Inverse einer 3 × 3-Matrix ist ein Matrix was, wenn es mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird, das ergibt Identitätsmatrix als das Produkt. Die Umkehrung einer Matrix ist ein grundlegender Aspekt der linearen Algebra. Dieser Prozess spielt eine entscheidende Rolle bei der Lösung linearer Gleichungssysteme und verschiedenen mathematischen Anwendungen. Um die Umkehrung zu berechnen, ist es erforderlich, die adjungierte Matrix zu berechnen, die Invertierbarkeit der Matrix zu überprüfen, indem ihre Determinante (die nicht gleich Null sein sollte) untersucht wird, und eine Formel anzuwenden, um die inverse Matrix abzuleiten.

Dieser Artikel behandelt die verschiedenen Konzepte der Umkehrung der 3 × 3-Matrix und wie man die Umkehrung der 3 × 3-Matrix durch Berechnen von Cofaktoren, Adjunkten und Determinanten der 3 × 3-Matrix findet. Später in diesem Artikel finden Sie zum besseren Verständnis auch gelöste Beispiele und Übungsfragen, um zu überprüfen, was wir daraus gelernt haben.

Inhaltsverzeichnis

String-Funktionen in Java

• Was ist die Umkehrung der 3 × 3-Matrix?
• Wie finde ich die Umkehrung der 3 × 3-Matrix?
• Elemente, die verwendet werden, um die Umkehrung der 3 × 3-Matrix zu finden
• Umkehrung der 3 × 3-Matrixformel
• Finden der Umkehrung einer 3 × 3-Matrix mithilfe von Zeilenoperationen

Was ist die Umkehrung der 3 × 3-Matrix?

Die Umkehrung einer 3 × 3-Matrix ist eine Matrix, die bei Multiplikation mit der Originalmatrix die Identitätsmatrix ergibt. Um die Umkehrung zu finden, können Sie die adjungierte Matrix berechnen, feststellen, ob die Matrix invertierbar (nicht singulär) ist, indem Sie ihre Determinante überprüfen (die nicht gleich Null sein sollte) und dann die Formel A anwenden^-1= (adj A) / (det A). Mit der Umkehrmatrix können Sie lineare Gleichungssysteme lösen und verschiedene mathematische Operationen durchführen.

Wie finde ich die Umkehrung der 3 × 3-Matrix?

Befolgen Sie die folgenden Schritte, um die Umkehrung der 3 × 3-Matrix zu ermitteln:

Schritt 1: Überprüfen Sie zunächst, ob die Matrix invertiert werden kann. Berechnen Sie dazu die Determinante der Matrix. Wenn die Determinante nicht Null ist, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.

Schritt 2: Berechnen Sie die Determinante kleinerer 2 × 2-Matrizen innerhalb der größeren Matrix.

Schritt 3: Erstellen Sie die Cofaktormatrix.

Schritt 4: Erhalten Sie das Adjugat oder Adjungierte der Matrix, indem Sie die Cofaktormatrix transponieren.

Schritt 5: Teilen Sie abschließend jedes Element in der Adjugatmatrix durch die Determinante der ursprünglichen 3-mal-3-Matrix.

Verwandte Lektüre

• Cofaktor und Nebenfaktoren von Matrix
• Transponieren der Matrix

Elemente, die verwendet werden, um die Umkehrung der 3 × 3-Matrix zu finden

Es werden hauptsächlich zwei Elemente verwendet, um die Umkehrung einer 3 × 3-Matrix zu finden:

• Adjunkt von Matrix
• Determinante der Matrix

Adjunkt einer 3 × 3-Matrix

Der Adjunkt einer Matrix A wird durch die Transponierte der Cofaktormatrix von A ermittelt. Um den Adjungierten einer Matrix im Detail zu berechnen, befolgen Sie die bereitgestellten Anweisungen.

Für eine 3 × 3-Matrix ist der Cofaktor jedes Elements bestimmend einer 2 × 2-Matrix, die durch Entfernen der Zeile und Spalte, die dieses Element enthält, gebildet wird. Beim Finden von Cofaktoren wechseln Sie zwischen positiven und negativen Vorzeichen.

Zum Beispiel gegebene Matrix A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Die Minor-Matrix wird wie folgt erhalten:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Berechnen Sie die Determinanten der 2 × 2-Matrizen, die durch diagonale Multiplikation und Subtraktion der Produkte von links nach rechts gebildet werden, d. h. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Die Cofaktormatrix lautet also:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Durch Transponieren der Cofaktormatrix erhalten wir die adjungierte Matrix.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinante einer 3 × 3-Matrix

Anhand des gleichen Beispiels, das wir oben besprochen haben, können wir die Determinante von Matrix A berechnen

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Berechnen Sie die Determinante der Matrix anhand der ersten Zeile.

Det A = 2(Cofaktor von 2) + 1(Cofaktor von 1) + 3(Cofaktor von 3)

Dass A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Dass A = 2 + 4 – 6

Dass A = 0

Du kannst nachschauen Trick zur Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix

Umkehrung der 3 × 3-Matrixformel

Um die Umkehrung einer 3 × 3-Matrix A zu finden, können Sie die Formel A-1 = (adj A) / (det A) verwenden, wobei:

Abendessen vs. Abendessen

• adj A ist die adjungierte Matrix von A.
• det A ist die Determinante von A.

Damit A-1 existiert, sollte det A nicht gleich Null sein. Das heisst:

• A^-1existiert, wenn det A nicht Null ist (A ist nicht singulär).
• A^-1existiert nicht, wenn det A Null ist (A ist singulär).

Hier sind die Schritte, um die Umkehrung einer 3 × 3-Matrix anhand desselben Beispiels zu ermitteln:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Schritt 1: Berechnen Sie die adjungierte Matrix (adj A).

