Die Sehne eines Kreises ist die Linie, die zwei beliebige Punkte auf dem Kreisumfang verbindet. Ein Kreis kann verschiedene Sehnen haben und die größte Sehne eines Kreises ist der Durchmesser des Kreises. Mit der Akkordlängenformel können wir die Länge der Sehne ganz einfach berechnen. Wie der Name schon sagt, handelt es sich um die Formel zur Berechnung der Länge der Sehne in einem Kreis in der Geometrie.

In diesem Artikel lernen wir die Definition der Sehne, die Theoreme der Sehne und des Kreises kennen, erklären ihre Eigenschaften und die Formeln zur Berechnung der Länge der Sehne mit verschiedenen Methoden. Zum besseren Verständnis enthält der Artikel auch einige gelöste Beispielprobleme.

Inhaltsverzeichnis

• Kreisdefinition
• Akkord einer Kreisdefinition
• Was ist die Akkordlängenformel?
• Akkord-von-Kreis-Theoreme
• Eigenschaften von Akkorden eines Kreises
• Problem gelöst
• FAQs

Kreisdefinition

Ein Kreis ist eine perfekte runde Form, die aus allen Punkten einer Ebene besteht, die in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt platziert sind. Sie bestehen aus einer geschlossenen geschwungenen Linie um einen zentralen Punkt. Die auf der Linie vorhandenen Punkte haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Der Abstand zum Mittelpunkt eines Kreises wird Radius genannt.

Akkord einer Kreisdefinition

Das Liniensegment, das zwei beliebige Punkte auf dem Kreisumfang verbindet, wird als Kreissehne bezeichnet. Da der Durchmesser auch die beiden Punkte auf dem Umfang eines Kreises verbindet, ist er auch eine Sehne eines Kreises. Tatsächlich ist der Durchmesser die längste Sehne des Kreises. Mit anderen Worten: Die Sehne ist ein Liniensegment, dessen beide Enden auf dem Umfang eines Kreises liegen. Die folgende Abbildung kann uns helfen, mehr zu verstehen.

Skript-Shell ausführen

Was ist die Akkordlängenformel?

Es gibt zwei grundlegende Methoden oder Formeln zur Berechnung der Länge der Sehne. Eine Sehnenlänge kann mithilfe des senkrechten Abstands vom Kreismittelpunkt sowie mit der trigonometrischen Methode bestimmt werden. So kann die Länge eines Akkords ermittelt werden

• Verwendung des Satzes des Pythagoras
• Verwendung des Kosinusgesetzes

Lassen Sie uns diese Methoden im Detail wie folgt verstehen:

Methode 1: Verwendung des Satzes des Pythagoras

Im folgenden Diagramm für eine Sehne halbiert die vom Mittelpunkt des Kreises zur Sehne gezogene Senkrechte, wie wir wissen, den Kreis in zwei Hälften.

In Dreiecken OAM, mit Satz des Pythagoras ,

R²= x²+ d²

⇒ x²= r²- D²

⇒ x = √(r²- D²)

Da x die halbe Länge der Sehne ist,

Somit ist die Sehnenlänge für jeden Kreis mit seinem senkrechten Abstand vom Mittelpunkt bekannt als

Länge einer Kreissehne = 2 ×[√(r ² - D ² )]

Wo,

• R ist der Radius des Kreises und
• D ist der senkrechte Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Sehne.

Methode 2: Verwendung des Kosinusgesetzes

Wie wir für ein Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c wissen, gilt das Kosinusgesetz Zustände,

C ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Mithilfe dieses Gesetzes im folgenden Diagramm einer Sehne, die den Winkel θ in der Mitte des Kreises bildet, können wir die Länge der Sehne ermitteln.

Im Dreieck OAB gilt unter Verwendung des Kosinusgesetzes:

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1-cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Somit ist die Akkordlänge gegeben durch:

Sehnenlänge = 2r × sin [θ/2]

Wo,

• ich ist der Winkel, den die Sehne in der Mitte einschließt, und
• R ist der Radius des Kreises.

