Die Aussagenlogik ist ein Zweig der Mathematik, der die logischen Beziehungen zwischen Aussagen (oder Aussagen, Sätzen, Behauptungen) untersucht, die als Ganzes betrachtet und über logische Verknüpfungen verbunden werden.

In diesem Artikel haben wir uns ausführlich mit der Aussagenlogik und verwandten Themen befasst.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist Logik?
• Aussagelogik
• Wahrheitstabelle
• 1. Verneinung
• 2. Konjunktion
• 3. Disjunktion
• 4. Exklusiv oder
• 5. Implikation
• 6. Bikonditionale oder doppelte Implikation

Was ist Logik?

Logik ist die Grundlage allen mathematischen Denkens und allen automatisierten Denkens. Die Regeln der Logik legen die Bedeutung mathematischer Aussagen fest. Diese Regeln helfen uns, Aussagen zu verstehen und zu begründen wie:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Was im einfachen Englisch bedeutet Es gibt eine ganze Zahl, die nicht die Summe zweier Quadrate ist .

Bedeutung der mathematischen Logik

Die Regeln der Logik geben mathematischen Aussagen eine genaue Bedeutung. Diese Regeln werden verwendet, um zwischen gültigen und ungültigen mathematischen Argumenten zu unterscheiden. Abgesehen von ihrer Bedeutung für das Verständnis des mathematischen Denkens hat die Logik zahlreiche Anwendungen in der Informatik, die vom Entwurf digitaler Schaltkreise über die Konstruktion von Computerprogrammen bis hin zur Überprüfung der Korrektheit von Programmen reichen.

Aussagelogik

Was ist ein Vorschlag? Ein Satz ist der Grundbaustein der Logik. Es wird als Aussagesatz definiert, der entweder wahr oder falsch ist, aber nicht beides. Der Wahrheitswert eines Satzes ist wahr (bezeichnet als T), wenn es sich um eine wahre Aussage handelt, und falsch (bezeichnet als F), wenn es sich um eine falsche Aussage handelt. Zum Beispiel,

1. Die Sonne geht im Osten auf und im Westen unter.
2. 1 + 1 = 2
3. „b“ ist ein Vokal.

Alle oben genannten Sätze sind Sätze, wobei die ersten beiden gültig (wahr) und der dritte ungültig (falsch) ist. Einige Sätze, die keinen Wahrheitswert haben oder mehr als einen Wahrheitswert haben können, sind keine Sätze. Zum Beispiel,

1. Wie spät ist es?
2. Geh raus und spiele
3. x + 1 = 2

Die obigen Sätze sind keine Aussagen, da die ersten beiden keinen Wahrheitswert haben und der dritte wahr oder falsch sein kann. Um Aussagen darzustellen, Aussagenvariablen werden verwendet. Konventionell werden diese Variablen durch kleine Alphabete dargestellt, zp,:q,:r,:s . Der Bereich der Logik, der sich mit Sätzen beschäftigt, heißt Aussagenkalkül oder Aussagelogik . Dazu gehört auch die Erstellung neuer Vorschläge auf der Grundlage vorhandener Vorschläge. Sätze, die aus einem oder mehreren Sätzen konstruiert werden, werden aufgerufen zusammengesetzte Sätze . Die Sätze werden miteinander kombiniert Logische Verbindungen oder Logische Operatoren .

Aussagelogik

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Wahrheitstabelle

Da wir den Wahrheitswert einer Aussage in allen möglichen Szenarien kennen müssen, betrachten wir alle möglichen Kombinationen der Aussagen, die durch logische Verknüpfungen zu der gegebenen zusammengesetzten Aussage verbunden sind. Diese Zusammenstellung aller möglichen Szenarien in tabellarischer Form wird als a bezeichnet Wahrheitstabelle . Die häufigsten logischen Verknüpfungen:

1. Verneinung

Wennp ist ein Satz, dann die Negation vonp wird bezeichnet mit eg p , was, wenn es ins einfache Englisch übersetzt wird, bedeutet: Das ist nicht der Fall P oder einfach nicht P . Der Wahrheitswert von -P ist das Gegenteil des Wahrheitswerts von P . Die Wahrheitstabelle von -P Ist:

Beispiel, Verneinung von „Es regnet heute“, „Es regnet heute nicht“ oder „Es regnet heute nicht“.

2. Konjunktion

Für zwei beliebige Sätzep Undq , ihre Konjunktion wird mit bezeichnetpwedge q , was bedeutetp Undq . Die Konjunktionpwedge q ist wahr, wenn beides giltp Undq sind wahr, andernfalls falsch. Die Wahrheitstabelle vonpwedge q Ist:

Beispiel, Konjunktion der Sätzep – Heute ist Freitag undq - Es regnet heute,pwedge q ist Heute ist Freitag und es regnet heute. Diese Aussage gilt nur an regnerischen Freitagen und ist an jedem anderen regnerischen Tag oder an Freitagen, an denen es nicht regnet, falsch.

