Wahrscheinlichkeitsformeln sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit. Bevor wir die Wahrscheinlichkeitsformeln kennen, müssen wir das Konzept der Wahrscheinlichkeit kurz verstehen. Die Möglichkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses wird durch die Wahrscheinlichkeit definiert. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Vorhersagechance. Seine Anwendungen erstrecken sich über verschiedene Bereiche, darunter Spielstrategien, die Erstellung von Prognosen auf der Grundlage von Wahrscheinlichkeiten in der Wirtschaft und den sich entwickelnden Bereich der künstlichen Intelligenz.

In diesem Artikel lernen wir die Bedeutung und Definition der Wahrscheinlichkeitsformel kennen und erfahren, wie diese Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet werden. Wir sehen auch verschiedene Begriffe im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeit und verschiedene Formeln zur einfachen Lösung mathematischer Probleme.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist die Wahrscheinlichkeitsformel?
• Begriffe im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsformel
• Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsformel
• Verschiedene Wahrscheinlichkeitsformeln
• Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsformel

Was ist die Wahrscheinlichkeitsformel?

Wahrscheinlichkeitsformeln werden zur Bestimmung der Möglichkeiten eines Ereignisses verwendet, indem die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse dividiert wird. Mithilfe dieser Formel können wir die mit einem bestimmten Ereignis verbundene Wahrscheinlichkeit abschätzen.

Mathematisch können wir diese Formel wie folgt schreiben:

P(A) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Gesamtzahl möglicher Ergebnisse

Die Wahrscheinlichkeitsformel berechnet das Verhältnis günstiger Ergebnisse zur gesamten Menge möglicher Ergebnisse. Der Wahrscheinlichkeitswert liegt im Bereich von 0 bis 1, was bedeutet, dass günstige Ergebnisse die Gesamtergebnisse nicht übertreffen können und der negative Wert günstiger Ergebnisse nicht möglich ist.

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• Wahrscheinlichkeit in der Mathematik
• Wahrscheinlichkeitstheorie

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = (Anzahl der günstigen Ergebnisse) / (Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse für das Ereignis)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

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Hier bezeichnet P(A) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wobei n(E) die Anzahl der günstigen Ergebnisse und n(S) die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse für das Ereignis ist.

Betrachtet man das komplementäre Ereignis, dargestellt als P(A’), das das Nichteintreten von Ereignis A bezeichnet, dann lautet die Formel:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’) ist das Gegenteil von Ereignis A und zeigt an, dass entweder Ereignis P(A) oder sein Komplement P(A’) eintritt.

Deshalb können wir jetzt sagen; P(A) + P(A’) = 1

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• Ereignisse in der Wahrscheinlichkeit
• Arten von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeit

Begriffe im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsformel

Einige der häufigsten Begriffe im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsformel sind:

• Experiment: Ein Experiment ist eine Aktion oder Prozedur, die durchgeführt wird, um ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen.

• Probenraum: Der Beispielraum umfasst die vollständigen potenziellen Ergebnisse, die aus einem Experiment resultieren. Wenn beispielsweise eine Münze geworfen wird, umfasst der Probenraum {Kopf, Schwanz}.

• Günstiges Ergebnis: Ein positives Ergebnis ist das Ergebnis, das mit der beabsichtigten oder erwarteten Schlussfolgerung übereinstimmt. Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind Beispiele für günstige Ergebnisse, die zu einer Summe von 4 führen, (1,3), (2,2) und (3,1).

• Versuch: Ein Versuch bezeichnet die Durchführung eines Zufallsexperiments.

• Zufallsexperiment: A Zufälliges Experiment zeichnet sich durch eine klar definierte Reihe möglicher Ergebnisse aus. Ein Beispiel für ein Zufallsexperiment ist das Werfen einer Münze, wobei das Ergebnis entweder Kopf oder Zahl sein kann. Das heißt, das Ergebnis wäre ungewiss.

• Ereignis: Ein Ereignis bezeichnet die Gesamtergebnisse eines Zufallsexperiments.

• Gleichermaßen wahrscheinliche Ereignisse: Gleichwahrscheinliche Ereignisse sind Ereignisse, deren Eintrittswahrscheinlichkeit identisch ist. Der Ausgang eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf den Ausgang eines anderen.

• Ausführliche Veranstaltungen: Ein erschöpfendes Ereignis tritt auf, wenn die Menge aller möglichen Ergebnisse den gesamten Stichprobenraum abdeckt.