Andere verwandte Formel für die Akkordlänge

Wenn zwei Kreise eine gemeinsame Sehne haben, kann die Länge dieser gemeinsamen Sehne mithilfe der Formel berechnet werden

Länge einer gemeinsamen Sehne zweier Kreise = 2R ₁ × R ₂ / D

Wo,

• R ₁ Und R ₂ bezieht sich auf den Radius von Kreisen
• D ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten des Kreises

Akkord-von-Kreis-Theoreme

Die Sehne des Kreises schließt den Winkel in der Mitte des Kreises ein, was uns hilft, verschiedene Konzepte im Kreis zu beweisen. Es gibt verschiedene Theoreme, die auf der Sehne eines Kreises basieren.

• Satz 1: Satz über gleiche Akkorde und gleiche Winkel
• Satz 2: Satz über gleiche Winkel und gleiche Akkorde (Umkehrung von Satz 1)
• Satz 3: Gleiche Akkorde mit gleichem Abstand vom Zentrumssatz

Lassen Sie uns nun dasselbe im folgenden Artikel besprechen.

Satz 1: Satz über gleiche Akkorde und gleiche Winkel

Aussagen: Gleiche Sehnen weisen in der Mitte des Kreises gleiche Winkel auf, d. h. die Winkel zwischen der Sehne sind gleich, wenn die Sehne gleich ist.

Nachweisen:

Java-Parseint

Aus der Figur,

In ∆AOB und ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (Gegeben)
• OA = OD …eq(ii) (Kreisradius)
• OB = OC …eq(iii) (Kreisradius)

Somit sind gemäß SSS-Kongruenzbedingungen die Dreiecke ∆AOB und ∆COD kongruent.

Daher,

∠AOB = ∠DOC (nach CPCT)

Damit ist der Satz verifiziert.

Satz 2: Satz über gleiche Winkel und gleiche Akkorde (Umkehrung von Satz 1)

Stellungnahme: Sehnen, die in der Mitte eines Kreises gleiche Winkel bilden, sind gleich lang. Dies ist die Umkehrung des ersten Satzes.

Aus der Figur,

In ∆AOB und ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Gegeben)
• OA = OD …eq(ii) (Kreisradius)
• OB = OC …eq(iii) (Kreisradius)

Somit sind gemäß SAS-Kongruenzbedingungen die Dreiecke ∆AOB und ∆COD kongruent.

Daher,

AB = CD (nach CPCT)

Damit ist der Satz verifiziert.

Satz 3: Satz gleicher Akkorde mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt

Stellungnahme: Gleiche Sehnen haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, d. h. der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und der gleichen Sehne ist immer gleich.

Aus der Figur,

In ∆AOL und ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 Grad)
• OA = OC …eq(ii) (Kreisradius)
• OL = OM …eq(iii) (Gegeben)

Aufgrund der RHS-Kongruenzbedingungen sind die Dreiecke ∆AOB und ∆COD also kongruent.

Java-Substring-Methode

Daher,

AL = CM (nach CPCT)…(iv)

Jetzt wissen wir, dass die vom Mittelpunkt gezogene Senkrechte die Sehnen halbiert.

Aus Gleichung (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Damit ist der Satz verifiziert.

Eigenschaften von Akkorden eines Kreises

Es gibt verschiedene Eigenschaften von Akkorden in einem Kreis. Einige dieser Eigenschaften sind wie folgt:

• Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, wird Durchmesser genannt und ist die längste Sehne im Kreis.
• Die Senkrechte zu einer Sehne, die vom Mittelpunkt des Kreises aus gezogen wird, halbiert die Sehne.
• Sehnen, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises haben, sind gleich lang.
• Es gibt nur einen Kreis, der durch drei kollineare Punkte verläuft.
• Sehnen gleicher Länge bilden in der Mitte eines Kreises gleiche Winkel.
• Die Mittelsenkrechte einer Sehne verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises.
• Wenn ein Radius senkrecht zu einer Sehne steht, halbiert er die Sehne und den Bogen, den er schneidet. Dies ist als Satz der Mittelsenkrechten bekannt.
• Wenn die von einer Sehne eingespannten Winkel gleich sind, ist auch die Länge der Sehne gleich.
• Wenn sich zwei Sehnen in einem Kreis schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne. Dies ist als Satz überschneidender Akkorde bekannt.
• Der Winkel, den eine Sehne in der Mitte einschließt, ist doppelt so groß wie der Winkel, den die Sehne am Umfang einschließt.