3. Disjunktion

Für zwei beliebige Sätzep Undq , ihre Disjunktion wird mit bezeichnetpvee q , was bedeutetp oderq . Die Disjunktionpvee q ist wahr, wenn entwederp oderq ist wahr, andernfalls falsch. Die Wahrheitstabelle vonpvee q Ist:

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Beispiel, Disjunktion der Sätzep – Heute ist Freitag undq - Es regnet heute,pvee q ist Heute ist Freitag oder es regnet heute. Diese Aussage gilt für jeden Tag, der ein Freitag oder ein regnerischer Tag ist (einschließlich regnerischer Freitage), und ist an jedem anderen Tag als Freitag falsch, wenn es auch nicht regnet.

4. Exklusiv oder

Für zwei beliebige Sätzep Undq , ihr ausschließliches oder wird mit bezeichnetpoplus q , was entweder bedeutetp oderq aber nicht beide. Der exklusive bzwpoplus q ist wahr, wenn entwederp oderq ist wahr und falsch, wenn beide wahr oder beide falsch sind. Die Wahrheitstabelle vonpoplus q Ist:

Beispiel, Ausschließlich oder der Vorschlägep – Heute ist Freitag undq - Es regnet heute,poplus q Entweder ist heute Freitag oder es regnet heute, aber nicht beides. Diese Aussage gilt an jedem Tag, der ein Freitag oder ein regnerischer Tag ist (ausgenommen regnerische Freitage), und ist an jedem anderen Tag als Freitag falsch, an dem es nicht regnet oder an regnerischen Freitagen.

5. Implikation

Für zwei beliebige Sätzep Undq , die Aussage ifp Dannq heißt Implikation und wird mit bezeichnetp ightarrow q . In der Implikationp ightarrow q ,p heißt das Hypothese oder Vorgänger oder Prämisse Undq heißt das Abschluss oder Folge . Die Implikation istp ightarrow q wird auch a genannt bedingte Anweisung . Die Implikation ist falsch, wennp ist wahr undq ist falsch, sonst ist es wahr. Die Wahrheitstabelle vonp ightarrow q Ist:

Man könnte sich fragen, warum das so istp ightarrow q wahr, wennp ist falsch. Dies liegt daran, dass die Implikation das wann garantiertp Undq wahr sind, dann ist die Implikation wahr. Aber die Implikation garantiert nichts als die Prämissep ist falsch. Es gibt keine Möglichkeit zu wissen, ob die Implikation falsch ist oder nichtp ist nicht passiert. Diese Situation ähnelt der Haltung „Unschuldig bis zum Beweis der Schuld“, was bedeutet, dass die Implikationp ightarrow q gilt als wahr, bis sich herausstellt, dass es falsch ist. Da wir die Implikation nicht nennen könnenp ightarrow q falsch, wennp falsch ist, besteht unsere einzige Alternative darin, es wahr zu nennen.

Dies ergibt sich aus der Explosionsprinzip Darin heißt es: Eine falsche Aussage impliziert alles. Bedingte Aussagen spielen eine sehr wichtige Rolle im mathematischen Denken, daher wird eine Vielzahl von Terminologien verwendet, um sie auszudrückenp ightarrow q , einige davon sind unten aufgeführt.

Wenn p, dann reicht qp für qq aus, wenn pa. Die notwendige Bedingung für p ist nur dann qp, wenn qq gilt, es sei denn, ≠pq folgt aus p

Beispiel, Wenn es Freitag ist, dann regnet es heute, ist ein Vorschlag, der von der Form istp ightarrow q . Die obige Aussage ist wahr, wenn es nicht Freitag ist (die Prämisse ist falsch) oder wenn es Freitag ist und es regnet, und sie ist falsch, wenn es Freitag ist, es aber nicht regnet.

6. Bikonditionale oder doppelte Implikation

Für zwei beliebige Sätzep Undq , die Aussagep genau dann, wenn(iff)q heißt Bikonditional und wird mit bezeichnetpleftrightarrow q . Die Aussagepleftrightarrow q wird auch a genannt Bi-Implikation .pleftrightarrow q hat den gleichen Wahrheitswert wie(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Die Implikation ist wahr, wennp Undq haben die gleichen Wahrheitswerte und sind ansonsten falsch. Die Wahrheitstabelle vonpleftrightarrow q Ist:

Einige andere gängige Ausdrucksweisenpleftrightarrow q Sind:

p ist notwendig und ausreichend für q, wenn p, dann q, und umgekehrt, p, wenn q

Beispiel: Es regnet heute genau dann, wenn heute Freitag ist. ist ein Satz, der die Form hatpleftrightarrow q . Die obige Aussage ist wahr, wenn es nicht Freitag ist und es nicht regnet, oder wenn es Freitag ist und es regnet, und sie ist falsch, wenn es nicht Freitag ist oder es nicht regnet. Übung:

Zeenat Aman Schauspieler

1) Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

• P: Gute Handys sind nicht billig.
• F: Billige Mobiltelefone sind nicht gut.
• L: P impliziert Q
• M: Q impliziert P
• N: P ist äquivalent zu Q

Welche der folgenden Aussagen zu L, M und N ist RICHTIG? (Gate 2014)

(A) Nur L ist WAHR.

(B) Nur M ist WAHR.

(C) Nur N ist WAHR.

(D) L, M und N sind WAHR.

Zur Lösung siehe TOR | GATE-CS-2014-(Set-3) | Frage 11

2) Welche der folgenden Aussagen entspricht nicht p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Zur Lösung siehe TOR | GATE-CS-2015 (Set 1) | Frage 65