• Sich gegenseitig ausschließende Veranstaltungen: Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind solche, die nicht gleichzeitig auftreten können. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, ist das Ergebnis entweder Kopf oder Zahl, aber wir können nicht beides gleichzeitig bekommen.

Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsformel

In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt ein Ereignis eine Reihe möglicher Ergebnisse dar, die aus einem Experiment abgeleitet werden. Es bildet häufig eine Teilmenge des gesamten Probenraums. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E als P(E) darstellen, gelten folgende Prinzipien:

Wenn Ereignis E unmöglich ist, dann ist P(E) = 0.

Wenn Ereignis E sicher ist, dann ist P(E) = 1.

Die Wahrscheinlichkeit P(E) liegt zwischen 0 und 1.

Betrachten Sie zwei Ereignisse, A und B. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, bezeichnet als P(A), ist größer als die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B, P(B).

Für ein bestimmtes Ereignis E lautet die Wahrscheinlichkeitsformel:

P(E)= n(E)/ n(S)

Hier stellt n(E) die Anzahl der Ergebnisse dar, die für Ereignis E günstig sind.

n(S) bezeichnet die Gesamtzahl der Ergebnisse im Stichprobenraum.

Verschiedene Wahrscheinlichkeitsformeln

Die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsformeln werden im Folgenden erläutert:

Klassische Wahrscheinlichkeitsformel

P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse/Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse

Additionsregelformel

Wenn wir es mit einem Ereignis zu tun haben, das die Vereinigung zweier getrennter Ereignisse ist, zum Beispiel A und B, ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung:

P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsformel

Sie stellt die gemeinsamen Elemente dar, die die unterschiedlichen Teilmengen der beiden Ereignisse A und B bilden. Die Formel kann wie folgt ausgedrückt werden:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Additionsregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Wenn sich die Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, das heißt, sie können nicht gleichzeitig eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse eintritt, gleich der Summe ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

P(A oder B)=P(A)+P(B)

Komplementäre Regelformel

Wenn A ein Ereignis ist, wird die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht auftritt, durch die Komplementärregel ausgedrückt:

P(nicht A) = 1 – P(A) oder P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Einige darauf basierende Wahrscheinlichkeitsformeln lauten wie folgt:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Bedingte Regelformel

Wenn das Eintreten von Ereignis A bereits bekannt ist, wird die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintreten wird, als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Es kann mit der Formel berechnet werden:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Wahrscheinlichkeit (bedingt) von Ereignis B, wenn Ereignis A eingetreten ist.

P (A/B): Wahrscheinlichkeit (bedingt) von Ereignis A, wenn Ereignis B eingetreten ist.

Relative Häufigkeitsformel

Die Formel für die relative Häufigkeit basiert auf Häufigkeiten, die in realen Daten beobachtet werden. Diese Formel wird als angegeben

P(A) = Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A/Gesamtzahl der Versuche oder Beobachtungen

Wahrscheinlichkeitsformel mit der Multiplikationsregel

In Situationen, in denen ein Ereignis das gleichzeitige Auftreten von zwei anderen Ereignissen darstellt, die als Ereignisse A und B bezeichnet werden, können die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Eintreten beider Ereignisse mithilfe dieser Formeln berechnet werden:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (bei unabhängigen Ereignissen)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (bei abhängigen Ereignissen)

Disjunktes Ereignis

Disjunkte Ereignisse sind Ereignisse, die niemals gleichzeitig auftreten. Diese Ereignisse werden auch als sich gegenseitig ausschließende Ereignisse bezeichnet.

P(A∩B) = 0

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes berechnet die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Eintreten von Ereignis B. Die Formel von Bayes Satz lautet:

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Lernen, Satz von Bayes

Abhängige Wahrscheinlichkeitsformel

Abhängige Wahrscheinlichkeiten sind Ereignisse, die durch das Eintreten anderer Ereignisse beeinflusst werden. Die Formel für die abhängige Wahrscheinlichkeit lautet:

P(B und A) = P(A)×P(B | A)

Unabhängige Wahrscheinlichkeitsformel

Unabhängige Wahrscheinlichkeiten sind Ereignisse, die nicht durch das Eintreten anderer Ereignisse beeinflusst werden. Die Formel für die unabhängige Wahrscheinlichkeit lautet:

P(A und B) = P(A)×P(B)

Binominal-Wahrscheinlichkeitsformel

Die binomiale Wahrscheinlichkeitsformel lautet:

P(x) = ^N C _X · P ^X (1 − p) ^n−x oder P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^R (1 − p) ^n−r

Wobei n = Gesamtzahl der Ereignisse

r oder x = Gesamtzahl erfolgreicher Ereignisse.

p = Erfolgswahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch.

