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Symbole festlegen

Mengensymbole sind ein Sammelbegriff für alle Symbole der Mengenlehre, dem Zweig der Mathematik, der sich mit der Ansammlung von Objekten und ihren verschiedenen Eigenschaften befasst. Eine Menge ist eine genau definierte Sammlung von Objekten, wobei jedes Objekt in der Sammlung als Element bezeichnet wird und jedes Element der Menge einer ganz bestimmten Regel folgt. Im englischen Alphabet werden im Allgemeinen Großbuchstaben zur Bezeichnung von Mengen verwendet, und einige Buchstaben bezeichnen bestimmte Mengen in der Mengenlehre.

Beim Studium dieses Zweigs der Mathematik werden viele Symbole verwendet. Einige der gebräuchlichsten Symbole sind {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø usw. Wir werden alle diese Symbole im Artikel ausführlich besprechen einschließlich der Geschichte dieser Symbole. Beginnen wir also unsere Reise und lernen die verschiedenen Mengensymbole kennen, die in der Mengenlehre verwendet werden.



Set-Symbole

Inhaltsverzeichnis

Was sind Set-Symbole?

Mengensymbole sind Grundbausteine ​​der Mathematik, mit denen Gruppen von Objekten, Zahlen oder Elementen mit ähnlichen Eigenschaften dargestellt und beschrieben werden. Diese Symbole bieten einen klaren und konsistenten Ansatz zur Vermittlung schwieriger Vorstellungen über Sets und ihre Interaktionen. Das typischste Mengensymbol ist ∈, das für Zugehörigkeit steht und als „gehört zu“ ausgesprochen wird. ∈ gibt an, dass ein Element Teil einer bestimmten Menge ist.

Im Gegensatz dazu bedeutet ∉, dass ein Element nicht Teil einer Menge ist. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ usw. sind einige der häufigsten Beispiele für Symbole in der Mengenlehre. Diese und andere Symbole ermöglichen es Mathematikern, Operationen zu definieren, Operationen zu spezifizieren und exakte mathematische Aussagen zu formulieren und so den Grundstein für eine Vielzahl mathematischer Fachgebiete und praktischer Anwendungen zu legen.



Lesen Sie mehr über Mengenlehre .

Beispiel für festgelegte Symbole

Zur Veranschaulichung verwenden wir das Symbol, das für den Schnittpunkt von Mengen steht. Seien E und F zwei Mengen, so dass Menge E = {1, 3, 5, 7} und Menge F = {3, 6, 9}. Dann stellt das Symbol ∩ den Schnittpunkt zwischen beiden Mengen dar, d. h. E ∩ F.

Hier enthält E ∩ ​​F alle Elemente, die in beiden Mengen E und F gemeinsam sind, also {3}.



Zusammenfassend wird das ∩-Symbol verwendet, um die Elemente zu identifizieren, die von zwei oder mehr Mengen gemeinsam genutzt werden. Die Schnittmenge erzeugt nur Mengen, die Elemente haben, die von allen Mengen, die sich schneiden, gemeinsam sind.

Lerne mehr über Schnittmenge von Mengen .

Geschichte der festgelegten Symbole

Zwischen 1874 und 1897 rief ein deutscher Mathematiker an Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor entwickelte eine abstrakte Theorie namens Mengenlehre. Er schlug es vor, während er einige sachliche Bedenken im Zusammenhang mit bestimmten Formen unendlicher Mengen reeller Zahlen untersuchte. Eine Menge ist dem Konzept zufolge eine Gruppierung bestimmter definierter und unterschiedlicher Beobachtungsobjekte. Alle diese Dinge werden als Mitglieder oder Komponenten der Menge bezeichnet. Die Eigenschaft reeller algebraischer Zahlenkombinationen ist die Grundlage von Cantors Theorie.