Mehr lesen,

• Gleichung eines Kreises
• Fläche eines Kreises
• Umfang des Kreises

Gelöste Probleme zum Akkord eines Kreises

Aufgabe 1: Ein Kreis ist ein Winkel von 70 Grad, dessen Radius 5 cm beträgt. Berechnen Sie die Sehnenlänge des Kreises.

Lösung:

Gegeben

• Radius = 5 cm
• Winkel = 70°

Jetzt,

Sehnenlänge = 2R × Sin [Winkel/2]

= 2 × 5 × Sünde [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Problem 2: Im Kreis , Der Radius beträgt 7 cm und der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu seinen Sehnen beträgt 6 cm. Berechnen Sie die Länge der Sehne.

Lösung:

Gegeben

• Radius = 7 cm
• Abstand = 6 cm

Jetzt,

Länge der Sehne = 2 √r²- D²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

Aufgabe 3: Ein Kreis ist ein Winkel von 60 Grad mit einem Radius von 12 cm. Berechnen Sie die Sehnenlänge des Kreises.

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Lösung:

Gegeben

• Radius = 12 cm
• Winkel = 60°

Jetzt,

Sehnenlänge = 2R × Sin [Winkel/2]

⇒ 2 × 12 × Sünde [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Aufgabe 4: In einem Kreis beträgt der Radius 16 cm und der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu seinen Sehnen beträgt 5 cm. Berechnen Sie die Länge der Sehne.

Lösung:

Gegeben

• Radius = 16 cm
• Abstand = 5 cm

Jetzt,

Länge der Sehne = 2 √r²- D²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Aufgabe 6: Berechnen Sie die Länge einer gemeinsamen Sehne zwischen den Kreisen mit einem Radius von 6 cm bzw. 5 cm. Und der Abstand zwischen den beiden Zentren wurde mit 8 cm gemessen.

Lösung:

Gegeben

Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten = 8cm

Der Radius der beiden Kreise ist R₁und R₂mit den Längen 6cm bzw. 5cm

Jetzt,

Länge einer gemeinsamen Sehne zweier Kreise = (2R₁× R₂) / Abstand zwischen zwei Kreismittelpunkten

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

FAQs zu Chord of a Circle

Akkord definieren.

Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf dem Kreisumfang verbindet, wird als Sehne bezeichnet.

Was ist die Akkordlängenformel?

Die Sehnenlängenformel berechnet die Länge einer Sehne in einem Kreis.

Kann die Länge einer Sehne größer sein als der Durchmesser eines Kreises?

Nein, die Länge einer Sehne kann nicht größer sein als der Durchmesser, da der Durchmesser die längste Sehne des Kreises ist.

Wie wird die Länge einer Sehne beeinflusst, wenn sie näher am Mittelpunkt des Kreises liegt?

Wenn sich die Sehne dem Mittelpunkt des Kreises nähert, nähert sich ihre Länge der maximalen Länge, d. h. dem Durchmesser.

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Wie wird die Länge einer Sehne beeinflusst, wenn sie näher am Rand des Kreises liegt?

Wenn sich die Sehne dem Rand des Kreises nähert, nähert sich ihre Länge dem Wert 0. Somit haben die Länge der Sehne und ihr Abstand vom Rand eine umgekehrte Beziehung.

Welche Beziehung besteht zwischen der Sehnenlänge und dem Mittelpunktswinkel eines Kreises?

Die Beziehung zwischen der E-Sehnenlänge und dem Mittelpunktswinkel eines Kreises ist wie folgt:

Sehnenlänge = 2r × sin [θ/2]

Wo,

• ich ist der Winkel, den die Sehne in der Mitte einschließt, und
• R ist der Radius des Kreises.

Kann die Sehnenlängenformel für jeden Kreis verwendet werden?

Ja, die Sehnenlängenformel kann für jeden Kreis verwendet werden, sofern Radius und Mittelpunktswinkel bekannt sind.

Ist der Durchmesser eine Kreissehne?

Ja, der Durchmesser ist eine Kreissehne. Es ist die längste mögliche Sehne eines Kreises. Er entspricht dem doppelten Radius des Kreises.

D = 2r

Wo,

• D ist der Durchmesser des Kreises
• R ist der Radius des Kreises