Gleichmäßige Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die gleichwahrscheinliche Ergebnisse darstellt, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis eintritt, ist gleich. Es gibt zwei Arten der Gleichverteilung: die diskrete Gleichverteilung und die kontinuierliche Gleichverteilung (die häufigste Art in der Elementarstatistik). Es definiert die Dichtefunktion der Zufallsvariablen, des Mittelwerts und der Varianz.

In diesem Artikel lernen wir die Gleichverteilung, Arten der Gleichverteilung und Gleichverteilungsformeln sowie einige darauf basierende gelöste Beispiele kennen.

Inhaltsverzeichnis

• Gleichmäßige Verteilung
• Einheitliche Verteilungsformel
• Arten der Gleichverteilung
• Kontinuierliche Gleichverteilungen oder Rechteckverteilungen
• Diskrete Gleichverteilung

Gleichmäßige Verteilung

Eine Gleichverteilung ist eine Verteilung, die aufgrund gleich wahrscheinlich auftretender Ereignisse eine konstante Wahrscheinlichkeit aufweist. Sie wird auch als Rechteckverteilung (kontinuierliche Gleichverteilung) bezeichnet. Es hat zwei Parameter a und b: a = Minimum und b = Maximum. Die Verteilung wird als U (a, b) geschrieben.

Einheitliche Verteilungsdefinition

Eine Gleichverteilung ist eine Art Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes mögliche Ergebnis die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit hat. Dies bedeutet, dass alle Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs mit gleicher Wahrscheinlichkeit beobachtet werden.

Diagramm der gleichmäßigen Verteilung

Berechnung der Höhe des Rechtecks:

Die maximale Wahrscheinlichkeit der Variablen X beträgt 1, daher muss die Gesamtfläche des Rechtecks ​​1 sein.

Fläche des Rechtecks ​​= Grundfläche × Höhe = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = Höhe des Rechtecks

Kumulatives Verteilungsfunktionsdiagramm

Notiz: Diskrete Gleichverteilung: Px = 1/n. Wo, P_X= Wahrscheinlichkeit einer diskreten Variablen, n = Anzahl der Werte im Bereich

Einheitliche Verteilungsformel

Eine Zufallsvariable X soll über das Intervall -∞ gleichmäßig verteilt sein

String-Funktionen in Java

Array-Liste sortieren Java

Eigenschaften kontinuierlicher Gleichverteilungen

• Gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte innerhalb des Intervalls.
• Die kumulative Verteilungsfunktion steigt innerhalb des Intervalls linear an.
• Der Mittelwert einer kontinuierlichen Gleichverteilung ist der Mittelpunkt des Intervalls.
• Die Varianz einer kontinuierlichen Gleichverteilung beträgt [(b – a)²] / 12.

Anwendungen kontinuierlicher Gleichverteilungen

• Modellierung der Unsicherheit in verschiedenen Bereichen wie Ingenieurwesen, Finanzen und Physik.
• Zufallszahlengenerierung für Simulationen und Spiele.
• Wird in der statistischen Qualitätskontrolle verwendet, um die Einheitlichkeit in Fertigungsprozessen zu modellieren.
• In der Kryptographie zum Generieren von Schlüsseln und zum Erstellen zufälliger Permutationen.
• Als Basisverteilung zum Vergleich mit anderen Verteilungen in der statistischen Analyse.

Diskrete Gleichverteilung

Diskrete Gleichverteilung ist a Wahrscheinlichkeit Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen beschreibt, wenn jedes Ergebnis in einer endlichen Menge gleich wahrscheinlich ist. Es zeichnet sich durch eine konstante Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) über einen endlichen Wertebereich aus.

Die diskrete Gleichverteilung dient als grundlegendes Modell in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik und bietet eine einfache, aber effektive Möglichkeit, Unsicherheit in Situationen zu beschreiben, in denen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Seine Eigenschaften und Anwendungen erstrecken sich über verschiedene Disziplinen und machen es zu einem vielseitigen Werkzeug bei der Datenanalyse und Entscheidungsprozessen.

Schätzung des Maximums

In Statistiken Die Schätzung des Maximums bezieht sich auf Methoden, mit denen der größte Wert oder die maximale Beobachtung in einem Datensatz geschätzt wird. Zu diesem Zweck werden üblicherweise Techniken wie Ordnungsstatistiken und Maximum-Likelihood-Schätzungen eingesetzt.

Zufällige Permutation

Eine zufällige Permutation ist eine zufällige Anordnung einer Menge von Elementen oder Elementen. Es wird häufig in verschiedenen Bereichen wie Kryptographie, Statistik und Informatik verwendet. Die Generierung zufälliger Permutationen ist in Algorithmen, Simulationen und experimentellen Designs von wesentlicher Bedeutung.

Eigenschaften der diskreten Gleichverteilung

• Jedes Ergebnis im Stichprobenraum hat die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit.
• Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) ist über den Bereich möglicher Ergebnisse konstant.
• Der Mittelwert einer diskreten Gleichverteilung ist der Durchschnitt der Minimal- und Maximalwerte.
• Die Varianz einer diskreten Gleichverteilung beträgt [(n^2 – 1) / 12], wobei n die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist.

Anwendungen der diskreten Gleichverteilung

• Es werden faire Würfel geworfen oder faire Münzen geworfen, wobei jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.
• Modellierung von Szenarien, bei denen es keine Präferenz oder Voreingenommenheit für ein bestimmtes Ergebnis gibt.
• Ersatzlose Stichprobe, z. B. die Auswahl zufälliger Stichproben aus einer endlichen Grundgesamtheit.
• Generieren von Zufallszahlen für Simulationen, Monte-Carlo-Methoden und randomisierte Algorithmen.
• Erstellen Sie zufällige Permutationen zum Mischen von Kartenspielen, zum Entwerfen von Experimenten und für kryptografische Anwendungen.

Mehr lesen,

• Poisson-Verteilung
• Binomialverteilung
• Normalverteilung

Probefragen

Frage 1: Eine Zufallsvariable X hat eine gleichmäßige Verteilung über (-2, 2),

(i) finde k, für das P(X>k) = 1/2 ist (ii) bewerte P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Lösung:

(ich) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Laufzeit Fehler

Durch Lösen erhalten wir k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Frage 2: Wenn X gleichmäßig in (-1, 4) verteilt ist, dann

(i) sein Mittelwert ist ______________.

(ii) seine Varianz beträgt ______________.

(iii) seine Standardabweichung beträgt ___________.

(iv) sein Median beträgt ______________.

Lösung:

Hier ist a = -1 und b = 4

(ich) Mittelwert (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Varianz(σ²) = (4+1)²/12 = 2,08

(iii) Standard deviation(σ) =√2.08 = 1.443

(iv) Median = (4-1)/2 = 1,5

Frage 3: Wenn das traditionelle Kartenspiel 52 Karten mit vier Farben enthält: Herz, Pik, Kreuz und Karo. Jede Suite enthält 13 Karten, davon 3 Bildkarten. Der neue Stapel wird gebildet, indem die Anzahl der Karten ausgeschlossen wird. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, eine Herzkarte aus dem modifizierten Stapel zu erhalten?

Lösung:

In der Frage ist die gegebene Anzahl an Karten endlich, es handelt sich also um eine diskrete Gleichverteilung.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit in der diskreten Gleichverteilung lautet P(X) = 1/n

Wahrscheinlichkeit, Herz im modifizierten Deck zu bekommen = 1/4 = 0,25

Frage 4: Finden Sie unter Verwendung der gleichmäßigen Verteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Zufallsvariable X in (0, 20) P(3