen Prozess, bei dem sich ein rekursiver Prozess wiederholt. Rekursiv ist eine Art Funktion aus einer oder mehreren Variablen, die normalerweise von einem bestimmten Prozess angegeben wird, der Werte dieser Funktion erzeugt, indem er kontinuierlich eine bestimmte Beziehung zu bekannten Werten der Funktion implementiert.

Hier wollen wir die Rekursion anhand eines Beispiels verstehen.

Angenommen, Sie wollen vom Erdgeschoss aus über eine Treppe in den ersten Stock gelangen. Um dies zu erreichen, müssen Sie also einen Schritt nach dem anderen unternehmen. Es gibt nur einen Weg zur zweiten Stufe, nämlich zur steilen ersten Stufe. Angenommen, Sie möchten mit dem dritten Schritt fortfahren. Sie müssen zuerst den zweiten Schritt machen. Hier ist der Wiederholungsvorgang deutlich zu erkennen. Hier können Sie sehen, dass Sie mit jedem nächsten Schritt den vorherigen Schritt wie eine wiederholte Sequenz hinzufügen, mit dem gleichen Unterschied zwischen den einzelnen Schritten. Dies ist das eigentliche Konzept hinter der rekursiven Funktion.

Schritt 2: Stufe 1 + unterste Stufe.

Schritt 3: Stufe 2 + Stufe 1 + unterste Stufe.

Schritt 4: Stufe 3 + Stufe 2 + Stufe 1 + unterste Stufe usw.

Eine Menge natürlicher Zahlen ist das grundlegende Beispiel für rekursive Funktionen, die von eins bis unendlich reichen, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….Infinitiv. Daher zeigt die Menge der natürlichen Zahlen eine rekursive Funktion, da Sie einen gemeinsamen Unterschied zwischen jedem Term als 1 erkennen können; Es wird jedes Mal angezeigt, wenn sich der nächste Begriff durch den vorherigen Begriff wiederholt.

Was ist eine rekursiv definierte Funktion?

Die rekursiv definierten Funktionen bestehen aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um die Definition des kleinsten Arguments, im zweiten Teil um die Definition des n-ten Termes. Das kleinste Argument wird mit f (0) oder f (1) bezeichnet, während das n-te Argument mit f (n) bezeichnet wird.

Folgen Sie dem angegebenen Beispiel.

Angenommen, eine Folge sei 4,6,8,10

Die explizite Formel für die obige Sequenz lautet f (n)= 2n + 2

Die explizite Formel für die obige Sequenz ist gegeben durch

f (0) = 2

f(n) = f(n-1) + 2

Java-String-Verkettung

Jetzt können wir die Sequenzterme erhalten, indem wir die rekursive Formel wie folgt anwenden: f(2 ) f (1) + 2

f(2) = 6

f (0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f (1) = 2 + 2 = 4

f(2 ) = f (1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

f(3 ) = f (2) + 2

f(3) = 6 + 2 = 8

Mit Hilfe der obigen rekursiven Funktionsformel können wir den nächsten Term bestimmen.

Was macht die Funktion rekursiv?

Um eine Funktion rekursiv zu machen, ist ein eigener Term erforderlich, um den nächsten Term in der Sequenz zu berechnen. Wenn Sie beispielsweise den n-ten Term der gegebenen Folge berechnen möchten, müssen Sie zunächst den vorherigen Term und den Term vor dem vorherigen Term kennen. Daher müssen Sie den vorherigen Term kennen, um herauszufinden, ob die Sequenz rekursiv ist oder nicht. Daraus können wir schließen, dass die Funktion als rekursive Funktion betrachtet wird, wenn sie den vorherigen Term benötigt, um den nächsten Term in der Sequenz zu bestimmen.

Die Formel der rekursiven Funktion

Wenn ein₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, ……..A_N,……sind viele Mengen oder eine Folge, dann muss eine rekursive Formel alle Terme berechnen, die zuvor existierten, um den Wert von an zu berechnen

A_N= a_{n-1 +}A₁

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Die obige Formel kann auch als rekursive Formel für arithmetische Sequenzen definiert werden. An der oben erwähnten Folge können Sie deutlich erkennen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt, die aus dem ersten Term, gefolgt von den anderen Termen und einem gemeinsamen Unterschied zwischen jedem Term besteht. Der gemeinsame Unterschied bezieht sich auf eine Zahl, die Sie addieren oder subtrahieren.

Eine rekursive Funktion kann auch als geometrische Folge definiert werden, bei der die Zahlenmengen oder eine Folge einen gemeinsamen Faktor oder ein gemeinsames Verhältnis zwischen ihnen haben. Die Formel für die geometrische Folge lautet:

A_N= a_{n-1 *}R

Normalerweise wird die rekursive Funktion in zwei Teilen definiert. Das erste ist die Aussage des ersten Termes zusammen mit der Formel, und ein anderes ist die Aussage des ersten Termes zusammen mit der Regel, die sich auf die aufeinanderfolgenden Terme bezieht.