Grundkonzepte von Mengensymbolen

Auf verschiedenen Ebenen der Mengenlehre werden verschiedene Ideen behandelt. Mengendarstellung, Mengentypen, Mengenoperationen (wie Vereinigung und Schnittmenge), Mengenkardinalität und Beziehungen usw. gehören zu den wesentlichen Konzepten. Einige der wesentlichen Konzepte der Mengenlehre sind wie folgt:

Universelles Set

Der Großbuchstabe „U“ wird üblicherweise zur Darstellung einer Universalmenge verwendet. Gelegentlich wird es auch durch ε(epsilon) symbolisiert. Es handelt sich um eine Menge, die alle Elemente anderer Mengen sowie ihrer eigenen enthält.

Komplement der Menge

Das Komplement einer Menge umfasst alle Bestandteile der Universalmenge mit Ausnahme der Elemente der untersuchten Menge. Wenn A eine Menge ist, enthalten ihre Komplemente alle Mitglieder der angegebenen universellen Menge (U), die nicht in A enthalten sind. Das Komplement einer Menge wird als A‘ oder A angegeben oder ausgedrücktCund ist definiert als:

A’= {x ∈ U: x ≠ A}

Lesen Sie mehr über Komplement der Menge .

Builder-Notation festlegen

Die Set Builder-Notation ist die Methode, Mengen so darzustellen, dass wir nicht alle Elemente der Menge auflisten müssen, sondern nur die Regel angeben müssen, der alle Elemente der Menge folgen. Einige Beispiele für diese Notationen sind:

Wenn A eine Sammlung reeller Zahlen ist.

A = {x : x ∈ R}

Wenn A eine Sammlung natürlicher Zahlen ist.

A = {x : x> 0 und x ∈ Z]

Wo MIT ist eine Menge von ganzen Zahlen.

Mehr lesen, Darstellung von Mengen .

Symbole in der Mathematik festlegen

Um auf verschiedene Dinge und Mengen zu verweisen, verwendet das Mengensymbol häufig eine vordefinierte Liste variabler Symbole. Um die Mengennotation lesen und erstellen zu können, müssen Sie zunächst verstehen, wie Sie Symbole in verschiedenen Situationen verwenden. Schauen wir uns in dieser Kategorie alle Notationen und Symbole der Mengenlehre an, die sich auf Operationen, Beziehungen usw. beziehen, zusammen mit ihren Bedeutungen und Beispielen.

Im Zahlensystem verwendete Symbole

Die in Zahlensystemen verwendeten Symbole sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Symbol Name Bedeutung/Definition Beispiel
W oder 𝕎 Ganze Zahlen Das sind die natürlichen Zahlen.

Wir wissen N = {1, 2, 3, . . . }

1 ∈ N
N oder ℕ Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen werden manchmal als Zählzahlen bezeichnet, die mit 1 beginnen.

Wir wissen, dass W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }

0 ∈ W
Z oder ℤ Ganze Zahlen Ganze Zahlen sind mit ganzen Zahlen vergleichbar, außer dass sie auch negative Werte enthalten.

Wir wissen Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .}

-6 ∈ Z
Q oder ℚ Rationale Zahlen Rationale Zahlen sind solche, die als a/b angegeben werden. In diesem Fall sind a und b ganze Zahlen mit b ≠ 0.

Q= x=a/b, a, b ∈ Z und b ≠ 0

2/6 ∈ Q

P oder ℙ

Irrationale Zahlen

Diejenigen Zahlen, die nicht in der Form a/b dargestellt werden können, werden irrationale Zahlen genannt, d. h. alle reellen Zahlen, die nicht rational sind.

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P = x

π und ∈ P
R oder ℝ Reale Nummern Ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden reelle Zahlen.

