Ableitungsformeln in der Analysis sind eines der wichtigsten Werkzeuge der Analysis, da Ableitungsformeln häufig verwendet werden, um Ableitungen verschiedener Funktionen einfach zu finden und uns auch dabei helfen, verschiedene Bereiche der Mathematik, des Ingenieurwesens usw. zu erkunden.

Dieser Artikel untersucht alles Ableitungsformeln Einschließlich der allgemeinen Ableitungsformel, der Ableitungsformeln für logarithmische und exponentielle Funktionen, der Ableitungsformeln für trigonometrische Verhältnisse, der Ableitungsformeln für inverse trigonometrische Verhältnisse und der Ableitungsformeln für hyperbolische Funktionen. Die Ableitungsformel ist für Schüler der 12. Klasse für ihre Board-Prüfungen wichtig. Wir werden auch einige Beispiele für Ableitungen mithilfe der verschiedenen Ableitungsformeln lösen. Lassen Sie uns das Thema der Ableitungsformel näher beleuchten.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist ein Derivat?
• Was sind Ableitungsformeln?
• Grundlegende Ableitungsformeln – Ableitungsregeln in der Analysis
• Liste der Ableitungsformeln
• Einige andere abgeleitete Formeln
• Wie finde ich die Derivate?
• Anwendungen der Ableitungsformel

Was ist ein Derivat?

Der Derivate stellen die Funktionsrate in Bezug auf eine beliebige Variable dar. Die Ableitung einer Funktion f(x) wird als f'(x) oder (d/dx) [f(x)] bezeichnet. Der Prozess, Derivate zu finden, wird Differenzierung genannt.

Die grundlegendste Ableitungsformel ist die Definition einer Ableitung, die wie folgt definiert ist:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Es gibt verschiedene Ableitungsformeln, darunter allgemeine Ableitungsformeln, Ableitungsformeln für trigonometrische Funktionen und Ableitungsformeln für inverse trigonometrische Funktionen usw.

Lesen Sie im Detail: Infinitesimalrechnung in der Mathematik

Was sind Ableitungsformeln?

Ableitungsformeln sind jene mathematischen Ausdrücke, die uns helfen, die Ableitung einer bestimmten Funktion in Bezug auf ihre unabhängige Variable zu berechnen. In einfachen Worten werden die Formeln, die beim Finden von Ableitungen helfen, als Ableitungsformeln bezeichnet. Es gibt mehrere Ableitungsformeln für verschiedene Funktionen.

Beispiele für Ableitungsformeln

Einige Beispiele für Formeln für Derivate sind wie folgt aufgeführt:

• Machtregel: Wenn f(x) = x^N, wobei n eine Konstante ist, dann ist die Ableitung gegeben durch:

f'(x) = nx ^n-1

• Konstante Regel: Wenn f(x) = c, wobei c eine Konstante ist, dann ist die Ableitung Null:

f'(x) = 0

• Exponentialfunktionen: Wenn f(x) = e^X, Dann:

f'(x) = e ^X

Lassen Sie uns alle Formeln im Zusammenhang mit der Ableitung strukturiert besprechen.

Grundlegende Ableitungsformeln – Ableitungsregeln in der Analysis

Einige der grundlegendsten Formeln zum Finden von Ableitungen sind:

• Konstante Regel
• Machtregel
• Summendifferenzregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Kettenregel

Lassen Sie uns diese Regeln im Detail besprechen:

Konstante Regel für Derivate

Die konstante Regel für Derivate ist gegeben durch:

(d/dx) Konstante = 0

Potenzregel für Derivate

Die Potenzregel für Derivate ist gegeben durch:

(d/dx) x ^N = nx ^n-1

Summendifferenzregel für Derivate

Die Summen- und Differenzregel für Derivate ist gegeben durch:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktregel für Derivate

Die Produktregel für Derivate ist gegeben durch:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Quotientenregel für Derivate

Die Quotientenregel für Derivate ist gegeben durch:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Kettenregel für Derivate

Die Kettenregel für die Ableitung ist gegeben durch:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Liste der Ableitungsformeln

Die Ableitungsformeln für die verschiedenen Funktionen sind unten aufgeführt:

Exponentielle und logarithmische Ableitungsformeln

Die Ableitungsformeln für die Exponential- und Logarithmusfunktionen sind unten aufgeführt:

Java-Teilzeichenfolge enthält

• (d/dx) e^X= und^X
• (d/dx) a^X= a^Xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) log_Ax= (1/x lna)

Mehr lesen,

• Logarithmen
• Ableitung von Exponentialfunktionen

Trigonometrische Ableitungsformeln

Die Ableitungsformeln für die trigonometrischen Funktionen sind unten aufgeführt:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) cot x = -cosec²X
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Lerne mehr über Ableitung trigonometrischer Funktionen .

Ableitungsformel für inverse trigonometrische Funktionen

Die Ableitungsformeln für die inversen trigonometrischen Funktionen sind unten aufgeführt:

• (d/dx) ohne^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) also^-1x = 1/(1 + x²)
• (T/T) Kinderbett^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) Sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Mehr lesen, Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen .

