Teilmengen in der Mathematik sind ein Kernkonzept im Studium der Mengenlehre, ähnlich wie Mengen. Eine Gruppe von Elementen, Objekten oder Mitgliedern, die in geschweifte Klammern eingeschlossen sind, wie z. B. {x, y, z}, wird als a bezeichnet Satz , wobei jedes Mitglied der Menge eindeutig ist. Für eine Menge von {x, y, z} sind die möglichen Teilmengen also {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} oder { x, y, z}. Bei der Definition einer Menge können deren Elemente reelle Zahlen, Konstanten, Variablen oder auch beliebige andere Objekte sein.

In diesem Artikel wird das Konzept der Teilmengen im Detail untersucht und es allen Lesern des Artikels leicht verständlich gemacht, unabhängig von ihrem akademischen Niveau. Alle Unterthemen wie Bedeutung, Definition, Symbol, Beispiel und vieles mehr werden im Artikel mit zahlreichen Beispielen behandelt. Beginnen wir also unsere Reise in das Land der Mengenlehre und verstehen wir das Konzept der Teilmengen.

In diesem Artikel haben wir ausführliche Informationen dazu bereitgestellt Was sind Teilmengen in der Mathematik, Obermengen in der Mathematik, echte Teilmenge und unechte Teilmenge mit Beispielen und FAQs.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind Teilmengen in der Mathematik?
• Beispiel für Teilmengen
• Potenzmenge einer Menge
• Arten von Teilmengen
• Echte Teilmenge
• Falsche Teilmenge
• Richtige und unechte Teilmengen
• Teilmengen vs. Obermengen

Was sind Teilmengen in der Mathematik?

Eine Menge „A“ ist eine Teilmenge der Menge „B“, wenn alle Elemente der Menge A unter Menge B fallen. Außerdem kann eine Teilmenge in einem bestimmten Fall einer Menge gleich sein, wenn alle Elemente einer Teilmenge in der Menge enthalten sind Satz.

Um eine Teilmenge besser zu verstehen, gehen wir davon aus, dass die Menge A eine Sammlung ungerader Zahlen ist und die Menge B aus {1,3,5} besteht. Hier ist also B eine Teilmenge von A und A eine Obermenge von B.

Zum Beispiel: Wenn Menge A {Apfel, Banane} und Menge B {alle Früchte} enthält, dann ist A die Teilmenge von B.

Betrachten wir zum besseren Verständnis noch ein weiteres Beispiel.

Beispiel: Bestimmen Sie, welche Teilmenge und welche Obermenge ist, wenn A = {a, e, i, o, u} und B = { Alle Alphabete}.

Antwort:

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Dabei enthält A alle Vokalelemente, die Bestandteil von Alphabeten sind. Hier ist A also eine Teilmenge von B und B eine Obermenge von A.

Teilmengendefinition

Mathematisch gesehen soll eine Menge A eine Teilmenge von Menge B sein, wenn alle Komponenten von Menge A auch in Menge B vorhanden sind. Eine Teilmenge ist also eine Untergruppe einer beliebigen Menge. Mit anderen Worten, Menge A ist in Menge B enthalten.

Zum Beispiel: Wenn Set A = {1, 2, 3} und Set B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dann können wir sagen, dass Set A eine Teilmenge von Set B ist, da alle Elemente in Set A verfügbar sind im Satz B.

Teilmengenbedeutung

Eine Menge, deren Elemente alle Elemente einer inklusiven Menge sind, ist die Bedeutung einer Teilmenge. Betrachten Sie eine Menge X, so dass X die Namen aller Flüsse eines Landes enthält. Ein weiterer Satz Y enthält die Namen der Flüsse in Ihrem Nordindien. Hier wäre y eine Teilmenge von x, da alle Flüsse in Nordindien auch Flüsse unseres Landes wären; Daher ist Y eine Teilmenge von X. Für jede Menge gibt es nur eine bestimmte Anzahl unterschiedlicher oder eindeutiger Teilmengen, daher sind die übrigen irrelevant und wiederholend.

Beispiel: Listen Sie alle Teilmengen der Menge Q = {1, 2, 3} auf.

Antwort:

Die Teilmengen von Q sind { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} und {1, 2, 3}

Teilmengensymbol

Eine Teilmenge wird durch das Symbol gekennzeichnet und als „ist eine Teilmenge von“ gelesen Mengenlehre . Eine Teilmenge wird durch ein durch ⊆ gegebenes Symbol dargestellt. Teilmengen können mit diesem Symbol wie folgt ausgedrückt werden:

A ⊆ B bedeutet, dass Menge A eine Teilmenge von Menge B ist.