R= x

6,343434 ∈ R
C oder ℂ Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl ist eine Kombination aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl. C= z = a + bi, a, b ∈ R

6 + 2 ich ∈ C

Mengenlehre-Symbole

Trennzeichen sind Sonderzeichen oder Zeichenfolgen, die den Anfang oder das Ende einer bestimmten Anweisung oder eines bestimmten Funktionskörpers einer bestimmten Menge angeben. Im Folgenden sind die Symbole und Bedeutungen der Trennzeichenmengentheorie aufgeführt:

Symbol Name Bedeutung/Definition Beispiel
{} Satz Innerhalb dieser Klammern befindet sich eine Reihe von Elementen/Zahlen/Alphabeten in einer Menge. {15, 22, c, d}
| So dass Diese werden verwendet, um eine Menge zu erstellen, indem sie angeben, was darin enthalten ist.

q> 6

Die Anweisung gibt die Sammlung aller qs an, sodass q größer als 6 ist.
: So dass Das :-Symbol wird manchmal anstelle des | verwendet Symbol. Der obige Satz kann alternativ als q geschrieben werden.

Mengen und relationale Symbole in der Mengentheorie

Symbole der Mengenlehre werden verwendet, um eine bestimmte Menge zu identifizieren und um eine Beziehung zwischen verschiedenen Mengen oder Beziehungen innerhalb einer Menge zu bestimmen/anzuzeigen, beispielsweise die Beziehung zwischen einer Menge und ihrem Bestandteil. Die folgende Tabelle zeigt solche Beziehungssymbole zusammen mit ihrer Bedeutung und Beispielen:

Symbol Name Bedeutung/Definition Beispiel
a ∈ A Ist eine Komponente von Dies gibt an, dass ein Element Mitglied einer bestimmten Menge ist. Wenn eine Menge A={12, 17, 18, 27} ist, können wir sagen, dass 27 ∈ a.
b ∉ B Ist keine Komponente von Dies zeigt an, dass ein Element nicht zu einer bestimmten Menge gehört. Wenn eine Menge B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, dann gehört kein anderes Element als das in der Menge enthaltene Element zu dieser Menge. Als Beispiel: 18 ∉ B.
A = B Gleichheitsverhältnis Die bereitgestellten Sets sind in dem Sinne gleichwertig, dass sie die gleichen Komponenten enthalten. Wenn Sie P={16, 22, a} und Q={16, 22, a} setzen, dann ist P=Q.
A ⊆ B Teilmenge Wenn alle Elemente von A in B vorhanden sind, ist A eine Teilmenge von B.

A= {31, b} und B={a, b, 31, 54}

{31, b} ⊆ {a, b, 31, 54}
A ⊂ B Echte Teilmenge P heißt echte Teilmenge von B, wenn es eine Teilmenge von B und ungleich B ist.

A= {24, c} und B={a, c, 24, 50}

A ⊂ B
A ⊄ B Keine Teilmenge Folglich ist Menge A keine Teilmenge von Menge B.

A = {67,52} und B = {42,34,12}

A ⊄ B
A ⊇ B Obermenge A ist eine Obermenge von B, wenn Menge B eine Teilmenge von A ist. Menge A kann gleich oder größer als Menge B sein.

A = {14, 18, 26} und B={14, 18, 26}

{14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26}
A ⊃ B Richtige Obermenge Menge A hat mehr Elemente als Menge B, da sie eine Obermenge von B ist. {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26}
A ⊅ B Keine Obermenge Wenn nicht alle Elemente von B in A vorhanden sind, ist A keine echte Obermenge von B.

A = {11, 12, 16} und B = {11, 19}

{11, 12, 16} ⊅ {11, 19}
Ö Leeres Set Eine leere oder Nullmenge ist eine Menge, die keine Elemente enthält. {22, y} ∩ {33, a} = Ø
IN Universelles Set Eine Menge, die Elemente aus allen relevanten Mengen enthält, einschließlich der eigenen. Wenn A = {a,b,c} und B = {1,2,3,b,c}, dann ist U = {1,2,3,a,b,c}
|A| oder n{A} Kardinalität einer Menge Die Kardinalität bezieht sich auf die Anzahl der Elemente in einer bestimmten Sammlung. Wenn A= {17, 31, 45, 59, 62}, dann |A|=5.
P(X) Kraftset Eine Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen der Menge X, einschließlich der Menge selbst und der Nullmenge.

