Die Kovarianzmatrix ist eine Art Matrix, die zur Beschreibung der Kovarianzwerte zwischen zwei Elementen in einem Zufallsvektor verwendet wird. Sie wird auch als Varianz-Kovarianz-Matrix bezeichnet, da die Varianz jedes Elements entlang der Hauptdiagonale der Matrix dargestellt wird und die Kovarianz zwischen den nichtdiagonalen Elementen dargestellt wird. Eine Kovarianzmatrix ist normalerweise eine quadratische Matrix. Es ist auch positiv semidefinit und symmetrisch. Diese Matrix ist praktisch, wenn es um stochastische Modellierung und Hauptkomponentenanalyse geht.

Was ist eine Kovarianzmatrix?

Der Varianz -Kovarianzmatrix ist a quadratische Matrix mit diagonalen Elementen, die die Varianz darstellen, und den nichtdiagonalen Komponenten, die die Kovarianz ausdrücken. Die Kovarianz einer Variablen kann jeden realen Wert annehmen – positiv, negativ oder Null. Eine positive Kovarianz deutet darauf hin, dass zwischen den beiden Variablen eine positive Beziehung besteht, während eine negative Kovarianz darauf hinweist, dass dies nicht der Fall ist. Wenn zwei Elemente nicht gemeinsam variieren, haben sie eine Kovarianz von Null.

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Beispiel einer Kovarianzmatrix

Nehmen wir an, es gibt zwei Datensätze X = [10, 5] und Y = [3, 9]. Die Varianz von Set X = 12,5 und die Varianz von Set Y = 18. Die Kovarianz zwischen beiden Variablen beträgt -15. Die Kovarianzmatrix lautet wie folgt:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Formel der Kovarianzmatrix

Die allgemeine Form einer Kovarianzmatrix ist wie folgt:

Wo,

• Stichprobenvarianz: wo (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Beispielkovarinace: die (x₁, Und₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Populationsvarianz: wo (x_N) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Populationskovarianz: die (x_N, Und_N) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Hier, M ist der Mittelwert der Bevölkerung

overline x ist der Mittelwert der Stichprobe

N ist die Anzahl der Beobachtungen

X _ich ist die Beobachtung im Datensatz x

Sehen wir uns das Format der Kovarianzmatrix von 2 ⨯ 2 und 3 ⨯ 3 an

2 ⨯ 2 Kovarianzmatrix

Wir wissen das in einem 2 ⨯ 2 Matrix Es gibt zwei Zeilen und zwei Spalten. Daher kann die 2 ⨯ 2 Kovarianzmatrix ausgedrückt werden als:egin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovarianzmatrix

In einer 3⨯3-Matrix gibt es 3 Zeilen und 3 Spalten. Wir wissen, dass in einer Kovarianzmatrix die diagonalen Elemente Varianz und nichtdiagonale Elemente Kovarianz sind. Daher kann eine 3⨯3-Kovarianzmatrix angegeben werden als:egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Wie finde ich eine Kovarianzmatrix?

Die Dimensionen einer Kovarianzmatrix werden durch die Anzahl der Variablen in einem bestimmten Datensatz bestimmt. Wenn eine Menge nur zwei Variablen enthält, hätte die Kovarianzmatrix zwei Zeilen und zwei Spalten. Wenn ein Datensatz drei Variablen enthält, hätte seine Kovarianzmatrix entsprechend drei Zeilen und drei Spalten.

Die Daten beziehen sich auf die von Anna, Caroline und Laura erzielten Noten in Psychologie und Geschichte. Erstellen Sie eine Kovarianzmatrix.

Folgende Schritte müssen befolgt werden:

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Schritt 1: Ermitteln Sie den Mittelwert der Variablen X. Summieren Sie alle Beobachtungen in der Variablen X und dividieren Sie die erhaltene Summe durch die Anzahl der Terme. Somit ist (80 + 63 + 100)/3 = 81.

Schritt 2: Subtrahieren Sie den Mittelwert von allen Beobachtungen. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

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Schritt 3: Bilden Sie die oben erhaltenen Differenzen zum Quadrat und addieren Sie sie. Also (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

Schritt 4: Ermitteln Sie die Varianz von X, indem Sie den in Schritt 3 erhaltenen Wert durch 1 kleiner als die Gesamtzahl der Beobachtungen dividieren. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

Schritt 5: Wiederholen Sie auf ähnliche Weise die Schritte 1 bis 4, um die Varianz von Y zu berechnen. Var(Y) = 633.

Schritt 6: Wählen Sie ein Variablenpaar.