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Beispiel für Teilmengen

Die einzige Notwendigkeit dafür, dass eine Menge A eine Teilmenge einer Menge B ist, besteht darin, dass jedes Element von A in B vorhanden ist. Hier sind einige Beispiele für darauf basierende Teilmengen.

• A = {2, 3, 10} ist eine Teilmenge von B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Menge aller Primzahlen ist eine Teilmenge von N = Menge aller natürlichen Zahlen und
• X = {a, e, i, o, u} sind eine Sammlung von Vokalen und eine Teilmenge von Y = Menge aller Alphabete.

Es ist erwähnenswert, dass jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist, ebenso wie die leere Menge ().

Beispiel: Kann eine Nullmenge eine Teilmenge einer beliebigen Menge sein?

Antwort:

Null ist eine Teilmenge jeder Menge. Standardmäßig berücksichtigen wir diese Tatsache, dass alle Mengen ein Element namens Nullmenge enthalten.

Teilmengen reeller Zahlen

Reelle Zahlen, die als Dezimalzahlen ausgedrückt werden können, fallen in verschiedene Kategorien. Brüche, Dezimalzahlen und das Zählen von Zahlen sind Ihnen sicherlich bereits aus Ihrem Alltag bekannt. Die folgenden Zahlen gelten als Teilmenge der reellen Zahlen:

• Rationale Zahlen : Jede Zahl, die als Bruch p/q ausgedrückt werden kann, wobei p und q beide positive ganze Zahlen sind. Dies sind nicht endende, sich wiederholende Dezimalzahlen und endende Dezimalzahlen in Dezimalform. Beispiel: -5/9, 1/8
• Irrationale Zahlen : Diese Zahlen enden nicht und wiederholen sich nicht, wenn sie in Dezimalform ausgedrückt werden. Bsp.: e.
• Ganze Zahlen : Alle zählenden Zahlen, einschließlich der Null und ihrer Gegensätze. Beispiel: -2,-1,0,3
• Ganze Zahlen : Null und alle positiven Zählzahlen. Bsp. 0, 2, 500
• Natürliche Zahlen : Alle positiven Zählzahlen. Ex-1,2,40

Beispiel: Zu welchen Teilmengen der reellen Zahlen gehört -5?

Antwort:

-5 ist eine rationale Zahl und eine ganze Zahl.

Potenzmenge einer Menge

Ein Set Stromsatz besteht aus jeder Teilmenge sowie der Originalmenge und der leeren Menge. P(A) steht für die Potenzmenge einer gegebenen Menge A. Wenn beispielsweise A = {1, 2}, dann ist P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Hier können wir deutlich sehen, dass alle Teilmengen von A in P(A), d. h. der Potenzmenge von A, enthalten sind.

Anzahl der Teilmengen einer Menge

Für jede Menge A wird die Anzahl der Seusets mithilfe der folgenden Formel angegeben

Anzahl der Teilmengen = 2 ^N

Wo N ist die Anzahl der Elemente in der Menge.

Da die Potenzmenge alle Teilmengen einer beliebigen Menge enthält, hat P(A) für eine Menge A, die „n“ Elemente hat, 2^NElemente.

Beispiel: Wie viele Elemente einer Potenzmenge können gebildet werden, wenn eine Menge vier Elemente enthält?

Antwort:

Die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge mit drei Elementen beträgt 2⁴= 16.

Arten von Teilmengen

Es gibt zwei Arten von Teilmengen:

• Echte Teilmenge
• Falsche Teilmenge

Lassen Sie uns diese Typen wie folgt im Detail besprechen:

Echte Teilmenge

A echte Teilmenge umfasst nur wenige Mitglieder des Originalsatzes. Die richtige Teilmenge kann niemals gleich der Originalmenge sein. In einer echten Teilmenge wird die Teilmenge, die die ursprüngliche Menge bildet, ausgeschlossen.

Richtiges Teilmengensymbol

Eine echte Teilmenge wird mit ⊂ bezeichnet,

Wir können eine echte Teilmenge für Menge A und Menge B ausdrücken als:

A ⊂ B

Beispiel für echte Teilmengen

Sei A = {1, 3, 5}, dann sind echte Teilmengen von A {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Außerdem ist {1, 3, 5} eine Teilmenge von A, aber keine echte Teilmenge von A.