Wenn X = {12, 16, 19}

P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}}

Operatorbasierte Symbole in der Mengenlehre

Anhand von Beispielen werden wir mengentheoretische Symbole und Bedeutungen für zahlreiche Operationen wie Vereinigung, Komplement, Schnittmenge, Differenz und andere untersuchen.

Symbol Name Bedeutung/Definition Beispiel
A ∪ B Vereinigung von Mengen Durch die Vereinigung von Mengen entsteht eine völlig neue Menge, indem alle Komponenten in den bereitgestellten Mengen kombiniert werden.

A = {p, q, u, v, w}

B = {r, s, x, y}

A ∪ B (Eine Vereinigung B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y}
A ∩ B Schnittmenge von Mengen Die gemeinsame Komponente beider Mengen geht in die Schnittmenge ein.

A = { 4, 8, a, b} und B = {3, 8, c, b}, dann

A ∩ B = {8, b}
XCODERX' Ergänzung einer Menge Das Komplement einer Menge umfasst alle Dinge, die nicht zur bereitgestellten Menge gehören.

Wenn A eine universelle Menge ist und A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} und B = {13, 15, 17, 18, 19}, dann

X′ = A – B

⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24}
A − B Differenz festlegen Der Differenzsatz ist ein Satz, der Elemente aus einem Satz enthält, die in einem anderen nicht gefunden werden.

A = {12, 13, 15, 19} und B = {13, 14, 15, 16, 17}

A – B = {12, 19}
A × B Kartesisches Produkt von Mengen Ein kartesisches Produkt ist das Produkt der geordneten Komponenten der Mengen.

A = {4, 5, 6} und B = {r}

Nun ist A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)}
A ∆ B Symmetrische Mengendifferenz A Δ B = (A – B) U (B – A) bezeichnet die symmetrische Differenz.

A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31}

A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31}

Mehr lesen

  • Arten von Sets
  • Operation an Mengen

Gelöste Beispiele für festgelegte Symbole

Beispiel 1: Gegeben zwei Mengen mit P={21, 32, 43, 54, 65, 75} und Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, was ist der Wert von P∪Q?

Antwort:

P={21, 32, 43, 54, 65, 75} und Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}

P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}

Javascript-Datum

Beispiel 2: Welchen Wert hat |Y|? wenn Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?

Antwort:

|Y| = Kardinalität der Menge = Anzahl der Elemente in der Menge ist die Lösung.

|Y| = n(Y)=6, da die Menge Y 6 Elemente hat.

Beispiel 3: Bestimmen Sie anhand zweier Mengen mit den Werten P={a,c,e} und Q={4,3} ihr kartesisches Produkt.

Antwort:

Kartesisches Produkt = P × Q

Wenn P={b, d, f} und Q={5, 6}

Dann ist P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}

Beispiel 4: Angenommen, P = {x: x ist eine natürliche ganze Zahl und ein Vielfaches von 24 und Q = {x: x ist eine natürliche Zahl kleiner als 8}. Bestimmen Sie P ∪ Q.

Antwort:

Angesichts dessen

P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

virtueller Speicher

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Als Ergebnis ist P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}

Beispiel 5: Angenommen, P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Finden Sie (P ∩ Q)‘.

Antwort:

Gegeben sei P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}

P ∩ Q = {4}

Daher,

(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}

Beispiel 6: Wenn P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} und Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, bestimmen Sie

(i) P-Q und (ii) P-Q.

Antwort:

Gegeben,

P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} und Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}

(i) P – Q = {4, 8, 10}

(ii) Q – P = {3, 12, 14}

Übungsfragen für festgelegte Symbole

Frage 1: Angesichts der Mengen:

  • A = {2, 4, 6, 8}
  • B = {4, 8, 12, 16}

Bestimmen Sie die Elemente in der Vereinigung der Mengen A und B.

Frage 2: Betrachten wir die Mengen:

  • X = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Y = {3, 4, 5, 6, 7}

Finden Sie den Schnittpunkt der Mengen X und Y.