Um die adjungierte Matrix zu finden, ersetzen Sie die Elemente von A durch ihre entsprechenden Cofaktoren.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Schritt 2: Finden Sie die Determinante von A (det A).

Um die Determinante von A zu berechnen, können Sie die Formel für eine 3 × 3-Matrix verwenden. In diesem Fall ist det A = -8.

Schritt 3: Wenden Sie die Formel A an^-1= (adj A) / (det A), um die inverse Matrix A zu finden^-1.

Teilen Sie jedes Element der adjungierten Matrix durch die Determinante von A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Zur Vereinfachung der Brüche:

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Finden der Umkehrung einer 3 × 3-Matrix mithilfe von Zeilenoperationen

Um die Umkehrung einer 3×3-Matrix zu finden, können Sie die folgenden Schritte ausführen:

Schritt 1: Beginnen Sie mit der gegebenen 3×3-Matrix A und erstellen Sie eine Identitätsmatrix I derselben Größe, indem Sie A auf der linken Seite und I auf der rechten Seite einer erweiterten Matrix platzieren, getrennt durch eine Linie.

Schritt 2: Wenden Sie eine Reihe von Zeilenoperationen auf die erweiterte Matrix auf der linken Seite an, um sie in die Identitätsmatrix I umzuwandeln. Die Matrix auf der rechten Seite der Linie, die zu A wird^-1ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix A.

Erfahren Sie mehr, Elementare Operation von Matrizen

Überprüfen Sie auch

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• Arten von Matrizen
• Invertierbare Matrix
• Spur einer Matrix

Gelöste Beispiele zur Umkehrung der 3 × 3-Matrix

Beispiel 1: Finden Sie die Umkehrung von

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Lösung:

Moll-Matrix von D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Nebenmatrix von D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofaktor der Matrix, d. h. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponierte der Matrix X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nun ermitteln wir die Determinante von D mithilfe der ersten Zeile:

Dass D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Dass D = 6+0+14

⇒ Dass D = 20

Umkehrung von Matrix D oder D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Beispiel 2: Finden Sie die Umkehrung von

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor der Matrix E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofaktor der Matrix E, d. h. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Lassen Sie uns nun die Determinante der Matrix E mithilfe der ersten Zeile ermitteln:

Dass E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Dass E= -1 + 0 + 1

Dass E = 0

∴ Da die Determinante der Matrix E äquivalent zu 0 ist, ist die Umkehrung der Matrix E oder E^-1Ist nicht möglich.

Übungsfragen zur Umkehrung der 3 × 3-Matrix

Q1. Berechnen Sie die Umkehrung der folgenden 3×3-Matrix:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Finden Sie die Umkehrung von Matrix B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Bestimmen Sie, ob die Matrix C invertierbar ist, und ermitteln Sie, wenn ja, ihre Umkehrung:

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C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Berechnen Sie die Umkehrung der Matrix D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

F5. Überprüfen Sie für Matrix E, ob sie invertierbar ist, und ermitteln Sie gegebenenfalls ihre Umkehrung:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Umkehrung der 3×3-Matrix – FAQs

1. Was ist die Umkehrung einer 3×3-Matrix?

Die Umkehrung einer 3×3-Matrix ist eine weitere Matrix, die, wenn sie mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird, die Identitätsmatrix ergibt.

2. Warum ist es wichtig, die Umkehrung zu finden?

Es ist für die Lösung linearer Gleichungssysteme, Transformationen und verschiedener mathematischer Operationen unerlässlich.

3. Wie berechnet man die Umkehrung einer 3×3-Matrix?

Normalerweise finden Sie die adjungierte Matrix, überprüfen den Nicht-Null-Wert der Determinante und wenden eine bestimmte Formel an.

4. Wann existiert die Umkehrung einer 3×3-Matrix nicht?

Es existiert nicht, wenn die Determinante der Matrix Null ist, was sie singulär macht.

5. Kann jede 3×3-Matrix eine Umkehrung haben?

Nein, nur nicht singuläre Matrizen mit einer Determinante ungleich Null haben Inversen.

6. Welche Rolle spielt die Adjungierte Matrix beim Finden der Umkehrung?

Die adjungierte Matrix hilft bei der Berechnung der Umkehrung, indem sie für jedes Element Cofaktoren bereitstellt.

7. In welchen Bereichen wird das Konzept der 3×3-Matrixinversion häufig verwendet?

Das Konzept der 3×3-Matrixinversion wird in den Ingenieurwissenschaften, der Physik, der Computergrafik und verschiedenen mathematischen Disziplinen verwendet.

8. Wie erhalte ich die Umkehrung der 3×3-Matrix?

Um die Umkehrung einer 3×3-Matrix zu finden, können Sie die folgenden Schritte ausführen:

• Berechnen Sie zunächst die Determinante der Matrix.
• Wenn die Determinante nicht gleich 0 ist, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort. Wenn es 0 ist, hat die Matrix keine Umkehrung.
• Finden Sie die Matrix der Minderjährigen, indem Sie 3×3-Matrizen für jedes Element in der Originalmatrix erstellen, mit Ausnahme der Zeile und Spalte des Elements, auf das Sie sich konzentrieren.
• Berechnen Sie die Matrix der Cofaktoren, indem Sie ein Muster aus Plus- und Minuszeichen auf die Elemente der Matrix der Nebenfaktoren anwenden.
• Transponieren Sie die Matrix der Cofaktoren, indem Sie Zeilen mit Spalten vertauschen.
• Teilen Sie abschließend die transponierte Matrix der Cofaktoren durch die Determinante, um die Umkehrung der 3×3-Matrix zu erhalten.