^NC_R= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Ausfallwahrscheinlichkeit.

Lernen, Binomialverteilung

Normale Wahrscheinlichkeitsformel

Die Normalwahrscheinlichkeitsformel ist gegeben durch:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Lernen, Normalverteilung

Experimentelle Wahrscheinlichkeitsformel

Die Formel für die experimentelle Wahrscheinlichkeit lautet;

Wahrscheinlichkeit P(x) = Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses / Gesamtzahl der Versuche.

Theoretische Wahrscheinlichkeitsformel

Die theoretische Wahrscheinlichkeitsformel lautet:

P(x) = Anzahl günstiger Ergebnisse/Anzahl möglicher Ergebnisse.

Standardabweichungs-Wahrscheinlichkeitsformel

Die Standardformel für die Abweichungswahrscheinlichkeit lautet wie folgt:

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoulli-Wahrscheinlichkeitsformel

Eine Zufallsvariable X hat eine Bernoulli-Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit p, die Formel lautet:

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1−x , für x = 0, 1 und P(X = x) = 0 für andere Werte von x

Hier steht 0 für Misserfolg und 1 für Erfolg.

Lernen, Bernoulli-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsformel Klasse 10

In Klasse 10 müssen wir grundlegende Wahrscheinlichkeiten untersuchen, z. B. die Wahrscheinlichkeit, eine Münze zu werfen, zwei Münzen zu werfen, drei Münzen zu werfen, einen Würfel zu werfen, zwei Würfel zu werfen und die Wahrscheinlichkeit, eine Karte aus einem gut gemischten Stapel zu ziehen. Alle diese Fragen können mit nur einer Formel gelöst werden. Die Wahrscheinlichkeitsformel Klasse 10 wird wie folgt angegeben:

P(E) = n(E)/n(s)

Wo,

P(E) ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

n(E) ist die Anzahl der Versuche, in denen ein Ereignis auftrat

n(S) ist die Anzahl des Probenraums

Wahrscheinlichkeitsformel für Klasse 12

Die verschiedenen Formeln, die in der Wahrscheinlichkeitsklasse 12 verwendet werden, sind unten tabellarisch aufgeführt:

Überprüfen Sie auch

• Münzwurfwahrscheinlichkeit
• Kartenwahrscheinlichkeit
• Statistikformeln

Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsformel

Beispiel 1: Wählen Sie zufällig eine Karte aus einem Standardstapel aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Karte mit einem weiblichen Gesicht zu ziehen?

Lösung:

In einem Standarddeck mit 52 Karten: Insgesamt mögliche Ergebnisse = 52

Die Anzahl günstiger Ereignisse (wobei nur Königinnen als weibliche Gesichter betrachtet werden) = 4

Daher wird die Wahrscheinlichkeit P(A) nach folgender Formel berechnet:

P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse ÷ Gesamtzahl der Ergebnisse

= 4/52

= 1/13.

Beispiel 2: Wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E, angegeben als P(E)=0,35, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Komplementereignis „nicht E“ ist?

Lösung:

Da P(E)=0,35 ist, können wir die komplementäre Wahrscheinlichkeitsformel verwenden:

P(E) + P(nicht E) = 1

Ersetzen des bekannten Wertes:

P(nicht E) = 1 – P(E)

P(nicht E) = 1 – 0,35

Daher ist P(nicht E) = 0,65

Beispiel 3: Gefährliche Brände sind mit etwa 1 % sehr selten, der Rauch ist jedoch mit etwa 20 % durch Grillen recht häufig. Finden Sie das gefährliche Feuer, wenn 80 % der gefährlichen Brände Rauch erzeugen.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit eines gefährlichen Feuers bei Rauchentwicklung mithilfe des Bayes-Theorems:

P(Feuer|Rauch) = {P(Feuer)P(Rauch Feuer)}/P(Rauch)

P(Feuer)=0,01(1%) und P(Rauch|Feuer)=0,80 (80%), wir können diese Werte ersetzen:

P(Feuer | Rauch)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Feuer | Rauch)=0,018/0,30

(Feuer | Rauch)= 0,06 = 6 %.