Frage 3: Angenommen, Sie haben die Sätze:

  • P = {a, b, c, d}
  • Q = {c, d, e, f}

Berechnen Sie die Elemente in der Menge P – Q sowie Q – P.

Frage 4: Nehmen wir an, Sie haben die Sets:

  • U = {1, 2, 3, 4, 5}
  • V = {4, 5, 6, 7}

Finden Sie heraus, ob Menge V eine Teilmenge von Menge U ist.

Frage 5: Betrachten Sie die Sets:

  • S = {Apfel, Banane, Orange, Birne}
  • T = {Birne, Mango, Kirsche}

Finden Sie das kartesische Produkt der Mengen S und T.

Frage 6: Angenommen, Sie haben das Universalset:

  • U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}

Und die Sets:

  • E = {b, d, f, h, j}
  • F = {a, c, e, g, i}

Berechnen Sie das Komplement der Mengen E und F in Bezug auf die Universalmenge U.

FAQs zum Festlegen von Symbolen

1. Definieren Sie das Symbol „Set“.

Das Mengensymbol ist ein Zweig, der Gruppierungen von Entitäten/Zahlen/Objekten, ihre Beziehungen zu anderen Mengen, verschiedene Operationen (Vereinigung, Schnittmenge, Komplement und Differenz) und zugehörige Merkmale untersucht.

2. Was stellt dieses Symbol ⊆ dar?

Das Symbol ⊆ bedeutet, dass es eine Teilmenge von ist. Eine Teilmenge ist eine Menge, deren Elemente so hinzugefügt wurden, als wären sie alle Elemente einer anderen Menge.

3. Was bedeutet ∪ in Mengen?

„∪“ ist das Zeichen für die Mengenvereinigung. A ∪ B ist eine Menge, die alle Elemente der Mengen A und B enthält.

4. Was stellt P = Q dar?

Wenn Menge P gleich Menge Q ist, dann sind die Mitglieder von P und Q gleich. Zum Beispiel:

P = {4,5,6} und Q = {6,5,4}

Daraus ergibt sich P = Q.

5. Was bedeutet ∩ in der Mathematik?

„∩“ bedeutet die Vereinigung zweier Mengen. A ∩ B ist eine Menge, die Elemente enthält, die A und B gemeinsam haben.

6. Was ist ∈ in Mengen?

∈ ist ein Zeichen, das „gehört zu“ bedeutet. Wenn b ∈ B, bedeutet dies, dass b ein Element von B ist.

7. Was ist die Menge N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} bekannt als?

Die Menge der natürlichen Zahlen ist definiert als N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Sie enthält alle positiven Zahlen im Bereich von 1 bis unendlich. Diese Sammlung ist für die Mathematik von entscheidender Bedeutung und bietet einen Rahmen für das Ordnen und Zählen.

8. Was ist A × B in Mengen?

Das kartesische Produkt der Mengen A und B wird im Mengensymbol als A x B dargestellt. Es handelt sich um die Menge, die alle möglichen geordneten Paarungen umfasst, bei denen das erste Element aus Menge A und das zweite aus Menge B stammt.

9. Wie lesen Sie A ∩ B?

A∩B wird als A-Schnittpunkt B ausgesprochen. Es steht für die Menge, die Elemente enthält, die in beiden Mengen gemeinsam sind.

10. Was bedeutet Ø in der Mengenlehre?

In der Mengenlehre wird die Idee einer leeren Menge, die keine Elemente enthält, mit dem Symbol Ø (ausgesprochen leere Menge) bezeichnet.

11. Was ist AUB?

AUB steht in der Mathematik für die Vereinigung der Mengen A und B. Es bezieht sich auf die Menge, die alle Elemente aus den Mengen A und B enthält.

12. Ist ∅ dasselbe wie {}?

Ja, ∅ und {} repräsentieren beide die leere Menge in der Mathematik. Somit sind beide die unterschiedliche Notation derselben Sache.