So schreiben Sie eine rekursive Formel für eine arithmetische Folge

Um die rekursive Formel für die arithmetische Sequenzformel zu schreiben, befolgen Sie die angegebenen Schritte

Schritt 1:

Avl-Baumrotation

Im ersten Schritt müssen Sie sicherstellen, ob die angegebene Folge arithmetisch ist oder nicht (dazu müssen Sie zwei aufeinanderfolgende Terme addieren oder subtrahieren). Wenn Sie die gleiche Ausgabe erhalten, wird die Folge als arithmetische Folge betrachtet.

Schritt 2:

Jetzt müssen Sie den gemeinsamen Unterschied für die gegebene Sequenz finden.

Schritt 3:

Formulieren Sie die rekursive Formel unter Verwendung des ersten Termes und erstellen Sie dann die Formel unter Verwendung des vorherigen Termes und der gemeinsamen Differenz. Somit erhalten Sie das angegebene Ergebnis

A_N= a_{n-1 +}D

Jetzt verstehen wir die angegebene Formel anhand eines Beispiels

Angenommen, 3,5,7,9,11 ist eine gegebene Folge

Im obigen Beispiel können Sie leicht erkennen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt, da jeder Term in der Folge um 2 erhöht wird. Der gemeinsame Unterschied zwischen zwei Termen beträgt also 2. Wir kennen die Formel der rekursiven Folge

A_N= a_{n-1 +}D

Gegeben,

d = 2

A₁= 3

Also,

A₂= a_(2-1)+ 2 = ein₁+2 = 3+2 = 5

A₃= a_(3-1)+ 2 = ein₂+2 = 5+2 = 7

A₄= a_(4-1)+ 2 = ein₃+2 = 7+2 = 9

A₅= a_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, und der Prozess geht weiter.

Wie schreibe ich eine rekursive Formel für eine geometrische Folge?

Um die rekursive Formel für die geometrische Sequenzformel zu schreiben, befolgen Sie die angegebenen Schritte:

Schritt 1

Im ersten Schritt müssen Sie sicherstellen, ob die gegebene Folge geometrisch ist oder nicht (dazu müssen Sie jeden Term mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren). Wenn Sie von einem Term zum nächsten die gleiche Ausgabe erhalten, wird die Folge als geometrische Folge betrachtet.

Schritt 2

Jetzt müssen Sie das gemeinsame Verhältnis für die gegebene Sequenz ermitteln.

Schritt 3

Formulieren Sie die rekursive Formel unter Verwendung des ersten Termes und erstellen Sie dann die Formel unter Verwendung des vorherigen Termes und des gemeinsamen Verhältnisses. Somit erhalten Sie das angegebene Ergebnis

A_N= r_*A_n-1

Nun verstehen wir die angegebene Formel anhand eines Beispiels

Angenommen, 2,8,32, 128, ist eine gegebene Folge

10 von 10

Im obigen Beispiel können Sie leicht erkennen, dass es sich um die geometrische Folge handelt, da der nachfolgende Term in der Folge durch Multiplikation von 4 mit dem vorherigen Term erhalten wird. Das gemeinsame Verhältnis zwischen zwei Termen beträgt also 4. Wir kennen die Formel der rekursiven Folge

A_N= r_*A_n-1

A_N= 4

A_n-1= ?

Gegeben,

r = 4

A₁= 2

Also,

A₂= a_(2-1)* 4 = a₁+ * 4 = 2* 4 = 8

A₃= a_(3-1)* 4 = a₂* 4 = 8 * 4 = 32

A₄= a_(4-1)* 4 = a₃* 4 = 32* 4 = 128, und der Prozess wird fortgesetzt.

Beispiel einer rekursiven Funktion

Beispiel 1:

Bestimmen Sie die rekursive Formel für die Folge 4,8,16,32,64, 128,….?

Lösung:

Gegebene Sequenz 4,8,16,32,64,128,…..

Java-Programmierung von Primzahlen

Die gegebene Folge ist geometrisch, denn wenn wir den vorhergehenden Term multiplizieren, erhalten wir die nachfolgenden Terme.

Um die rekursive Formel für die gegebene Sequenz zu bestimmen, müssen wir sie in tabellarischer Form schreiben

Daher ist die rekursive Formel im Funktionsbegriff gegeben durch

f(1) = 4, f(n) . f(n- 1)

In der tiefgestellten Notation ist die rekursive Formel gegeben durch

A₁= 4, a_N= 2. a_n-1