Ableitung hyperbolischer Funktionen

Die Ableitungsformeln für die trigonometrischen Funktionen sind unten aufgeführt:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = jeweils²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Einige andere abgeleitete Formeln

Es gibt einige andere Funktionen wie implizite Funktionen, parametrische Funktionen und Ableitungen höherer Ordnung, deren Ableitungsformeln unten aufgeführt sind:

Implizite Ableitungsformel

Die Methode, die Ableitung einer impliziten Funktion zu finden, wird als implizite Differentiation bezeichnet. Nehmen wir ein Beispiel, um die Methode zum impliziten Finden von Derivaten zu verstehen.

Beispiel: Finden Sie die Ableitung von xy = 2

Lösung:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Aus gegebener Gleichung y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Lerne mehr über Implizite Differenzierung .

Parametrische Ableitungsformel

Wenn die Funktion y(x) durch die dritte Variable t ausgedrückt wird und x und y durch x = f(t) und y = g(t) dargestellt werden können, wird dieser Funktionstyp als parametrische Funktion bezeichnet.

Wenn y eine Funktion von x ist und x = f(t) und y = g(t) zwei differenzierbare Funktionen des Parameters t sind, dann ist die Ableitung der parametrischen Funktion gegeben durch:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), so dass (dx/dt) ≠ 0

Lesen Sie mehr über Parametrische Differenzierung .

Ableitungsformel höherer Ordnung

Wenn man die Ableitung einer Funktion mehr als einmal ermittelt, erhält man die Ableitung höherer Ordnung einer Funktion.

N ^Th Ableitung = d ^N y/(dx) ^N

Lesen Sie mehr über Ableitung höherer Ordnung .

Wie finde ich die Derivate?

Um die Ableitungen einer Funktion zu finden, führen wir die folgenden Schritte aus:

• Überprüfen Sie zunächst den Typ der Funktion, ob sie algebraisch, trigonometrisch usw. ist.
• Nachdem Sie den Typ gefunden haben, wenden Sie die entsprechenden Ableitungsformeln auf die Funktion an.
• Der resultierende Wert ergibt die Ableitung der Funktion unter Verwendung der Ableitungsformel.

Anwendungen der Ableitungsformel

Es gibt viele Anwendungen der Ableitungsformeln. Einige dieser Anwendungen sind unten aufgeführt:

• Derivate werden verwendet, um die Änderungsrate einer beliebigen Größe zu ermitteln.
• Es kann verwendet werden, um Maxima und Minima zu finden.
• Es wird in steigenden und fallenden Funktionen verwendet.

Die Leute sehen sich auch Folgendes an:

• Differenzierungsformeln
• Differenzierungs- und Integrationsformel
• Logarithmische Differentiation

Gelöste Beispiele zur Ableitungsformel

Beispiel 1: Finden Sie die Ableitung von x ⁵ .

Lösung:

Sei y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

Java-flüchtiges Schlüsselwort

⇒ y' = 5x⁴

Beispiel 2: Finden Sie die Ableitung von log ₂ X.

Lösung:

Sei y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Beispiel 3: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 8 . 6 ^X

Lösung:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Beispiel 4: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 3sinx + 2x

Lösung:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Beispiel 5: Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Lösung:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + und^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + und^X

Übungsaufgaben zur Ableitungsformel

Problem 1: Bewerten: (d/dx) [x⁴].

Problem 2: Finden Sie die Ableitung von y = 5cos x.

Problem 3: Finden Sie die Ableitung von y = cosec x + cot x.

Problem 4: Finden Sie die Ableitung von f(x) = 4^X+ Protokoll₃x + also^-1X.

Problem 5: Bewerten: (d/dx) [40].

Problem 6: Finden Sie die Ableitung von f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

FAQs zur Ableitungsformel

Was ist ein Derivat?

Der Wert, der die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine beliebige Variable darstellt, wird als Ableitung bezeichnet.

Wie werden die Derivate dargestellt?

Die Ableitungen werden als (d/dx) dargestellt. Wenn f(x) eine Funktion ist, wird die Ableitung von f(x) als f'(x) dargestellt.

Wie wird die Ableitung einer Konstante berechnet?

Die Ableitung einer Konstanten ist immer Null. Wenn „C“ in der mathematischen Schreibweise eine Konstante ist, dann ist dC/dx = 0.

Schreiben Sie die allgemeine Ableitungsformel von x^N.

Die allgemeine Formel für die Ableitung von x^N= nx^n-1.

Wie berechnet man die Ableitungen einer Funktion?

Um die Ableitungen einer Funktion zu berechnen, können wir die Ableitungsformel entsprechend der gegebenen Funktion anwenden.

Wie lautet die Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion?

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) ist 1/x. In der mathematischen Notation gilt: Wenn y = ln(x), dann ist dy/dx = 1/x.

Welche Formel wird verwendet, um die Ableitung von Exponentialfunktionen zu ermitteln?

Die Ableitung einer Exponentialfunktion, y = a^X(wobei „a“ eine Konstante ist) wird mithilfe der Formel dy/dx = a ermittelt^X× ln(a).

Was sind Derivate höherer Ordnung?

Ableitungen höherer Ordnung sind Ableitungen einer Funktion, die mehr als einmal verwendet werden. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten, die dritte ist die Ableitung der zweiten und so weiter.

Was ist die Ableitungsformel für e^X?

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^X(wobei „e“ die Euler-Zahl ist, ungefähr 2,71828) ist einfach f'(x) = e^X.

Schreiben Sie die Ableitungsformel für u/v.

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x) ergibt sich aus der Quotientenregel:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Was ist die Ableitungsformel für 1/x?

Die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x ist gegeben durch:

f'(x) = -1/x ²