Beispiel 4: In einer Tüte befinden sich 2 grüne Glühbirnen, 4 orangefarbene Glühbirnen und 6 weiße Glühbirnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine grüne oder eine weiße Zwiebel auszuwählen, wenn eine Glühbirne zufällig aus der Tüte ausgewählt wird?

Lösung:

Die Gesamtzahl der Glühbirnen im Beutel beträgt 2 grüne + 4 orangefarbene + 6 weiße = 12 Glühbirnen

Anzahl der grünen Glühbirnen = 2 und Anzahl der weißen Glühbirnen = 6

Wahrscheinlichkeit = (Anzahl der grünen Zwiebeln + Anzahl der weißen Zwiebeln) / Gesamtzahl der Zwiebeln

Wahrscheinlichkeit = (2+6)/12

Wahrscheinlichkeit = 8/12

Wahrscheinlichkeit = 2/3.

Übungsfragen zur Wahrscheinlichkeitsformel

Q1. Aus einer Sammlung von Murmeln in einem Beutel – 8 rote, 9 blaue und 6 grüne – werden zwei Murmeln nach dem Zufallsprinzip ohne Zurücklegen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Murmeln blau sind?

Q2. In einer Schublade mit 6 schwarzen Stiften, 4 blauen Stiften und 7 roten Stiften wird zufällig ein Stift gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stift entweder schwarz oder blau ist?

Q3. Ziehen Sie eine Karte aus einem gründlich gemischten Kartenspiel mit 52 Karten und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte:

• Sei ein König.
• Sei kein König.

Q4. Laut einer Umfrage genießen 70 % der Menschen Schokolade, und unter den Schokoladenliebhabern haben 60 % auch eine Vorliebe für Vanille. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Vanille mag, wenn man ihre Vorliebe für Schokolade berücksichtigt?

F5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln, wenn ein sechsseitiger Würfel gewürfelt wird.

Wahrscheinlichkeitsformel – FAQs

1. Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?

Die Möglichkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses wird durch die Wahrscheinlichkeit definiert. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Vorhersagechance.

2. Was bedeutet die Wahrscheinlichkeitsformel?

Wahrscheinlichkeitsformeln werden zur Bestimmung der Möglichkeiten eines Ereignisses verwendet, indem die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse dividiert wird. Der Wahrscheinlichkeitswert liegt in einem Bereich von 0 bis 1, was bedeutet, dass günstige Ergebnisse die Gesamtergebnisse nicht übertreffen können und der negative Wert günstiger Ergebnisse nicht möglich ist.

3. Was bedeuten die Notationen U und ∩ in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Das Wahrscheinlichkeitssymbol U bezeichnet eine Gleichverteilung. Andererseits bezeichnet das Symbol ∩ den Schnittpunkt von Mengen. Vereinfacht ausgedrückt ist die Schnittmenge zweier Mengen die umfangreichste Menge, die alle von beiden Mengen gemeinsam genutzten Elemente umfasst.

4. Wie lautet die herkömmliche Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = (Anzahl der günstigen Ergebnisse) / (Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse für das Ereignis)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Hier bezeichnet P(A) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wobei n(E) die Anzahl der günstigen Ergebnisse und n(S) die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse für das Ereignis ist.

5. Was ist eine Komplementärformel?

Wenn A ein Ereignis ist, wird die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht auftritt, durch die Komplementärregel ausgedrückt:

P(nicht A) = 1 – P(A) oder P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Was ist ein disjunktes Ereignis?

Disjunkte Ereignisse sind Ereignisse, die niemals gleichzeitig auftreten. Diese Ereignisse werden auch als sich gegenseitig ausschließende Ereignisse bezeichnet.

P(A∩B) = 0.

7. Was ist der Satz von Bayes?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Der Satz von Bayes berechnet die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Eintreten von Ereignis B.

8. Was ist eine bedingte Formel?

Wenn das Eintreten von Ereignis A bereits bekannt ist, wird die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintreten wird, als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Es kann mit der Formel berechnet werden:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Wahrscheinlichkeit (bedingt) von Ereignis B, wenn Ereignis A eingetreten ist.

P (A/B): Wahrscheinlichkeit (bedingt) von Ereignis A, wenn Ereignis B eingetreten ist.

9. Was sind einige reale Beispiele für Wahrscheinlichkeit?

Wettervorhersage, Kartenspiele, politische Abstimmungen, Würfelspiele, Münzwurf usw. sind einige Beispiele für Wahrscheinlichkeit