Schritt 7: Subtrahieren Sie den Mittelwert der ersten Variablen (X) von allen Beobachtungen; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Schritt 8: Wiederholen Sie dasselbe für die Variable Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Schritt 9: Multiplizieren Sie die entsprechenden Terme: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Schritt 10: Finden Sie die Kovarianz, indem Sie diese Werte addieren und durch (n – 1) dividieren. Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Schritt 11: Verwenden Sie die allgemeine Formel für die Kovarianzmatrix, um die Terme anzuordnen. Die Matrix wird zu:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Eigenschaften der Kovarianzmatrix

Die Eigenschaften der Kovarianzmatrix sind unten aufgeführt:

• Eine Kovarianzmatrix ist immer quadratisch, was bedeutet, dass die Anzahl der Zeilen in einer Kovarianzmatrix immer gleich der Anzahl der darin enthaltenen Spalten ist.
• Eine Kovarianzmatrix ist immer symmetrisch, was bedeutet, dass die transponieren einer Kovarianzmatrix ist immer gleich der ursprünglichen Matrix.
• Eine Kovarianzmatrix ist immer positiv und semidefinit.
• Der Eigenwerte einer Kovarianzmatrix sind immer real und nicht negativ.

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Gelöste Beispiele zur Kovarianzmatrix

Beispiel 1: Nachfolgend sind die von drei Studierenden in Physik und Biologie erzielten Noten aufgeführt:

Berechnen Sie die Kovarianzmatrix aus den obigen Daten.

Lösung:

Die Kovarianzmatrix der Stichprobe ist gegeben durchfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Hier, μ_X= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Also, μ_Und= 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Nun ist cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Die Populationskovarianzmatrix wird wie folgt angegeben:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Beispiel 2. Bereiten Sie die Populationskovarianzmatrix aus der folgenden Tabelle vor:

Lösung:

Die Populationsvarianz ist gegeben durchfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Hier, μ_X= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²] / 4 = 104,75

Also, μ_Und= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Nun gilt cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Die Populationskovarianzmatrix wird wie folgt angegeben: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

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Beispiel 3. Interpretieren Sie die folgende Kovarianzmatrix:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Lösung:

1. Die Diagonalelemente 60, 30 und 80 geben die Varianz in den Datensätzen X, Y bzw. Z an. Y zeigt die geringste Varianz, während Z die höchste Varianz aufweist.
2. Die Kovarianz für X und Y beträgt 32. Da dies eine positive Zahl ist, bedeutet dies, dass, wenn X steigt (oder sinkt), auch Y zunimmt (oder sinkt).
3. Die Kovarianz für X und Z beträgt -4. Da es sich um eine negative Zahl handelt, bedeutet dies, dass Z kleiner wird, wenn X zunimmt, und umgekehrt.
4. Die Kovarianz für Y und Z beträgt 0. Dies bedeutet, dass zwischen den beiden Datensätzen kein vorhersehbarer Zusammenhang besteht.

Beispiel 4. Finden Sie die Stichproben-Kovarianzmatrix für die folgenden Daten:

Lösung:

Die Kovarianzmatrix der Stichprobe ist gegeben durchfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, m_X= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

M_Und= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

M_Mit= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

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cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Die Kovarianzmatrix ist wie folgt angegeben:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

FAQs zur Kovarianzmatrix

1. Definieren Sie die Kovarianzmatrix

Eine Kovarianzmatrix ist eine Art Matrix, die zur Beschreibung der Kovarianzwerte zwischen zwei Elementen in einem Zufallsvektor verwendet wird.

2. Wie lautet die Formel für die Kovarianzmatrix?

Die Formel für die Kovarianzmatrix lautet:

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

Wo, Stichprobenvarianz: wo (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Beispielkovarinace: die (x₁, Und₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Populationsvarianz: wo (x_N) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Populationskovarianz: die (x_N, Und_N) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Was ist die allgemeine Form einer 3 ⨯ 3 Kovarianzmatrix?

Die allgemeine Form einer 3 ⨯ 3-Kovarianzmatrix ist wie folgt:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Was sind die Eigenschaften der Kovarianzmatrix?

Die Kovarianzmatrix ist eine quadratische Matrix und zudem symmetrischer Natur, d. h. die Transponierung der Originalmatrix ergibt die Originalmatrix selbst

5. In welchen Sektoren kann die Kovarianzmatrix verwendet werden?

Die Kovarianzmatrix wird in den Bereichen Mathematik, maschinelles Lernen, Finanzen und Wirtschaft verwendet. Die Kovarianzmatrix wird bei der Cholskey-Zerlegung verwendet, um eine Monte-Carlo-Simulation durchzuführen, die zur Erstellung mathematischer Modelle verwendet wird.