Richtige Teilmengenformel

Die Anzahl der echten Teilmengen einer Menge mit „n“ Elementen beträgt 2^N- 1.

Beispiel: Eine Menge enthält 3 Elemente. Wie viele echte Teilmengen gibt es?

Antwort:

Anzahl der echten Teilmengen = 2^N- 1

Hier ist n = 3

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N = 2³– 1 = 7

Falsche Teilmenge

Ein unechte Teilmenge enthält sowohl die Nullmenge als auch jedes Mitglied der Anfangsmenge. Eine unechte Teilmenge kann der ursprünglichen Menge entsprechen. In der unechten Teilmenge ist die Teilmenge enthalten, die die ursprüngliche Menge bildet. Dies wird durch das Symbol dargestellt ⊆ .

Beispiel: Was ist die unechte Teilmenge der Menge A = {1, 3, 5}?

Antwort:

Falsche Teilmenge: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} und {1,3,5}

Falsche Teilmengenformel

Für eine Sammlung von „n“ Elementen beträgt die Anzahl der unechten Teilmengen immer 1. Mit anderen Worten: Die Anzahl der unechten Teilmengen einer Menge ist unabhängig von der Anzahl ihrer Elemente.

Erfahren Sie mehr, Formeln der Mengenlehre

Richtige und unechte Teilmengen

Die Hauptunterschiede zwischen echten Teilmengen und unechten Teilmengen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Beispiel: Finden Sie für eine Menge P = {1,2} die richtige und unechte Teilmenge.

Lösung:

Konvertieren Sie einen String in int

Die richtige Menge ist gegeben durch { }, {1} und {2}

Eine falsche Menge ist gegeben durch { }, {1}, {2} und {1,2}

Teilmengen vs. Obermengen

Die wichtigsten Unterschiede zwischen beiden Teilmengen Und Obermengen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Teilmengenformel

Alle Formeln für Teilmengen sind unten aufgeführt.

• Die Anzahl der Teilmengen einer Menge mit n Elementen beträgt 2^N. Dies umfasst sowohl echte als auch unechte Teilmengen.
• Die Anzahl der echten Teilmengen einer Menge mit n Elementen beträgt 2^N- 1.
• Die Anzahl der uneigentlichen Teilmengen einer Menge beträgt immer 1.

Lesen Sie auch

• Darstellung von Set
• Arten von Sets
• Universelle Sets

Probleme bei Teilmengen gelöst

Problem 1: Wie viele Teilmengen enthält eine Menge mit 4 Elementen?

Lösung:

Eine Menge mit 4 Elementen hat 2⁴Elemente darin = 16.

Problem 2: Wie viele Teilmengen enthält eine Menge mit 5 Elementen?

Lösung:

Eine Menge mit 5 Elementen hat 2⁵Elemente darin = 32.

FAQs zu Teilmengen

Was sind Teilmengen in der Mathematik?

Wenn jede Komponente von Set A auch in Set B vorhanden ist, dann wird Set A als Teilmenge von Set B bezeichnet. Anders ausgedrückt: Set B enthält Set A.

Was sind echte Teilmengen?

Eine Teilmenge einer Menge A, die nicht gleich A ist, ist eine echte Teilmenge von A. Mit anderen Worten: Wenn B eine echte Teilmenge von A ist, dann hat A mindestens ein Element, das nicht in B ist, aber alle Elemente von B in einem.

Was sind unechte Teilmengen?

Eine Teilmenge, die alle Komponenten der ursprünglichen Menge enthält, wird als ungeeignete Teilmenge betrachtet.

Kann eine Teilmenge mit sich selbst gleich sein?

Jede Menge wird als Teilmenge ihrer selbst betrachtet. Die eigentliche Teilmenge keiner Menge ist sie selbst. Jede Menge hat die leere Menge als Teilmenge.

Kann eine Teilmenge eine universelle Menge sein?

Wir können sagen, dass Menge A die Teilmenge von Menge B ist, wenn jedes Element in Menge A auch ein Element in Menge B ist. Dann kann jede gegebene universelle Menge verwendet werden, um die Teilmengen zu erzeugen. Es ist auch wichtig zu bedenken, dass jede universelle Menge tatsächlich eine Teilmenge ihrer selbst ist.

Kann eine Teilmenge Null sein?

Ja, eine Nullmenge ist standardmäßig eine Teilmenge einer beliebigen Menge.

Was sind die beiden Klassifizierungen von Teilmengen?

Die Klassifizierungen von Teilmengen sind:

• Echte Teilmenge
• Falsche Teilmenge